Дробное броуновское движение

редактировать

В теории вероятностей, дробное броуновское движение (fBm ), также называемое фрактальным броуновским движением, является обобщением броуновского движения. В отличие от классического броуновского движения, приращения fBm не обязательно должны быть независимыми. fBm - это непрерывное время гауссовский процесс BH(t) на [0, T], который начинается с нуля, имеет ожидание ноль для всех t в [0, T] и имеет следующую ковариационную функцию :

E [BH (t) BH (s)] = 1 2 (| t | 2 H + | s | 2 H - | t - s | 2 H), {\ displaystyle E [B_ {H} (t) B_ {H} (s)] = {\ tfrac {1} {2}} (| t | ^ {2H} + | s | ^ {2H} - | ts | ^ {2H}),}

E [B _H (t) B_H (s)] = \ tfrac {1} {2} (| t | ^ {2H} + | s | ^ {2H} - | ts | ^ {2H}),

где H - действительное число в (0, 1), называемое индексом Херста или параметром Херста, связанным с дробным броуновским движением. Показатель Херста описывает шероховатость результирующего движения, при этом более высокое значение приводит к более плавному движению. Он был введен Мандельбротом и ван Нессом (1968)..

Значение H определяет, каким процессом является fBm:

если H = 1/2, то процесс на самом деле является броуновским. движение или винеровский процесс ;
, если H>1/2, то приращения процесса положительно коррелированы ;
, если H < 1/2 then the increments of the process are negatively correlated.

Процесс приращения, X (t) = B H (t + 1) - B H (t), известен как дробный гауссовский шум .

Существует также обобщение дробного броуновского движения: n Дробное броуновское движение -го порядка, сокращенно n-fBm. n-fBm - это гауссовский, самоподобный, нестационарный процесс, приращения которого порядка n являются стационарными. При n = 1 n-fBm является классическим fBm.

Подобно броуновскому движению, которое оно обобщает, дробное броуновское движение названо в честь биолога 19 века Роберта Брауна ; дробный гауссов шум назван в честь математика Карла Фридриха Гаусса.

Содержание

1 Предпосылки и определение
2 Свойства
- 2.1 Самоподобие
- 2.2 Стационарные приращения
- 2.3 Зависимость от дальнего действия
- 2.4 Регулярность
- 2.5 Размерность
- 2.6 Интеграция
- 2.7 Интерпретация в частотной области
3 Примеры путей
- 3.1 Метод 1 моделирования
- 3.2 Метод 2 моделирования
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Предпосылки и определение

До введения дробного броуновского движения Леви (1953) использовал дробный интеграл Римана – Лиувилля для определения процесса

BH (t) = 1 Γ (H + 1/2) ∫ 0 t (t - s) H - 1/2 d B (s) {\ displaystyle B_ {H} (t) = {\ frac {1} {\ Gamma (H + 1/2)}} \ int _ {0} ^ {t} (ts) ^ {H-1/2 } \, дБ (с)}

{\ displaystyle B_ {H } (t) = {\ frac {1} {\ Gamma (H + 1/2)}} \ int _ {0} ^ {t} (ts) ^ {H-1/2} \, дБ (с) }

где интегрирование ведется относительно меры белого шума дБ (с). Этот интеграл оказывается неподходящим для приложений дробного броуновского движения из-за чрезмерного акцента на происхождении (Mandelbrot van Ness 1968, p. 424).

Вместо этого идея состоит в том, чтобы использовать другой дробный интеграл белого шума для определения процесса: интеграл Вейля

BH (t) = BH (0) + 1 Γ (H + 1 / 2) {∫ - ∞ 0 [(t - s) H - 1/2 - (- s) H - 1/2] d B (s) + ∫ 0 t (t - s) H - 1/2 d B (s)} {\ Displaystyle B_ {H} (t) = B_ {H} (0) + {\ frac {1} {\ Gamma (H + 1/2)}} \ left \ {\ int _ {- \ infty} ^ {0} \ left [(ts) ^ {H-1/2} - (- s) ^ {H-1/2} \ right] \, дБ (с) + \ int _ {0} ^ {t} (ts) ^ {H-1/2} \, дБ (с) \ right \}}

B_H (t) = B_H (0) + \ frac {1} {\ Gamma (H + 1/2)} \ left \ {\ int _ {- \ infty} ^ 0 \ left [(ts) ^ {H-1/2} - (-s) ^ {H-1/2} \ right] \, дБ (с) + \ int_0 ^ t (ts) ^ {H-1/2} \, дБ (с) \ right \}

для t>0 (и аналогично для t < 0).

Основное различие между дробным броуновским движение и регулярное броуновское движение состоит в том, что в то время как приращения в броуновском движении независимы, приращения для дробного броуновского движения - нет. Если H>1/2, тогда имеется положительная автокорреляция: если на предыдущих этапах есть возрастающий паттерн, то он вероятно, что текущий шаг также будет увеличиваться. Если H < 1/2, the autocorrelation is negative.

Свойства

Самоподобие

Процесс самоподобный, поскольку с точки зрения наверное распределения плотности :

B H (a t) ∼ | а | H B H (т). {\ displaystyle B_ {H} (at) \ sim | a | ^ {H} B_ {H} (t).}

B_H (at) \ sim | a | ^ {H} B_H (t).

Это свойство связано с тем, что ковариационная функция однородна порядка 2H и может быть рассматривается как свойство фрактала . FBm также можно определить как уникальный гауссовский процесс со средним нулем, нулевым в начале координат, со стационарными и самоподобными приращениями.

Стационарные приращения

Имеются стационарные приращения:

B H (t) - B H (s) ∼ B H (t - s). {\ displaystyle B_ {H} (t) -B_ {H} (s) \; \ sim \; B_ {H} (ts).}

B_H (t) - B_H (s) \; \ sim \; B_H (т-с).

Дальняя зависимость

Для H>½ процесс демонстрирует дальнодействующую зависимость,

∑ n = 1 ∞ E [BH (1) (BH (n + 1) - BH (n))] = ∞. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} E [B_ {H} (1) (B_ {H} (n + 1) -B_ {H} (n))] = \ infty.}

\ sum_ {n = 1} ^ \ infty E [B_H (1) (B_H (n + 1) -B_H (n))] = \ infty.

Регулярность

Пути к выборкам почти нигде не дифференцируемы. Однако почти все траектории локально непрерывны по Гёльдеру любого порядка, строго меньшего, чем H: для каждой такой траектории, для любого T>0 и для любого ε>0 существует ( случайная) константа c такая, что

| B H (t) - B H (s) | ≤ c | т - с | H - ε {\ displaystyle | B_ {H} (t) -B_ {H} (s) | \ leq c | ts | ^ {H- \ varepsilon}}

| B_H (t) -B_H (s) | \ le c | ts | ^ {H- \ varepsilon}

для 0 < s,t < T.

Размер

С вероятностью 1 график B H (t) имеет и размерность Хаусдорфа, и размерность прямоугольника, равную 2-H.

Интегрирование

Что касается регулярного броуновского движения, можно определить стохастические интегралы относительно дробного броуновского движения, обычно называемого «дробными стохастическими интегралами». Однако в целом, в отличие от интегралов по отношению к регулярному броуновскому движению, дробные стохастические интегралы не являются семимартингалом.

Интерпретация частотной области

Так же, как броуновское движение можно рассматривать как белый шум, отфильтрованный $s - 1 {\ displaystyle s ^ {- 1}}$ $s ^ {- 1}$ (т.е. интегрированное), дробное броуновское движение - это белый шум, отфильтрованный $s - H - 1/2 {\ displaystyle s ^ {- H -1/2}}$ ${\ displaystyle s ^ {- H-1/2}}$ (соответствует дробному интегрированию ).

Примеры путей

Могут быть сгенерированы практические компьютерные реализации fBm, хотя они являются лишь конечным приближением. Выбранные пути выборки можно рассматривать как отображение дискретных точек выборки в процессе fBm. Ниже показаны три реализации, каждая с 1000 точками fBm с параметром Херста 0,75.

«H» = 0,75 реализация 1

«H» = 0,75 реализация 2

«H» = 0,75 реализация 3

Реализации трех различных типов fBm показаны ниже, каждая из которых показывает 1000 точек, первый с параметром Херста 0,15, второй с параметром Херста 0,55 и третий с параметром Херста 0,95. Чем выше параметр Херста, тем плавнее будет кривая.

"H" = 0,15

"H" = 0,55

"H" = 0,95

Метод 1 моделирования

Можно смоделировать траектории выборки fBm, используя методы для генерации стационарные гауссовские процессы с известной ковариационной функцией. Самый простой метод основан на методе разложения Холецкого ковариационной матрицы (поясняется ниже), который в сетке размером $n {\ displaystyle n}$ $n$ имеет сложность порядка $О (N 3) {\ Displaystyle O (n ^ {3})}$ $O (n ^ 3)$ . Более сложным, но более быстрым в вычислительном отношении методом является метод Dietrich Newsam (1997).

Предположим, мы хотим смоделировать значения fBM на временах $t 1,…, tn {\ displaystyle t_ { 1}, \ ldots, t_ {n}}$ $t_ {1}, \ ldots, t_ {n}$ с использованием метода разложения Холецкого.

Сформировать матрицу $Γ = (R (ti, tj), i, j = 1, …, N) {\ displaystyle \ Gamma = {\ bigl (} R (t_ {i}, \, t_ {j}), i, j = 1, \ ldots, \, n {\ bigr)}}$ $\ Gamma = \ bigl (R (t_i, \, t_j), i, j = 1, \ ldots, \, n \ bigr)$ где $R (t, s) = (s 2 H + t 2 H - | t - s | 2 H) / 2 {\ displaystyle \, R (t, s) = (s ^ { 2H} + t ^ {2H} - | ts | ^ {2H}) / 2}$ $\, R (t, s) = (s ^ {2H} + t ^ {2H} - | ts | ^ {2H}) / 2$ .
Вычислить $Σ {\ displaystyle \, \ Sigma}$ $\, \ Sigma$ матрицу квадратного корня из $Γ {\ displaystyle \, \ Gamma}$ $\, \ Gamma$ , т.е. $Σ 2 = Γ {\ displaystyle \, \ Sigma ^ {2} = \ Gamma}$ $\, \ Sigma ^ 2 = \ Gamma$ . Грубо говоря, $Σ {\ displaystyle \, \ Sigma}$ $\, \ Sigma$ - это матрица «стандартного отклонения», связанная с матрицей дисперсии-ковариации $Γ {\ displaystyle \, \ Gamma}$ $\, \ Gamma$ .
Постройте вектор $v {\ displaystyle \, v}$ $\, v$ из n чисел, нарисованных независимо в соответствии со стандартным распределением Гаусса,
Если мы определим $u = Σ v {\ displaystyle \, u = \ Sigma v}$ $\, u = \ Sigma v$ , затем $u {\ displaystyle \, u}$ $\, u$ дает образец пути fBm.

Для вычисления $Σ {\ displaystyle \, \ Sigma}$ $\, \ Sigma$ , мы можем использовать, например, метод разложения Холецкого. Альтернативный метод использует собственные значения из $Γ {\ displaystyle \, \ Gamma}$ $\, \ Gamma$ :

, поскольку $Γ {\ displaystyle \, \ Gamma}$ $\, \ Gamma$ равно симметричная, положительно определенная матрица, следует, что все собственные значения $λ i {\ displaystyle \, \ lambda _ {i}}$ $\, \ lambda_i$ из $Γ {\ displaystyle \, \ Gamma}$ $\, \ Gamma$ удовлетворяет $λ я ≥ 0 {\ displaystyle \, \ lambda _ {i} \ geq 0}$ $\,\lambda_i\ge0$ , ( $i = 1,…, n {\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$ $i = 1, \ dots, n$ ).
Пусть $Λ {\ displaystyle \, \ Lambda}$ $\, \ Lambda$ будет диагональной матрицей собственные значения, то есть $Λ ij = λ я δ ij {\ displaystyle \ Lambda _ {ij} = \ lambda _ {i} \, \ delta _ {ij}}$ $\ Lambda_ {ij} = \ lambda_i \, \ delta_ {ij}$ где $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ - это дельта Кронекера. Мы определяем $Λ 1/2 {\ displaystyle \ Lambda ^ {1/2}}$ $\ Lambda ^ {1/2}$ как диагональная матрица с элементами $λ i 1/2 {\ displaystyle \ lambda _ {i} ^ {1/2}}$ $\ lambda_i ^ {1/2}$ , т.е. $Λ ij 1 / 2 = λ я 1/2 δ ij {\ displaystyle \ Lambda _ {ij} ^ {1/2} = \ lambda _ {i} ^ {1/2} \, \ delta _ {ij}}$ $\ Lambda_ {ij} ^ {1/2} = \ lambda_i ^ {1/2} \, \ delta_ {ij}$ .

Примечание. что результат имеет действительное значение, потому что $λ я ≥ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {i} \ geq 0}$ $\ lambda_i \ ge0$ .

Пусть $vi {\ displaystyle \, v_ {i}}$ $\, v_i$ собственный вектор, связанный с собственным значением $λ i {\ displaystyle \, \ lambda _ {i}}$ $\, \ lambda_i$ . Определите $P {\ displaystyle \, P}$ $\,P$ как матрицу, $i {\ displaystyle i}$ $i$ -й столбец которой является собственным вектором $vi {\ displaystyle \, v_ {i}}$ $\, v_i$ .

Обратите внимание, что, поскольку собственные векторы линейно независимы, матрица $P {\ displaystyle \, P}$ $\,P$ обратима.

Отсюда следует, что $Σ = P Λ 1/2 P - 1 {\ displaystyle \ Sigma = P \, \ Lambda ^ {1/2} \, P ^ {- 1}}$ $\ Sigma = P \, \ Lambda ^ {1/2} \, P ^ {- 1}$ потому что $Γ = P Λ P - 1 {\ displaystyle \ Gamma = P \, \ Lambda \, P ^ {- 1}}$ $\ Gamma = P \, \ Lambda \, P ^ {- 1}$ .

Метод 2 моделирования

Также известен

BH (t) = ∫ 0 t KH (t, s) d B (s) {\ displaystyle B_ {H} (t) = \ int _ {0} ^ {t} K_ {H} (t, s) \, dB (s)}

B_H (t) = \ int_0 ^ t K_H (t, s) \, дБ (с)

где B - стандартное броуновское движение и

KH (t, s) = (t - s) H - 1 2 Γ (H + 1 2) 2 F 1 (H - 1 2; 1 2 - H; H + 1 2; 1 - ц). {\ displaystyle K_ {H} (t, s) = {\ frac {(ts) ^ {H - {\ frac {1} {2}}}} {\ Gamma (H + {\ frac {1} {2}) })}} \; _ {2} F_ {1} \ left (H - {\ frac {1} {2}}; \, {\ frac {1} {2}} - H; \; H + {\ frac {1} {2}}; \, 1 - {\ frac {t} {s}} \ right).}

K_H (t, s) = \ frac {(ts) ^ {H- \ frac {1} {2}}} {\ Gamma (H + \ frac {1} {2})} \; _ 2F_1 \ left (H- \ frac {1} {2}; \, \ frac {1} {2} -H; \; H + \ frac {1} {2}; \, 1 - \ frac {t} {s} \ right).

Где $2 F 1 {\ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ $_ {2} F_ {1}$ - гипергеометрический интеграл Эйлера.

Допустим, мы хотим смоделировать fBm в точках $0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = T {\displaystyle 0=t_{0}$ $0 = t_0 <t_1 <\ cdots <t_n = T$ .

Построить вектор из n чисел, нарисованный в соответствии со стандартным распределением Гаусса.
Умножьте его покомпонентно на √T / n, чтобы получить приращения броуновского движения на [0, T]. Обозначим этот вектор как $(δ B 1,…, δ B n) {\ displaystyle (\ delta B_ {1}, \ ldots, \ delta B_ {n})}$ $(\ delta B_1, \ ldots, \ delta B_n)$ .
Для каждого $tj { \ displaystyle t_ {j}}$ $t_j$ , вычислить

BH (tj) = n T ∑ i = 0 j - 1 ∫ titi + 1 KH (tj, s) ds δ B i. {\ displaystyle B_ {H} (t_ {j}) = {\ frac {n} {T}} \ sum _ {i = 0} ^ {j-1} \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {i + 1}} K_ {H} (t_ {j}, \, s) \, ds \ \ delta B_ {i}.}

B_H (t_j) = \ frac {n} {T} \ sum_ { i = 0} ^ {j-1} \ int_ {t_i} ^ {t_ {i + 1}} K_H (t_j, \, s) \, ds \ \ delta B_i.

Интеграл можно эффективно вычислить с помощью квадратур Гаусса. Гипергеометрические функции являются частью научной библиотеки GNU.

См. Также

Броуновская поверхность
Авторегрессионная дробно-интегрированная скользящая средняя
Мультифрактал : Обобщенная структура дробных броуновских движений.
Розовый noise
Tweedie distributions

Notes

Ссылки

Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes, Chapman Hall, ISBN 0 -412-04901-5.
Крейгмайл П.Ф. (2003), «Моделирование класса стационарных гауссовских процессов с использованием алгоритма Дэвиса – Харта с применением к процессам с длинной памятью», Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
Дикер, Т. (2004). Моделирование дробного броуновского движения (PDF) (кандидатская диссертация). Проверено 29 декабря 2012 г.
Dietrich, C.R.; Newsam, GN (1997), «Быстрое и точное моделирование стационарных гауссовских процессов посредством циркуляционного вложения ковариационной матрицы», SIAM Journal on Scientific Computing, 18 (4): 1088–1107, doi : 10.1137 / s1064827592240555.
Леви П. (1953), Случайные функции: общая теория со специальными ссылками на лапласовские случайные функции, Калифорнийские публикации по статистике, 1, стр. 331–390.
Мандельброт, Б. ; ван Несс, Дж. (1968), «Дробные броуновские движения, дробные шумы и приложения», SIAM Review, 10 (4): 422–437, Bibcode : 1968SIAMR..10.. 422M, doi : 10.1137 / 1010093, JSTOR 2027184.
Ори, Стивен (1970), «Примеры функций Гаусса и Измерение Хаусдорфа железнодорожных переездов ", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 15 (3): 249–256, doi : 10.1007 / BF00534922.
Perrin E. et al. al. (2001), «Дробное броуновское движение n-го порядка и дробные гауссовские шумы », Транзакции IEEE по обработке сигналов, 49: 1049-1059. doi : 10.1109 / 78.917808
Самородницкий Г., Такку М.С. (1994), Стабильные негауссовские случайные процессы, глава 7: «Самоподобные процессы» (Chapman Hall).

Дополнительная литература

Sainty, P. (1992), «Построение комплекснозначного дробного Броуновское движение порядка N ", Journal of Mathematical Physics, 33(9): 3128, Bibcode : 1992JMP.... 33.3128S, doi : 10.1063 / 1.529976.