Войти
В математике число теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах обобщают теорему Брауэра о неподвижной точке. У них есть приложения, например, для доказательства теорем существования для дифференциальных уравнений в частных производных.
Первым результатом в этой области была теорема Шаудера о неподвижной точке, доказанный в 1930 году Юлиушем Шаудером (предыдущий результат в другом ключе, теорема Банаха о неподвижной точке для сжимающих отображений в полном объеме метрических пространств было доказано в 1922 г.). Последовал ряд дальнейших результатов. Один из способов, которым теоремы о неподвижной точке такого рода оказали большее влияние на математику в целом, заключался в том, что одним из подходов была попытка перенести методы алгебраической топологии, впервые доказанные для конечных симплициальные комплексы, пространствам бесконечной размерности. Например, исследование Жана Лере, основавшего теорию связок, было результатом попыток расширить работу Шаудера.
Теорема Шаудера о неподвижной точке : Пусть C - непустое замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства V. Если f: C → C непрерывно с компактным изображением, то f имеет неподвижную точку.
Теорема Тихонова (Тихонова) о неподвижной точке: Пусть V - локально выпуклое топологическое векторное пространство. Для любого непустого компактного выпуклого множества X в V любая непрерывная функция f: X → X имеет неподвижную точку.
Теорема Браудера о неподвижной точке: Пусть K - непустое замкнутое ограниченное выпуклое множество в равномерно выпуклом Банахово пространство. Тогда любая нерасширяющая функция f: K → K имеет неподвижную точку. (Функция 
Другие результаты включают теорему Маркова – Какутани о неподвижной точке (1936-1938) и теорему Рылля-Нардзевского о неподвижной точке (1967) для непрерывных аффинных отображений в себя. компактных выпуклых множеств, а также теорему Эрла – Гамильтона о неподвижной точке (1968) для голоморфных отображений открытых областей.
Теорема Какутани о неподвижной точке : Every соответствие, которое отображает компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства в себя с замкнутым графом и выпуклыми непустыми изображениями, имеет фиксированную точку.
