Пятиступенчатая настройка

редактировать

5-предельная Тоннец

Пятиступенчатая настройка, 5-предельная настройка, или настройка с 5-кратным ограничением (не путать с настройкой с 5-нечетным пределом), это любая система настройки музыкального инструмента, который получает частоту каждой ноты путем умножения частоты данной ссылочной ноты (базовой ноты) на произведения целых степеней 2, 3 или 5 (простые числа ограничены до 5 или ниже), например 2 · 3 · 5 = 15/8.

Степени двойки представляют интервальные движения октавами. Степени 3 представляют собой движения интервалом в полные квинты (плюс одна октава, которая может быть удалена умножением на 1/2, то есть на 2). Степени 5 представляют интервалы основных третей (плюс две октавы, которые можно удалить умножением на 1/4, то есть 2). Таким образом, 5-предельные строчки полностью построены из трех основных чисто настроенных интервалов (октав, третей и квинт). Поскольку восприятие созвучия, кажется, связано с низкими числами в гармоническом ряду, а настройка с 5 предельными значениями основана на трех самых низких простых числах, настройка с 5 предельными значениями должна быть способна производить очень согласные гармонии. Следовательно, 5-предельная настройка считается методом получения только интонации.

. Число возможных интервалов, классов высоты тона, высоты тона, ключевых центров, аккордов и модуляций, доступных для 5-предельной настройки, не ограничено, потому что нет ( ненулевое целое число) степень любого простого числа равна любой степени любого другого простого числа, поэтому можно представить себе, что доступные интервалы неограниченно расширяются в 3-мерной решетке (одно измерение или одно направление для каждого простого числа). Если октавы игнорируются, это можно рассматривать как двумерную решетку классов высоты тона (названия нот), неограниченно расширяющуюся в двух направлениях.

Однако большинство систем настройки, разработанных для акустических инструментов, ограничивают общее количество высот по практическим причинам. Также типично (но не всегда) иметь одинаковое количество высот в каждой октаве, представляя октавные транспозиции фиксированного набора классов высоты звука. В этом случае систему настройки можно также рассматривать как повторяющуюся октаву шкалу с определенным количеством шагов на октаву.

Частота любого шага в конкретной системе настройки 5-предела может быть получена путем умножения частоты фиксированного опорного поля, выбранным для системы настройки (например, A440, A442, A432, C256 и т. Д.) Некоторой комбинацией степеней 3 и 5 для определения класса высоты тона и некоторой степени 2 для определения октавы.

Например, если у нас есть 5-предельная система настройки, в которой базовая нота - C256 (это означает, что она имеет 256 циклов в секунду, и мы решили назвать ее C), тогда f C = 256 Гц, или «частота C равна 256 Гц». Есть несколько способов определить E выше этого C. Используя трети, можно увеличить на один коэффициент 5 и вниз на два коэффициента 2, достигнув соотношения частот 5/4, или с помощью пятых можно увеличить на четыре. факторов 3 и шесть раз меньше 2, достигая 81/64. Частоты становятся:

f E = 5 1 ⋅ 3 0 ⋅ 2 - 2 ⋅ f C = 5 4 ⋅ 256 H z = 320 H z {\ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {1} \ cdot 3 ^ {0} \ cdot 2 ^ {- 2} \ cdot f_ {C} = {5 \ over 4} \ cdot 256 \ \ mathrm {Hz} = 320 \ mathrm {Hz}}

f_{E}=5^{1}\cdot 3^{0}\cdot 2^{-2}\cdot f_{C}={5 \over 4}\cdot 256\ \mathrm {Hz} =320\ \mathrm {Hz}

или

f E = 5 0 ⋅ 3 4 ⋅ 2 - 6 ⋅ е C = 81 64 ⋅ 256 H z = 324 H z {\ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {0} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 2 ^ { -6} \ cdot f_ {C} = {81 \ over 64} \ cdot 256 \ \ mathrm {Hz} = 324 \ \ mathrm {Hz}}

f_{E}=5^{0}\cdot 3^{4}\cdot 2^{-6}\cdot f_{C}={81 \over 64}\cdot 256\ \mathrm {Hz} =324\ \mathrm {Hz}

Содержание

1 Диатоническая шкала
2 Двенадцать- Шкала тонов
3 Правильные отношения
4 Размер интервалов
- 4.1 Запятые
- 4.2 Уменьшенные секунды
5 Расширение двенадцатитоновой шкалы
6 История
7 См. также
8 Ноты
9 Внешние ссылки

Диатоническая гамма

Предполагая, что мы ограничимся семью классами высоты звука (семь нот на октаву), можно настроить знакомую диатоническую гамму используя 5-предельную настройку различными способами, каждый из которых делает большинство триад идеально настроенными, максимально созвучными и стабильными, но оставляет некоторые триады в менее стабильной интервальной конфигурации пайки.

Выступающие ноты данной гаммы настроены так, что их частоты образуют отношения относительно небольших целых чисел. Например, в тональности соль мажор отношение частот нот G к D (идеальная квинта ) составляет 3/2, а соотношение частот G к C равно 2/3 (нисходящая совершенная квинта) или 4/3 (идеальная четвертая ) при увеличении, а большая треть от G до B составляет 5/4.

Основные трезвучия в C

Игра.

Диатоническая гамма может быть получена следующим образом. Представляя тональность до мажор, предположим, что мы настаиваем на том, чтобы субдоминантный корень F и доминантный корень G находились в пятой части (3: 2) от тонического корня C с обеих сторон, и чтобы аккорды FAC, CEG и GBD были просто мажорные трезвучия (с соотношением частот 4: 5: 6):

Тон	Имя	C		D		E		F		G		A		B		C
	Соотношение	1/1		9 / 8		5/4		4/3		3/2		5/3		15/8		2/1
	Натуральный	24		27		30		32		36		40		45		48
	центов	0		204		386		498		702		884		1088		1200
Шаг	Интервал		T		t		s		T		t		T		s
	Коэффициент		9/8		10/9		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15
	с шагом в центах		204		182		112		204		182		204		112

Это известно как интенсивная диатоническая шкала Птолемея. Здесь строка с заголовком «Natural» выражает все эти отношения с использованием общего списка натуральных чисел (путем умножения строки выше на lcm ее знаменателей). Другими словами, самое низкое появление этой формы шкалы в одну октаву в гармоническом ряду - это подмножество 7 из 24 гармоник, обнаруженных в октаве от гармоник с 24 по 48.

Три основные трети верны (5: 4), и три второстепенных трети соответствуют ожидаемым (6: 5), но от D до F - это полудитон или минорная треть Пифагора (равняется трем по убыванию точных квинт с поправкой на октаву), синтоническая запятая уже, чем правильно настроенная (6: 5) второстепенная треть.

Как следствие, мы получаем гамму, в которой EGB и ACE являются всего лишь второстепенными трезвучиями (10:12:15), но триада DFA не имеет второстепенной формы или звука. мы могли ожидать, будучи (27:32:40). Кроме того, триада BDF - это не уменьшенная триада (25:30:36) , которую мы получили бы, сложив две второстепенные трети 6: 5, вместо этого (45:54:64):

Видно, что появляются основные пошаговые интервалы шкалы:

s = 16:15 (Полутон )
t = 10: 9 (Минорный тон )
T = 9: 8 (Основной тон )

, который может быть объединен для образования более крупных интервалов (среди прочего):

Ts = 6: 5 (второстепенная треть)
Tt = 5: 4 (большая треть)
Tts = 4: 3 (идеальная четвертая)
TTts = 3: 2 (идеальная квинта)
TTTttss 2: 1 (октава)

Другой способ сделать это Думая в относительной минорной тональности ля минор и используя D, A и E в качестве позвоночника квинт, мы можем настаивать на том, чтобы аккорды DFA, ACE и EGB были просто минорными трезвучиями ( 10:12:15):

Тон	Имя	A		B		C		D		E		F		G		A
	Соотношение	1/1		9/8		6/5		4/3		3/2		8/5		9/5		2/1
	естественный	120		135		144		160		180		192		216		240
	центов	0		204		316		498		702		814		1018		1200
Шаг	Интервал		T		s		t		T		s		T		t
	Соотношение		9/8		16/15		10/9		9/8		16/15		9/8		10/9
	с шагом в центах		204		112		182		204		112		204		182

Если мы сравним это с предыдущей шкалой, мы увидим, что для пяти пар последовательных нот соотношение шагов остается прежним, но в одной ноте, D, шаги CD и DE поменяли свое соотношение.

Три основные трети по-прежнему равны 5: 4, а три второстепенных трети все еще 6: 5, а четвертая - 32:27, за исключением того, что теперь это BD вместо DF, которое составляет 32:27. FAC и CEG по-прежнему образуют только основные трезвучия (4: 5: 6), но GBD сейчас (108: 135: 160), а BDF теперь (135: 160: 192).

Есть и другие возможности, такие как повышение A вместо понижения D, но каждая корректировка ломает что-то еще.

Очевидно, невозможно получить все семь диатонических трезвучий в конфигурации (4: 5: 6) для мажорного, (10:12:15) для минорного и (25:30:36) для уменьшенного при этом если ограничиться семью веревками.

Это демонстрирует необходимость увеличения количества высот для гармоничного исполнения желаемых гармоний.

Двенадцатитоновая шкала

Чтобы построить двенадцатитоновую шкалу в 5-предельной настройке, мы начинаем с построения таблицы, содержащей пятнадцать правильно интонированных высот:

Фактор	⁄9	⁄3	1	⁄1	⁄1
⁄1	D−. 10 / 9. 182	A. 5/3. 884	E. 5/4. 386	B. 15/8. 1088	F♯+. 45/32. 590	примечание. соотношение. центов
1	B♭−. 16/9. 996	F. 4/3. 498	C. 1. 0	G. 3/2. 702	D. 9/8. 204	примечание. соотношение. центов
⁄5	G♭−. 64/45. 610	D ♭ - . 16/15. 112	A♭. 8/5. 814	E♭. 6/5. 316	B♭. 9/5. 1018	примечание. соотношение. центов

Коэффициенты, перечисленные в первой строке и первом столбце, являются степенями 3 и 5 соответственно (например, ⁄ 9 = 3). Цветами обозначены пары энгармонических нот с почти идентичной высотой. Все отношения выражены относительно C в центре этой диаграммы (основная нота для этой шкалы). Они вычисляются в два этапа:

Для каждой ячейки таблицы базовое отношение получается путем умножения соответствующих коэффициентов. Например, базовое отношение для нижней левой ячейки составляет 1/9 · 1/5 = 1/45.
Затем базовое отношение умножается на отрицательную или положительную степень 2, насколько это необходимо. чтобы привести его в диапазон октавы, начиная с C (от 1/1 до 2/1). Например, базовое соотношение для нижней левой ячейки (1/45) умножается на 2, и в результате получается соотношение 64/45, что является числом от 1/1 до 2/1.

Обратите внимание, что степени из 2, используемых на втором этапе, можно интерпретировать как восходящие или нисходящие октавы. Например, умножение частоты ноты на 2 означает увеличение ее на 6 октав. Более того, каждая строка таблицы может считаться последовательностью пятых (восходящая вправо), а каждый столбец - последовательностью главных третей (восходящая вверх). Например, в первой строке таблицы есть восходящая квинта от D и A, а другая (с последующей нисходящей октавой) от A до E. Это предлагает альтернативный, но эквивалентный метод вычисления тех же отношений. Например, вы можете получить A (соотношение 5/3), начиная с C, переместив одну ячейку влево и одну вверх в таблице, что означает уменьшение на одну пятую (2/3) и увеличение на одну большую треть ( 5/4):

1 1 ⋅ 2 3 ⋅ 5 4 = 10 12 = 5 6. {\ displaystyle {1 \ over 1} \ cdot {2 \ over 3} \ cdot {5 \ over 4} = {10 \ over 12} = {5 \ over 6}.}

{1 \over 1}\cdot {2 \over 3}\cdot {5 \over 4}={10 \over 12}={5 \over 6}.

Так как это ниже C, вам нужно переместиться на октаву вверх, чтобы попасть в желаемый диапазон соотношений (от 1/1 до 2/1):

5 6 ⋅ 2 1 = 10 6 = 5 3. {\ displaystyle {5 \ over 6} \ cdot {2 \ over 1} = {10 \ over 6} = {5 \ over 3}.}

{5 \over 6}\cdot {2 \over 1}={10 \over 6}={5 \over 3}.

12-тональная шкала получается удалением одной ноты для каждой пары энгармонических нот. Это можно сделать, по крайней мере, тремя способами, которые имеют общее удаление G according, в соответствии с соглашением, действующим даже для пифагорейских шкал на основе C и шкалы с 1/4 запятой, означающей одну. Обратите внимание, что это уменьшенная квинта, близкая к половине октавы, выше тоники C, которая представляет собой дисгармонический интервал; кроме того, его отношение имеет наибольшие значения в числителе и знаменателе всех тонов шкалы, что делает его наименее гармоничным: все причины, по которым его следует избегать.. Первая стратегия, которую мы условно обозначим здесь как симметричная шкала 1, состоит из выбор для удаления тонов в верхнем левом и нижнем правом углах таблицы. Вторая, обозначенная как симметричная шкала 2, состоит из отбрасывания нот в первой и последней ячейках второй строки (помеченных «1 »). Третий столбец, обозначенный как асимметричная шкала, состоит из отбрасывания первого столбца (помеченного «1/9 »). Полученные 12-тональные шкалы показаны ниже:

Симметричная шкала 1
Фактор	⁄9	⁄3	1	3	9
5		A. 5/3	E. 5/4	B. 15/8	F♯+. 45/32
1	B♭−. 16/9	F. 4/3	C. 1	G. 3/2	D. 9/8
⁄5		D♭−. 16 / 15	A♭. 8/5	E♭. 6/5

Симметричный масштаб 2
Коэффициент	⁄9	⁄3	1	3	9
5	D−. 10/9	A. 5/3	E. 5/4	B. 15/8	F♯ + . 45/32
1		F. 4/3	C. 1	G. 3/2
⁄5		D♭−. 16/15	A♭. 8/5	E♭. 6 / 5	B♭. 9/5

Асимметричная шкала
Коэффициент	⁄9	⁄3	1	3	9
5		A. 5/3	E. 5/4	B. 15/8	F♯+. 45/32
1		F. 4/3	C. 1	G. 3/2	D. 9/8
⁄5		D♭−. 16/15	A♭. 8/5	E♭. 6/5	B♭. 9/5

В первом и втором масштабе B ♭ и D - это точная инверсия друг друга. Это не относится к третьему. Это причина, по которой эти две шкалы считаются симметричными (хотя удаление G all делает все 12 тональных шкал, в том числе произведенные с помощью любой другой системы настройки, слегка асимметричными).

Асимметричная система имеет преимущество, заключающееся в том, что по дизайну она имеет "наиболее точные" соотношения (те, которые содержат меньшие числа), девять чистых пятых (фактор 3/2), восемь чистых основных третей (фактор 5/4), но также шесть чистых минорных третей (коэффициент 6/5). Однако он также содержит две нечистые пятые (например, от D до A составляет 40/27, а не 3/2) и три нечистых второстепенных трети (например, от D до F составляет 32/27, а не 6/5), что практически ограничивает модуляция на узкий диапазон клавиш. Аккорды тоники C, доминанты G и субдоминанты F чисты, так же как D ♭, A ♭, E ♭ и минорные аккорды Fm, Cm, Gm, Am, Bm и Em, но не Dm.

Недостатком асимметричной системы является то, что она дает 14 волчьих интервалов, а не 12, как для симметричных (см. Ниже).

B ♭ в первой симметричной шкале отличается от B ♭ в других гаммах синтонической запятой , так как она превышает 21 цент. В равномерно темперированных гаммах разница устраняется за счет того, что все ступени имеют одинаковое соотношение частот.

Асимметричная шкала, построенная путем суммирования частотных коэффициентов 2/1 (синий), 3/2 (зеленый) и 5/4 (коричневый) в логарифмической шкале

Построение асимметричной шкалы графически показано на рисунке. Каждый блок имеет высоту в центах конструктивных соотношений частот 2/1, 3/2 и 5/4. Можно распознать повторяющиеся шаблоны. Например, много раз следующая нота создается путем замены блока 5/4 и блока 3/2 на блок 2/1, представляющий соотношение 16/15.

Для аналогичного изображения, построенного с использованием частотных коэффициентов 2, 3 и 5, а не 2/1, 3/2 и 5/4, см. здесь.

Правильные отношения

Правильные соотношения, использованные для построения этих шкал, можно использовать в качестве эталона для оценки консонанса интервалов в других шкалах (например, см. эту сравнительную таблицу ). Однако 5-предельная настройка - не единственный способ получить только интонацию. Можно построить просто интервалы с даже более «ровными» соотношениями или, наоборот, со значениями, близкими к равнозначным эквивалентам. Например, 7-предельная настройка иногда используется для получения слегка ровного и, следовательно, более согласного интервала для малой седьмой доли (7/4) и ее инверсии, большой секунды (8/7). Список этих эталонных соотношений, которые могут называться чистыми или строго интервалами или соотношениями, представлен ниже:

Имя интервала	Короткое	Количество. полутонов	5-предельная настройка				7-предельная настройка	17-предельная настройка
			Симметричные шкалы		Асимметричные шкалы
			N. 1	Н. 2	Стандартный	Расширенный
Идеальный унисон	P1	0	1/1	1/1	1/1	1/1	1/1	1/1
Незначительная секунда	m2	1	16/15	16/15	16/15	16/15	15/14	14/13
Старший секундант	M2	2	9/8	10/9	9/8	9/8	8/7	8/7
Малая третья	m3	3	6/5	6/5	6/5	6/5	6/5	6/5
Главный третий	M3	4	5/4	5/4	5/4	5/4	5/4	5/4
Идеальная четвертая	P4	5	4/3	4/3	4/3	4/3	4/3	4 / 3
Расширенный четвертый	A4	6	45/32	45/32	45/32	25/18	7/5	7 / 5 или 17/12
Уменьшенная пятая	d5	6	64/45	64/45	64/45	36/25	10/7	10/7 или 24/17
Идеальная пятая	P5	7	3/2	3/2	3/2	3/2	3/2	3/2
Незначительный шестой	m6	8	8/5	8/5	8/5	8/5	8/5	8 / 5
Главный шестой	M6	9	5/3	5/3	5/3	5/3	5/3	5/3
Незначительный седьмой	m7	10	16/9	9/5	9/5	9/5	7 / 4	7/4
Большой седьмой	M7	11	15/8	15/8	15/8	15/8	15/8	13/7
Совершенная октава	P8	12	2/1	2/1	2/1	2 / 1	2/1	2/1

Ячейки, выделенные желтым цветом, указывают интервалы, которые больше, чем интервалы в неокрашенных ячейках в той же строке. Те, которые выделены голубым, указывают на еще более низкие соотношения.

Обратите внимание, что соотношения 45/32 и 64/45 для тритонов (усиленный четвертый и уменьшенный пятый) не во всех контекстах считаются строго справедливыми, но они являются максимально возможными в вышеупомянутые 5-предельные шкалы настройки. Расширенная асимметричная 5-предельная шкала (см. Ниже) обеспечивает несколько более точные соотношения для обоих тритонов (25/18 и 36/25), чистота которых также вызывает споры. 7-предельная настройка допускает максимально возможные соотношения, а именно 7/5 (около 582,512 цента, также известный как семеричный тритон ) и 10/7 (около 617,488 цента). Эти соотношения более согласны, чем 17/12 (около 603 000 центов) и 24/17 (около 597 000 центов), которые могут быть получены при настройке с 17 предельными значениями, но последние также довольно распространены, поскольку они ближе к равному - умеренная стоимость 600 000 центов.

Вышеупомянутый интервал 7/4 (около 968,826 центов), также известный как семеричная минорная седьмая, или гармоническая седьмая, был спорным вопросом на протяжении всей истории теории музыки; это на 31 цент меньше, чем уравновешенная минорная седьмая.

Размер интервалов

В приведенных выше таблицах показаны только отношения частот каждого тона по отношению к основной ноте C. Однако интервалы могут быть сформированы, начиная с каждой из двенадцати нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из 2 полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из 3 полутонов, и т. Д.).

Частотное отношение 144 интервалов в 12-тональной 5-предельной настройке (асимметричная шкала; симметричная шкала 1 см. здесь ). Имена интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Чистые интервалы (как определено выше) показаны шрифтом жирным.

Приблизительный размер в центах 144 интервалов при 12-тональной 5-предельной настройке (асимметричная шкала; для симметричных шкала 1, см. здесь ). Имена интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Чистые интервалы (как определено выше) показаны шрифтом жирным.

При настройке с 5 предельными значениями каждый из типов интервалов, кроме унисонов и октав, имеет три или даже четырех разных размеров. Это расплата за поиск интонации. Таблицы справа и ниже показывают их отношения частот и их приблизительные размеры в центах для «асимметричной шкалы». Аналогичные таблицы для «симметричной шкалы 1» опубликованы здесь и здесь. Имена интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Например, размер интервала от C до G, который представляет собой идеальную пятую часть (P5 ), можно найти в седьмом столбце строки, обозначенной C . Чистые интервалы, как определено выше, показаны шрифтом жирным (обратите внимание, что, как объяснялось выше, справедливо интонированное соотношение 45/32 ≈ 590 центов для формата A4 не считается чистым).

Цветовой код выделяет интервалы, которые отклоняются от эталонных размеров в таблице построения, и показывает величину их отклонения. Интервалы Wolf отмечены черным.

Причина, по которой размеры интервалов различаются по шкале, состоит в том, что шаги, образующие шкалу, неравномерно расположены. А именно, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют четыре разных полутона (то есть интервалы между соседними нотами). Например:

$S 1 = 5 4 ÷ 6 5 = 25 24 ≈ 70,672 центов {\ displaystyle S_ {1} = {{5 \ over 4} \ div {6 \ over 5}} = {25 \ over 24 } \ приблизительно 70,672 \ {\ hbox {центов}}}$ $S_{1}={{5 \over 4}\div {6 \over 5}}={25 \over 24}\approx 70.672\ {\hbox{cents}}$ . ("Просто" увеличенный унисон между E ♭ и E)
$S 2 = 9 8 ÷ 16 15 = 135 128 ≈ 92,179 центов {\ displaystyle S_ {2} = {{9 \ over 8} \ div {16 \ over 15}} = {135 \ over 128} \ приблизительно 92,179 \ {\ hbox {cents}}}$ $S_{ 2}={{9 \over 8}\div {16 \over 15}}={135 \over 128}\approx 92.179\ {\hbox{cents}}$ . (расширенный унисон между D ♭ и D)
$S 3 = 16 15 ≈ 111,731 центов {\ displaystyle S_ {3} = {16 \ over 15} \ приблизительно 111,731 \ {\ hbox {центов}}}$ $S_{3}={16 \over 15}\approx 111.731\ {\hbox{cents}}$ . ("Просто" второстепенная секунда между C и D ♭)
$S 4 = 9 5 ÷ 5 3 = 27 25 ≈ 133,238 центов {\ displaystyle S_ {4} = {{9 \ over 5} \ div {5 \ over 3}} = {27 \ over 25} \ приблизительно 133,238 \ {\ hbox {cents}}}$ $S_{4}={{9 \over 5}\div {5 \over 3}}={27 \over 25}\approx 133.238\ {\hbox{cents}}$ . (Незначительная секунда между A и B ♭)

И наоборот, в одинаково темперированном хроматическая шкала, по определению, двенадцать шагов равномерно распределены, все полутоны имеют размер точно

$SE = 2 12 = 100 000 центов. {\ displaystyle S_ {E} = {\ sqrt [{12}] {2}} = 100.000 \ {\ hbox {cents}}.}$ $S_E = \sqrt[12]{2} = 100.000 \ \hbox{cents}.$

Как следствие, все интервалы любого заданного типа имеют одинаковый размер (например,, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Обратите внимание, что 5-предельная настройка была разработана для максимального увеличения количества чистых интервалов, но даже в этой системе несколько интервалов заметно нечистые (например, как показано на рисунках, 60 из 144 интервалов отклоняются на минимум 19,6 цента от правильно интонированных эталонных размеров, указанных в таблице построения). Кроме того, 5-предельная настройка дает гораздо большее количество волчьих интервалов по сравнению с пифагоровой настройкой, которую можно рассматривать как 3-предельную настройку только по интонации. А именно, в то время как пифагорейская настройка определяет только 2 волчьих интервала (пятую и четвертую), симметричная шкала с 5 границами дает 12 из них, а асимметричная шкала 14. Также важно отметить, что две пятых, три второстепенные трети, и три основных шестых, отмеченных оранжевым в таблицах (соотношение 40/27, 32/27 и 27/16 (или G−, E - и A +), даже если они не полностью соответствуют условиям, чтобы быть интервалами волка., отклоняться от соответствующего чистого соотношения на величину (1 синтоническая запятая, т. е. 81/80, или около 21,5 цента), достаточно большую, чтобы ее отчетливо воспринимать как диссонирующий.

Очевидно, чем больше мы пытаемся увеличить количество чистых и согласных интервалов, чем больше оставшиеся становятся нечистыми и диссонирующими, путем компенсации. Некоторые из основных секунд (M2) и второстепенных седьмых (m7) представляют собой единственное исключение из это правило. Как видно из таблиц, те, что отмечены оранжевым цветом, являются чистыми (10/9 и 16/9), даже если их размер на 81/80 уже, чем соответствующий справочный размер (9/8 и 9/5).

Для сравнения с другими системами настройки см. Также эту таблицу.

Запятые

В других системах настройки запятая может быть определена как минута интервал, равный разнице между двумя видами полутонов (диатоническим и хроматическим, также известным как минорная секунда, m2 или увеличенный унисон, A1 ). Однако в этом случае создаются 4 разных типа полутонов (два A1, S 1 и S 2, и два m2, S 3 и S 4), а 12 разных запятых могут быть определены как разница между их размерами в центах или, что эквивалентно, как отношения между их соотношениями. Среди них мы выбираем шесть восходящих (с соотношением больше 1/1 и положительным размером в центах):

Имя запятой	Эквивалентные определения		Размер
Имя запятой	В имелось в виду один темперамент	В 5-предельной настройке. (асимметричная шкала)	Соотношение	Центов
Диашизма (DS)	$м 2 А 1 {\ displaystyle {m2 \ over A1}}$ ${m2 \over A1}$ . в 1/6 запятой означает один	$S 3 S 2 = 16 15 ÷ 135 128 {\ displaystyle {S_ {3} \ over S_ {2}} = {{16 \ over 15} \ div {135 \ over 128}}}$ ${S_{3} \over S_{2}}={{16 \over 15}\div {135 \over 128}}$	$2048 2025 {\ displaystyle {2048 \ over 2025}}$ ${2048 \over 2025}$	$19.6 {\ displaystyle 19.6 ~}$ $19.6~$
Синтоническая запятая (SC)	$LDDS = GDLD {\ displaystyle {{ LD} \ over {DS}} = {{GD} \ over {LD}}}$ ${{LD} \over {DS}}={{GD} \over {LD}}$	$S 2 S 1 = 135 128 ÷ 25 24 {\ displaystyle {S_ {2} \ over S_ {1}} = { {135 \ более 128} \ div {25 \ более 24}}}$ ${S_{2} \over S_{1}}={{135 \over 128}\div {25 \over 24}}$	$81 80 {\ displaystyle {81 \ over 80}}$ ${81 \over 80}$	$21,5 {\ displaystyle 21,5 ~}$ $21.5~$
Синтоническая запятая (SC)		$S 4 S 3 = 27 25 ÷ 16 15 {\ displaystyle {S_ {4} \ over S_ {3}} = {{27 \ over 25} \ div {16 \ over 15}}}$ ${S_{4} \over S_{3}}={{27 \over 25}\div {16 \over 15}}$	$81 80 {\ displaystyle {81 \ over 80}}$ ${81 \over 80}$	$21,5 {\ displaystyle 21,5 ~}$ $21.5~$
Малый diesis (LD)	$м 2 1 {\ displaystyle {m2 \ over A1}}$ ${m2 \over A1}$ . в 1/4 комм. a meanone	$S 3 S 1 = 16 15 ÷ 25 24 {\ displaystyle {S_ {3} \ over S_ {1}} = {{16 \ over 15} \ div {25 \ over 24}}}$ ${S_{3} \over S_{1}}={{16 \over 15}\div {25 \over 24}}$	$128 125 {\ displaystyle {128 \ over 125}}$ ${128 \over 125}$	$41.1 {\ displaystyle 41.1 ~}$ $41.1~$
Малый diesis (LD)		$S 4 S 2 = 27 25 ÷ 135 128 {\ displaystyle {S_ {4} \ over S_ {2} } = {{27 \ over 25} \ div {135 \ over 128}}}$ ${S_{4} \over S_{2}}={{27 \over 25}\div {135 \over 128}}$		$41.1 {\ displaystyle 41.1 ~}$ $41.1~$
Большой диэзис (GD)	$m 2 A 1 {\ displaystyle {m2 \ over A1}}$ ${m2 \over A1}$ . в 1 / 3- запятая означает один	$S 4 S 1 = 27 25 ÷ 25 24 {\ displaystyle {S_ {4} \ over S_ {1}} = {{27 \ over 25} \ div {25 \ over 24}}}$ ${S_{4} \over S_{1}}={{27 \over 25}\div {25 \over 24}}$	$648 625 {\ displaystyle {648 \ over 625}}$ ${648 \over 625}$	$62.6 {\ displaystyle 62.6 ~}$ $62.6~$

Остальные шесть соотношений отбрасываются, потому что они прямо противоположны этим и, следовательно, имеют точно такую же длину, но противоположное направление (т. е. нисходящее направление, отношение меньше 1/1 и отрицательный размер в центах). Мы получаем запятые четырех разных размеров: диашизму, малый диэзис, синтоническую запятую и большую диэзис. Поскольку S 1 (просто A1) и S 3 (просто m2) являются наиболее часто встречающимися полутонами в этой 12-тональной шкале (см. Таблицы выше), меньший diesis, определяемая как соотношение между ними, является наиболее часто встречающейся запятой.

Синтоническая запятая также определяется в 5-предельной настройке как отношение между мажорным тоном (M2 с размером 9/8) и второстепенным тоном (M2 с размером 10 / 9). Обратите внимание, что в других системах настройки его нельзя определить как соотношение между диатоническим и хроматическим полутонами (м2 / A1), но это важное эталонное значение, используемое для настройки идеальной квинты в любой системе настройки в континуум синтонного темперамента (включая также означающие темпераменты).

Уменьшенные секунды

Три из вышеупомянутых запятых, а именно диашизма, диесис и большой диесис, соответствуют определению уменьшенной секунды, являясь разницей между размерами в центах диатонического и хроматического полутона (или, что то же самое, соотношения их частотных соотношений).

Напротив, синтоническая запятая определяется либо как разница в центах между двумя хроматическими полутонами (S 2 и S 1), либо между двумя диатоническими полутонами. (S 4 и S 3) и не может считаться уменьшенной секундой.

Расширение двенадцатитонной шкалы

В приведенной выше таблице используются только малые степени 3 и 5 для построения базовых отношений. Однако его можно легко расширить, используя более высокие положительные и отрицательные степени одних и тех же чисел, например 5 = 25, 5 = 1/25, 3 = 27 или 3 = 1/27. Масштаб с 25, 35 или даже большим шагом может быть получен путем комбинирования этих основных соотношений.

Например, можно получить 35 шагов, добавляя строки в каждом направлении следующим образом:

Фактор		1/9	1/3	1	3	9
125	примечание. соотношение. центов	A♯. 125/72. 955,0	E♯. 125/96. 457,0	B♯. 125/64. 1158,9	F +. 375/256. 660,9	C +. 1125/1024. 162,9
25	примечание. соотношение. центов	F♯. 25/18. 568,7	C♯. 25/24. 70,7	G♯. 25/16. 772,6	D♯. 75/64. 274,6	A♯ +. 225/128. 976,5
5	примечание. соотношение. центов	D-. 10/9. 182,4	A. 5/3. 884,4	E. 5/4. 386,3	B. 15/8. 1088,3	F♯ +. 45/32. 590,2
1	примечание. соотношение. центов	B ♭ -. 16/9. 996,1	F. 4/3. 498,0	C. 1/1. 0,0	G. 3/2. 702,0	D. 9/8. 203,9
1/5	примечание. соотношение. центов	G ♭ -. 64/45. 609,8	D ♭ -. 16/15. 111,7	A ♭. 8/5. 813,7	E ♭. 6/5. 315,6	B ♭. 9/5. 1017,6
1/25	примечание. соотношение. центов	E −. 256/225. 223,5	B −. 128/75. 925,4	F ♭. 32/25. 427,4	C ♭. 48/25. 1129,3	G ♭. 36/25. 631,3
1/125	примечание. соотношение. центов	C −. 2048/1125. 1037,1	G −. 512/375. 539,1	D −. 128/125. 41,1	A. 192/125. 743.0	E. 144/125. 245.0

Левый столбец (1 / 9 ) иногда удаляется (как в асимметричной шкале, показанной выше), создавая таким образом асимметричную таблицу с меньшим количеством шагов. Обратите внимание, что для уменьшенной пятой части создается более высокое соотношение (CG = 36/25) по сравнению с ограниченной 5-предельной настройкой, описанной выше (где C к G ♭ - = 64/45).

История

В пифагорейской настройке, возможно, первой системе настройки, теоретизированной на Западе, единственными высоко согласными интервалами были идеальная квинта и ее инверсия идеальный четвертый. Пифагорейская мажорная треть (81:64) и минорная треть (32:27) были диссонансными, и это мешало музыкантам использовать трезвучия и аккорды, заставляя их веками писать музыку с относительно простой текстурой. В конце Средневековья музыканты осознали, что, слегка смягчив высоту некоторых нот, пифагорейские трети можно сделать согласными. Например, если вы уменьшите на синтонную запятую (81:80), частота E, C-E (основная треть) и E-G (второстепенная треть) станет равной. А именно, CE сужается до правильно интонированного отношения

81 64 ⋅ 80 81 = 1 ⋅ 5 4 ⋅ 1 = 5 4 {\ displaystyle {81 \ over 64} \ cdot {80 \ over 81} = {{1 \ cdot 5} \ over {4 \ cdot 1}} = {5 \ over 4}}

{81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}

и в то же время EG расширяется до справедливого отношения

32 27 ⋅ 81 80 = 2 ⋅ 3 1 ⋅ 5 = 6 5 {\ Displaystyle {32 \ более 27} \ cdot {81 \ более 80} = {{2 \ cdot 3} \ более {1 \ cdot 5}} = {6 \ более 5}}

{32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}

Недостатком является то, что квинта AE и EB, сглаживая E, становятся почти такими же диссонирующими, как пифагорейская волчья квинта. But the fifth C-G stays consonant, since only E has been flattened (C-E * E-G = 5/4 * 6/5 = 3/2), and can be used together with C-E to produce a C-major triad (C-E-G).

By generalizing this simple rationale, Gioseffo Zarlino, in the late sixteenth century, created the first justly intonated 7-tone (diatonic ) scale, which contained pure perfect fifths (3:2), pure major thirds, and pure minor thirds:

F → A → C → E → G → B → D

This is a sequence of just major thirds (M3, ratio 5:4) and just minor thirds (m3, ratio 6:5), starting from F:

F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3

Since M3 + m3 = P5 (perfect fifth), i.e., 5/4 * 6/5 = 3/2, this is exactly equivalent to the diatonic scale obtained in 5-limit just intonation, and hence can be viewed as a subset of the construction table used for the 12-tone (chromatic ) scale:

A	→	E	→	B
↑		↑		↑
F	→	C	→	G	→	D

where both rows are sequences of just fifths, and F-A, C-E, G-B are just major thirds:

M3		M3		M3
+		+		+
F	+	P5	+	P5	+	P5

Notes

External links

Art of the States: microtonal/just intonation works using just intonation by American composers
The Chrysalis Foundation – Just Intonation: Two Definitions
Dante Rosati's 21 Tone Just Intonation guitar
Just Intonation by Mark Nowitzky
Just Intonation Explained by Kyle Gann
A selection of Just Intonation works edited by the Just Intonation Network web published on the Tellus Audio Cassette Magazine project archive at Ubuweb
Medieval Music and Arts Foundation
Music Novatory – Just Intonation
Why does Just Intonation sound so good?
The Wilson Archives
Barbieri, Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante
22 Note Just Intonation Keyboard Software with 12 Indian Instrument Sounds Libreria Editrice
Plainsound Music Edition – JI music and research, information about the Helmholtz-Ellis JI Pitch Notation