Метод потока вадозной зоны с конечным содержанием воды

Метод определения потока в вадозной зоне с конечным содержанием воды представляет собой одномерную альтернативу численному решению уравнения Ричардса для моделирования движения воды в ненасыщенных почвах. Метод конечного содержания воды решает член, подобный адвекции, в уравнении скорости влажности почвы, которое является обыкновенным дифференциальным уравнением, альтернативным уравнению Ричардса в частных производных. Уравнение Ричардса трудно аппроксимировать в целом, потому что оно не имеет замкнутого аналитического решения, за исключением нескольких случаев. Метод конечного содержания воды, возможно, является первой общей заменой численного решения уравнения Ричардса. Решение с конечным содержанием воды имеет несколько преимуществ по сравнению с решением уравнения Ричардса. Во-первых, как обыкновенное дифференциальное уравнение оно является явным, гарантированно сходится и требует недорогих вычислений для решения. Во-вторых, использование методологии решения конечного объема гарантированно сохраняет массу. Метод конечного содержания воды легко моделирует резкие фронты смачивания, с чем борется решение Ричардса. Основное ограничивающее допущение, необходимое для использования метода конечной влажности, состоит в том, что почва должна быть однородной по слоям.

Конечная дискретизация водности. Пористая среда разделена на n однородных «ячеек» с $\Delta \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; theta\}$содержанием воды.

Метод определения потока в зоне аэрозоля с конечным содержанием воды выводится из та же отправная точка, что и при выводе уравнения Ричардса. Однако при выводе используется преобразование годографа для получения решения адвекции, которое не включает коэффициент диффузии почвенной воды, где $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$становится зависимой переменной, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$становится независимой переменной:

$(dzdt)\; \theta \; =\; \partial \; K\; (\theta )\; \partial \; \theta \; [1\; -\; (\partial \; \psi \; (\theta )\; \partial \; z)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \}$

где:

$K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$ненасыщенный гидравлическая проводимость [LT],

$\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$- капиллярный напор [L] (отрицательный для ненасыщенного грунта),

$z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$- вертикальная координата [L] (положительное значение вниз),

$\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- содержание воды, (-) и

$t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$равно time [T].

Это уравнение было преобразовано в в набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE) с использованием метода линий для преобразования частных производных в правой части уравнения в соответствующие конечные разности формы. Эти три ODE представляют динамику инфильтрации воды, падающих пробок и капиллярных грунтовых вод соответственно.

Содержание

• 1 Вывод
• 2 Основы метода
  • 2.1 Фронты инфильтрации
  • 2.2 Падающие пробки
  • 2.3 Капиллярные фронты подземных вод
  • 2.4 Капиллярная релаксация
• 3 Основополагающие соотношения
• 4 Ограничения
• 5 Наград
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Деривация

В 2017 г. был опубликован более высокий вывод, показывающий, что это уравнение является версией без распространения Уравнение скорости влажности почвы.

Один из способов решить это уравнение - решить его относительно $q\; (\theta ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (\backslash \; theta,\; t)\}$и $z\; (\; \theta ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (\backslash \; theta,\; t)\}$путем интегрирования:

$\int \; \partial \; q\; \partial \; \theta \; d\; \theta \; =\; \int \; \partial \; z\; \partial \; td\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\}$

Вместо этого дискретизация конечного содержания воды используется, а интегралы заменяются суммированием:

$\sum \; j\; =\; 1\; N\; [\partial \; q\; \partial \; \theta ]\; j\; \Delta \; \theta \; =\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; [\partial \; z\; \partial \; t]\; j\; \Delta \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{j\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{\; j\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; theta\}$

где $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$- общее количество бункеров с конечным содержанием воды.

Используя этот подход, уравнение сохранения для каждого интервала:

$[\partial \; q\; \partial \; \theta ]\; j\; =\; [\partial \; z\; \partial \; t]\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{j\}.\}$

Метод линий используется для замены форм в частных производных справа на соответствующие конечно-разностные формы. Этот процесс приводит к набору трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают динамику фронтов инфильтрации, падающих пробок и капиллярных фронтов подземных вод с использованием конечной дискретизации содержания воды.

Основные сведения о методе

Метод расчета потока зоны аэрации с конечным содержанием воды заменяет уравнение Ричардса PDE набором из трех обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Эти три ODE разработаны в следующих разделах. Более того, поскольку метод конечного содержания воды явно не включает коэффициент диффузии почвенной воды, он требует отдельного этапа релаксации капилляров. Капиллярная релаксация представляет собой процесс минимизации свободной энергии в масштабе пор, который не вызывает адвекции за пределами шкалы REV.

Фронты инфильтрации

Фронты инфильтрации в области конечного содержания воды.

Как показано на рисунке 1, вода, проникая на поверхность суши, может протекать через поровое пространство между $\theta \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{d\}\}$и $\theta \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\}$. В контексте метода строк члены частных производных заменяются на:

$\partial \; K\; (\theta )\; \partial \; \theta \; =\; K\; (\theta \; d)\; -\; K\; (\theta \; i)\; \theta \; d\; -\; \theta \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{d\})\; -\; K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{d\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\}\}.\}$

Учитывая, что любая затопленная глубина воды на поверхности земли составляет $hp\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{p\}\}$, Используется предположение Грина и Ампта (1911),

$\partial \; \psi \; (\theta )\; \partial \; z\; =\; |\; \psi \; (\theta \; d)\; |\; +\; hpzj,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta\; \_\; \{d\})\; |\; +\; h\_\; \{p\}\}\; \{z\_\; \{j\}\}\},\}$

представляет градиент напора капилляра, который управляет потоком. Следовательно, уравнение конечной влажности в случае фронтов инфильтрации:

$(dzdt)\; j\; =\; K\; (\theta \; d)\; -\; K\; (\theta \; i)\; \theta \; d\; -\; \theta \; i\; (|\; \psi \; (\theta \; d)\; |\; +\; hpzj\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{d\})\; -\; K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{d\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta\; \_\; \{d\})\; |\; +\; h\_\; \{p\}\}\; \{z\_\; \{j\}\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right).\}$

Падающие слизни

Падающие слизни в домене с конечным содержанием воды. Вода в каждом бункере считается отдельной пробкой.

После прекращения дождя и просачивания всей поверхностной воды вода в емкостях, содержащих фронты инфильтрации, отрывается от поверхности земли. Предполагая, что капиллярность на передней и задней кромках этой «падающей пробки» воды уравновешена, тогда вода проходит через среду с возрастающей проводимостью, связанной с $j\; th\; \Delta \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{\backslash \; text\; \{\; th\}\}\; \backslash \; \backslash \; Delta\; \backslash \; theta\}$bin:

$(dzdt)\; j\; =\; K\; (\theta \; j)\; -\; K\; (\theta \; j\; -\; 1)\; \theta \; j\; -\; \theta \; j\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{j\})\; -\; K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{j-1\})\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{\; j\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{j-1\}\}\}\}$

Капиллярные фронты подземных вод

Капиллярные фронты подземных вод в области конечной влажности.

В этом случае поток воды к $j\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$bin находится между bin j и i. Следовательно, в контексте метода линий :

$\partial \; K\; (\theta )\; \partial \; \theta \; =\; K\; (\theta \; j)\; -\; K\; (\theta \; i)\; \theta \; j\; -\; \theta \; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{j\})\; -\; K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\; \}\}\},\}$

и,

$\partial \; \psi \; (\theta )\; \partial \; z\; =\; |\; \psi \; (\theta \; j)\; |\; ЧАС\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta)\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta\; \_\; \{j\})\; |\}\; \{H\_\; \{j\}\}\}\}$

, что дает:

$(dzdt)\; j\; =\; K\; (\theta \; j)\; -\; K\; (\theta \; i)\; \theta \; j\; -\; \theta \; i\; (|\; \psi \; (\theta \; j)\; |\; H\; j\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{j\})\; -\; K\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; psi\; (\backslash \; theta\; \_\; \{j\})\; |\}\; \{H\_\; \{j\}\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right).\}$

Работоспособность этого уравнения была проверена для случаев, когда скорость уровня грунтовых вод была меньше 0,92 $K\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{s\}\}$, с использованием эксперимента с колонками, проведенного после этого Чайлдсом и Пуловассилисом. (1962). Результаты этой проверки показали, что метод расчета потока в зоне аэрации с конечным содержанием воды работает сравнимо с численным решением уравнения Ричардса.

Капиллярная релаксация

Поскольку гидравлическая проводимость быстро увеличивается по мере того, как содержание воды приближается к насыщению, как показано на рисунке 1, крайние правые бункеры как на фронтах капиллярных грунтовых вод, так и на фронтах инфильтрации могут выходить наружу. -бегите "своих соседей налево". При дискретизации конечного содержания воды эти удары рассеиваются в процессе капиллярной релаксации, который представляет собой процесс минимизации свободной энергии в масштабе пор, который не приводит к адвекции за пределами шкалы REV. В числовом выражении этот процесс представляет собой числовой вид, который помещает фронты в монотонно убывающая величина слева направо.

Определяющие соотношения

Метод потока вадозной зоны с конечным содержанием воды работает с любыми монотонными кривой удержания воды / ненасыщенной гидравлической проводимостью, такими как отношения Брукса и Кори Клаппа, Хорнбергера и Ван Генухтен-Муалем. Этот метод может работать с гистерезисным соотношением водоудержания - они еще не проверены.

Ограничения

В методе конечной влажности отсутствует эффект диффузии почвенной воды. Это упущение не влияет на точность расчетов потока с использованием этого метода, поскольку среднее значение диффузионного потока мало. Фактически это означает, что форма фронта смачивания не играет роли в продвижении инфильтрации. В практических приложениях метод пока ограничен одномерным. Уравнение инфильтрации было расширено до 2- и квазитрехмерных измерений. Еще предстоит проделать большую работу по расширению всего метода более чем на одно измерение.

Награды

Документ с описанием этого метода был выбран Сетью гидрогеологов в начале карьеры Международной ассоциации гидрогеологов для получения награды «Самая крутая статья, опубликованная в 2015 году» в знак признания потенциального воздействия публикация о будущем гидрогеологии.

См. Также

• Уравнение Ричардса
• Инфильтрация (гидрология)
• Уравнение скорости влажности почвы

Ссылки