Скорость передачи

редактировать

вперед ставка - будущая доходность по облигации. Он рассчитывается с использованием кривой доходности . Например, доходность трехмесячного казначейского векселя через шесть месяцев - это форвардная ставка.

Содержание

1 Расчет форвардной ставки
- 1.1 Простая ставка
- 1.2 Годовая сложная ставка ставка
- 1.3 Непрерывно начисляемая ставка
2 Связанные инструменты
3 См. также
4 Ссылки

Расчет форвардной ставки

Для извлечения форвардной ставки нам нужен ноль -купон кривая доходности.

Мы пытаемся найти будущую процентную ставку $r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1,2}}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ для периода времени $(t 1, t 2) {\ displaystyle (t_ {1}, t_ {2})}$ $(t_1, t_2)$ , $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ и $t 2 {\ displaystyle t_ {2}}$ $t_ {2}$ , выраженный в годах, учитывая коэффициент $r 1 {\ displaystyle r_ {1}}$ $r_ {1}$ для периода времени $(0, t 1) {\ displaystyle (0, t_ {1})}$ $(0, t_1)$ и ставка $r 2 {\ displaystyle r_ {2}}$ $r_ {2}$ за период времени $(0, t 2) {\ displaystyle (0, t_ {2})}$ $(0, t_2)$ . Для этого мы используем свойство, согласно которому доходы от инвестирования по ставке $r 1 {\ displaystyle r_ {1}}$ $r_ {1}$ за период времени $(0, t 1) {\ displaystyle ( 0, t_ {1})}$ $(0, t_1)$ , а затем реинвестировать эти доходы по ставке $r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1,2}}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ за период времени $(t 1, t 2) {\ displaystyle (t_ {1}, t_ {2})}$ $(t_1, t_2)$ равна выручке от инвестирования по ставке $r 2 {\ displaystyle r_ {2}}$ $r_ {2}$ для периода времени $(0, t 2) {\ displaystyle (0, t_ {2})}$ $(0, t_2)$ .

$r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1, 2}}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ зависит от режима расчета ставки (простой, годовой сложный или непрерывно сложенный ), который дает три разных результата.

Математически это читается следующим образом:

Простая ставка

(1 + r 1 t 1) (1 + r 1, 2 (t 2 - t 1)) = 1 + r 2 t 2 {\ displaystyle (1 + r_ {1} t_ {1}) (1 + r_ {1,2} (t_ {2} -t_ {1})) = 1 + r_ {2} t_ {2} }

{\ displaystyle (1 + r_ {1} t_ {1}) (1 + r_ {1,2} (t_ {2} -t_ {1})) = 1 + r_ {2} t_ {2}}

Решение для $r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1,2}}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ дает:

Таким образом, $r 1, 2 = 1 t 2 - t 1 (1 + r 2 t 2 1 + r 1 t 1 - 1) {\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {1} {t_ {2} -t_ {1}}} \ left ({ \ frac {1 + r_ {2} t_ {2}} {1 + r_ {1} t_ {1}}} - 1 \ right)}$ ${\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {1} {t_ {2} -t_ {1}}} \ left ({\ frac {1 + r_ {2 } t_ {2}} {1 + r_ {1} t_ {1}}} - 1 \ right)}$

Формула коэффициента дисконтирования для периода (0, t) $Δ t {\ displaystyle \ Delta _ {t}}$ $\ Delta_t$ выражается в годах, и коэффициент $rt {\ displaystyle r_ {t}}$ $r_ {t}$ для этого периода равен $DF (0, t) знак равно 1 (1 + rt Δ t) {\ displaystyle DF (0, t) = {\ frac {1} {(1 + r_ {t} \, \ Delta _ {t})}}}$ ${\ displaystyle DF (0, t) = {\ frac {1} {(1 + r_ {t} \, \ Дельта _ {t})}}}$ , форвардный курс может быть выражен в терминах коэффициентов дисконтирования: $r 1, 2 = 1 t 2 - t 1 (DF (0, t 1) DF (0, t 2) - 1) {\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {1} {t_ {2} -t_ {1}}} \ left ({\ frac {DF (0, t_ {1})} {DF (0, t_ {2})}} - 1 \ right)}$ ${\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac { 1} {t_ {2} -t_ {1}}} \ left ({\ frac {DF (0, t_ {1})} {DF (0, t_ {2})}} - 1 \ right)}$

Годовая начисленная ставка

(1 + r 1) t 1 (1 + r 1, 2) t 2 - t 1 = (1 + r 2) t 2 {\ displaystyle (1 + r_ {1}) ^ {t_ {1}} (1 + r_ { 1,2}) ^ {t_ {2} -t_ {1}} = (1 + r_ {2}) ^ {t_ {2}}}

{\ displaystyle (1 + r_ {1}) ^ {t_ {1}} (1 + r_ {1,2}) ^ {t_ {2} -t_ {1} } = (1 + r_ {2}) ^ {t_ {2}}}

Решение для $r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1,2}}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ дает:

r 1, 2 = ((1 + r 2) t 2 (1 + r 1) t 1) 1 / (t 2 - t 1) - 1 {\ displaystyle r_ {1,2} = \ left ({\ frac {(1 + r_ {2}) ^ {t_ {2}}} {(1 + r_ {1}) ^ {t_ {1}}) }} \ right) ^ {1 / (t_ {2} -t_ {1})} - 1}

{\ displaystyle r_ {1,2} = \ left ({\ frac {(1+ r_ {2}) ^ {t_ {2}}} {(1 + r_ {1}) ^ {t_ {1}}}} \ right) ^ {1 / (t_ {2} -t_ {1})} -1}

Формула коэффициента дисконтирования для периода (0, t) $Δ t {\ displaystyle \ Delta _ { t}}$ $\ Delta_t$ выражается в годах, а коэффициент $rt {\ displaystyle r_ {t}}$ $r_ {t}$ для этого периода равен $DF (0, t) = 1 (1 + rt) Δ t {\ displaystyle DF (0, t) = {\ frac {1} {(1 + r_ {t}) ^ {\ Delta _ {t}}}}}$ ${\ displaystyle DF (0, t) = {\ frac {1} {(1 + r_ {t}) ^ {\ Delta _ {t}}}}}$ , форвардная ставка может быть выражена с помощью коэффициентов дисконтирования:

r 1, 2 = (DF (0, t 1) DF (0, t 2)) 1 / (t 2 - t 1) - 1 {\ displaystyle r_ {1,2} = \ left ({\ frac {DF (0, t_ {1})} {DF (0, t_ {2})}} \ right) ^ {1 / (t_ {2} -t_ { 1})} - 1}

{\ displaystyle r_ {1,2} = \ left ({\ frac {DF (0, t_ {1})} { DF (0, t_ {2})}} \ right) ^ {1 / (t_ {2} -t_ {1})} - 1}

Непрерывно начисляемая ставка

УРАВНЕНИЕ •

e (r 2 ∗ t 2) = e (r 1 ∗ t 1) ∗ e (r 1, 2 * (t 2 - t 1)) {\ displaystyle e ^ {{(r} _ {2} \ ast t_ {2})} = e ^ {{(r} _ {1} \ ast t_ { 1})} \ ast \ e ^ {\ left (r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)}}

{\ displaystyle e ^ {{(r} _ {2} \ ast t_ {2})} = e ^ {{(r} _ {1} \ ast t_ {1})} \ ast \ e ^ {\ left (r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)}}

. Решение для $r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1,2}}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ дает:

ШАГ 1 →

e (r 2 ∗ t 2) = e (r 1 ∗ t 1). + (r 1, 2 * (t 2 - t 1)) {\ displaystyle e ^ {{(r} _ {2} \ ast t_ {2})} = e ^ {{(r} _ {1} \ ast t_ {1}) + \ left (r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)}}

{\ displaystyle e ^ {{(r} _ {2} \ ast t_ {2})} = e ^ {{(r} _ {1} \ ast t_ {1}) + \ left (r_ {1,2} \ a st \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)}}

ШАГ 2 →

пер ⁡ (е (р 2 * т 2)) знак равно пер ⁡ (е (г 1 * т 1) + (г 1, 2 * (т 2 - т 1))) {\ Displaystyle \ пер {\ влево (е ^ {{(r} _ {2} \ ast t_ {2})} \ right)} = \ ln {\ left (e ^ {{(r} _ {1} \ ast t_ {1}) + \ left (r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)} \ right)}}

{\ displaystyle \ ln {\ left (e ^ {{(r} _ {2} \ ast t_ {2})} \ right)} = \ ln {\ left (e ^ {{(r} _ {1} \ ast t_ {1}) + \ left (r_ {1,2 } \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)} \ right)}}

ШАГ 3 →

(r 2 ∗ t 2) знак равно (r 1 * t 1) + (r 1, 2 * (t 2 - t 1)) {\ displaystyle {(r} _ {2} \ ast \ t_ {2}) = {(r} _ {1} \ ast \ t_ {1}) + \ left (r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)}

{ \ displaystyle {(r} _ {2} \ ast \ t_ {2}) = {(r} _ {1} \ ast \ t_ {1}) + \ left (r_ {1,2} \ ast \ left ( t_ {2} -t_ {1} \ right) \ right)}

ШАГ 4 →

r 1, 2 ∗ (t 2 - t 1) = (r 2 ∗ t 2) - (r 1 ∗ t 1) {\ displaystyle r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) = {(r} _ {2} \ как t \ t_ {2}) - {(r} _ {1} \ ast \ t_ {1})}

{\ displaystyle r_ {1,2} \ ast \ left (t_ {2} -t_ {1} \ right) = {(r} _ { 2} \ ast \ t_ {2}) - {(r} _ {1} \ ast \ t_ {1})}

ШАГ 5 →

r 1, 2 = (r 2 ∗ t 2) - (r 1 * t 1) t 2 - t 1 {\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {{(r} _ {2} \ ast t_ {2}) - {(r} _ {1} \ ast t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}}}

{\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {{( r} _ {2} \ ast t_ {2}) - {(r} _ {1} \ ast t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}}}

r 1, 2 знак равно 1 t 2 - t 1 (пер ⁡ DF (0, t 1) - пер ⁡ DF (0, t 2)) {\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {1} {t_ { 2} -t_ {1}}} (\ ln DF (0, t_ {1}) - \ ln DF (0, t_ {2}))}

{\ displaystyle r_ {1,2} = {\ frac {1} {t_ {2} -t_ {1}}} (\ ln DF (0, t_ {1}) - \ ln DF (0, t_ {2}))}

$r 1, 2 {\ displaystyle r_ {1,2 }}$ ${\ displaystyle r_ {1,2}}$ - это форвардный курс между временем $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ и временем $t 2 {\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ ,

$rk {\ displaystyle r_ {k}}$ $r_ {k}$ - доходность без купона за период времени $(0, tk) {\ displaystyle (0, t_ {k})}$ ${\ displaystyle (0, t_ {k})}$ , (k = 1,2).

Связанные инструменты

См. Также

Ссылки