Финансовая корреляция

редактировать

Финансовая корреляция измеряет взаимосвязь между изменениями двух или более финансовых переменных во времени. Например, цены акций и облигаций с фиксированной процентной ставкой часто движутся в противоположных направлениях: когда инвесторы продают акции, они часто используют выручку для покупки облигаций и наоборот. В этом случае цены акций и облигаций имеют отрицательную корреляцию.

Финансовые взаимосвязи играют ключевую роль в современных финансах. Согласно модели ценообразования капитальных активов (CAPM; модель, признанная Нобелевской премией ), увеличение диверсификации увеличивает соотношение доходности / риска. Меры риска включают значение подверженной риску, ожидаемый дефицит и доходность портфеля дисперсия.

Содержание

1 Финансовая корреляция и коэффициент корреляции продукта-момента Пирсона
2 Меры финансовой корреляции
- 2.1 Корреляция Броуновских движений
- 2.2 Биномиальный коэффициент корреляции
  - 2.2.1 Связанные корреляции
  - 2.2.2 Копулы и финансовый кризис 2007–2008 годов
  - 2.2.3 Иррациональная самоуспокоенность
  - 2.2.4 Динамические связки
- 2.3 Моделирование условно независимой корреляции по умолчанию (CID)
- 2.4 Моделирование заражения по умолчанию
3 Подходы корреляции сверху вниз
4 Ссылки

Финансовая корреляция и продукт Пирсона коэффициент корреляции моментов

Существует несколько статистических показателей степени финансовой корреляции. Коэффициент корреляции продукта-момента Пирсона иногда применяется для корреляции финансовых показателей. Однако ограничения корреляционного подхода Пирсона в финансах очевидны. Во-первых, линейные зависимости, оцениваемые с помощью коэффициента корреляции Пирсона, в финансах встречаются нечасто. Во-вторых, меры линейной корреляции - это только меры естественной зависимости, если совместное распределение переменных эллиптическое. Однако только несколько финансовых распределений, таких как многомерное нормальное распределение и многомерное t-распределение Стьюдента, являются частными случаями эллиптических распределений, для которых мера линейной корреляции может быть осмысленно интерпретирована. В-третьих, нулевой коэффициент корреляции произведение-момент Пирсона не обязательно означает независимость, потому что учитываются только два первых момента. Например, $Y = X 2 {\ displaystyle Y = X ^ {2}}$ $Y = X ^ {2}$ (y ≠ 0) приведет к нулевому коэффициенту корреляции Пирсона, что, возможно, вводит в заблуждение. Поскольку подход Пирсона неудовлетворителен для моделирования финансовых корреляций, количественные аналитики разработали конкретные меры финансовой корреляции. Для точной оценки корреляций требуется, чтобы процесс моделирования маргиналов включал такие характеристики, как асимметрия и эксцесс. Отсутствие учета этих атрибутов может привести к серьезной ошибке оценки корреляций и ковариаций, которые имеют отрицательные смещения (до 70% от истинных значений). В практическом применении в оптимизации портфеля точная оценка ковариационной матрицы имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с гауссовой копулой и четко определенными предельными распределениями является эффективным.

Меры финансовой корреляции

Корреляция броуновских движений

Стивен Хестон применил корреляцию подход к отрицательной корреляции стохастической доходности акций $d S (t) S (t) {\ displaystyle {\ frac {dS (t)} {S (t)}}}$ ${\ frac {dS (t)} {S (t)}}$ и стохастической волатильности $σ (T) {\ Displaystyle \ \ sigma (t)}$ $\ \ sigma (t)$ . Основными уравнениями исходной модели Хестона являются два стохастических дифференциальных уравнения, СДУ

d S (t) S (t) = μ dt + σ (t) dz 1 (t) {\ displaystyle {\ frac {dS (t)} {S (t)}} = \ mu \, dt + \ sigma (t) \, dz_ {1} (t)}

{\ frac {dS (t)} {S (t)}} = \ mu \, dt + \ sigma (t) \, dz_ {1} (t)

( 1)

d σ 2 (t) = г [σ L 2 - σ 2 (t)] dt + ξ σ (t) dz 2 (t) {\ displaystyle d \ sigma ^ {2} (t) = g [\ sigma _ {L} ^ {2} - \ sigma ^ {2} (t)] \, dt + \ xi \ sigma (t) \, dz_ {2} (t)}

d \ sigma ^ {2} (t) = g [\ sigma _ {L} ^ {2} - \ sigma ^ {2} (t)] \, dt + \ xi \ sigma (t) \, dz_ {2} ( t)

(2)

где S - базовая акция, $μ {\ displaystyle \ \ mu}$ $\ \ mu$ - ожидаемая скорость роста $S {\ displaystyle S}$ $S$ , а $σ (t) {\ displaystyle \ \ sigma (t)}$ $\ \ sigma (t)$ - стохастическая волатильность $S {\ displaystyle S}$ $S$ при время t. В уравнении (2) g - это средняя скорость возврата (гравитация), которая переводит дисперсию $σ 2 (t) {\ displaystyle \ \ sigma ^ {2} (t)}$ $\ \ sigma ^ {2} (t)$ к своему долгосрочное среднее $σ L 2 {\ displaystyle \ sigma _ {L} ^ {2}}$ $\ sigma _ {L} ^ {2}$ , а $ξ {\ displaystyle \ \ xi}$ $\ \ xi$ - это волатильность волатильности σ (t). dz (t) - стандартное броуновское движение, т.е. $dz (t) = ε tdt {\ displaystyle dz (t) = \ varepsilon _ {t} {\ sqrt {dt}}}$ $dz (t) = \ varepsilon _ {t} {\ sqrt {dt}}$ , $ε t {\ displaystyle \ \ varepsilon _ {t}}$ $\ \ varepsilon _ {t}$ is iid, в частности $ε t {\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}$ $\ varepsilon _ {t}$ - случайный выбор из стандартизированного нормального распределения n ~ (0,1). В уравнении (1) лежащий в основе $S {\ displaystyle S}$ $S$ следует стандартному геометрическому броуновскому движению, которое также применяется в модели Блэка – Шоулза – Мертона, однако предполагает постоянную волатильность. Корреляция между случайными процессами (1) и (2) вводится путем корреляции двух броуновских движений $dz 1 {\ displaystyle dz_ {1}}$ $dz_ {1}$ и $dz 2 {\ displaystyle dz_ {2}}$ $dz_ {2}$ . Мгновенная корреляция $ρ {\ displaystyle \ \ rho}$ $\ \ rho$ между броуновскими движениями равна

Corr ⁡ [dz 1 (t), dz 2 (t)] = ρ dt {\ displaystyle \ operatorname {Corr} [dz_ {1} (t), dz_ {2} (t)] = \ rho \, dt}

\ имя оператора {Corr} [dz_ {1} (t), dz_ {2} (t)] = \ rho \, dt

(3).

Определение (3) может быть удобно смоделировано с тождеством

dz 1 (t) = ρ dz 2 (t) + 1 - ρ dz 3 (t) {\ displaystyle dz_ {1} (t) = {\ sqrt {\ rho}} dz_ {2} (t) + {\ sqrt {1- \ rho}} \, dz_ {3} (t)}

dz_ {1} (t) = {\ sqrt {\ rho}} dz_ {2} (t) + {\ sqrt {1- \ rho}} \, dz_ {3} (t)

(4)

где $dz 2 (t) {\ displaystyle dz_ { 2} (t)}$ $dz_ {2} (t)$ и $dz 3 (t) {\ displaystyle dz_ {3} (t)}$ $dz_ {3} (t)$ независимы, а $dz (t) { \ displaystyle dz (t)}$ $dz (t)$ и $dz (t ') {\ displaystyle dz (t')}$ $dz(t')$ независимы, t ≠ t '.

Cointelation SDE связывает вышеупомянутые SDE с концепцией возврата к среднему и дрейфа, которые обычно являются концепциями, которые практикующие неправильно понимают.

Коэффициент биномиальной корреляции

Еще одна мера финансовой корреляции, в основном применяемая для корреляции по умолчанию, - это подход биномиальной корреляции Лукаса (1995). Мы определяем биномиальные события $1 X = 1 {τ X ≤ T} {\ displaystyle 1_ {X} = 1 _ {\ {\ tau _ {X} \ leq T \}}}$ $1_ {X} = 1 _ {{\ {\ tau _ {X} \ leq T \}}}$ и $1 Y = 1 {τ Y ≤ T} {\ displaystyle 1_ {Y} = 1 _ {\ {\ tau _ {Y} \ leq T \}}}$ $1_ {Y } = 1 _ {{\ {\ tau _ {Y} \ leq T \}}}$ где $τ X {\ displaystyle \ tau _ {X}}$ $\ tau _ {X}$ - время по умолчанию для объекта $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $τ Y {\ displaystyle \ tau _ { Y}}$ $\ tau _ {Y}$ - время по умолчанию для объекта $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Следовательно, если объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ принимает значения по умолчанию до или во время $T {\ displaystyle T}$ $T$ , случайная индикаторная переменная $1 X {\ displaystyle 1_ {X}}$ $1_ {X}$ примет значение 1, в противном случае - 0. То же самое относится к $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Кроме того, $P (X) {\ displaystyle P (X)}$ $P (X)$ и $P (Y) {\ displaystyle P (Y)}$ $P (Y)$ является вероятностью по умолчанию $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ соответственно, и $P (XY) {\ displaystyle P (XY)}$ $P (XY)$ - это совокупная вероятность неисполнения обязательств. Стандартное отклонение биномиального события за одну попытку составляет $P (X) - (P (X)) 2 {\ displaystyle {\ sqrt {P (X) - (P (X)) ^ {2}}} }$ ${\ sqrt {P (X) - ( P (X)) ^ {2}}}$ , где P - вероятность исхода X. Следовательно, мы получаем общий коэффициент зависимости по умолчанию для биномиальных событий $1 {τ X ≤ T} {\ displaystyle 1 _ {\ {\ tau _ {X} \ leq T \}}}$ $1 _ {{\ {\ tau _ {X} \ leq T \}}}$ и $1 {τ Y ≤ T} {\ displaystyle 1 _ {\ {\ tau _ {Y} \ leq T \}}}$ $1 _ {{\ {\ tau _ {Y} \ leq T \}}}$ как

ρ (1 {τ X ≤ T}, 1 {τ Y ≤ T}) = P (XY) - P (X) P (Y) P (X) - (P (X)) 2 п (Y) - (п (Y)) 2 {\ displaystyle \ rho (1 _ {\ {\ tau _ {X} \ leq T \}}, 1 _ {\ {\ tau _ {Y} \ leq T \ }}) = {\ frac {P (XY) -P (X) P (Y)} {{\ sqrt {P (X) - (P (X)) ^ {2}}} {\ sqrt {P ( Y) - (P (Y)) ^ {2}}}}}}

\ rho (1 _ {{\ {\ tau _ {X} \ leq T \}}}, 1 _ {{\ { \ tau _ {Y} \ leq T \}}}) = {\ frac {P (XY) -P (X) P (Y)} {{\ sqrt {P (X) - (P (X)) ^ {2}}} {\ sqrt {P (Y) - (P (Y)) ^ {2}}}}}

(5).

По построению уравнение (5) может моделировать только биномиальные события, например, по умолчанию и без значения по умолчанию. Подход биномиальной корреляции уравнения (5) является предельным случаем подхода корреляции Пирсона, обсуждаемого в разделе 1. Как следствие, существенные недостатки подхода корреляции Пирсона для финансового моделирования относятся также и к модели биномиальной корреляции.

Связочные корреляции

Довольно недавний, известный и печально известный подход корреляции, применяемый в финансах, - это подход связки. Копулы восходят к Склару (1959). Копулы были введены в финансы Васичеком (1987) и Ли (2000).

Копулы упрощают статистические задачи. Они позволяют объединить несколько одномерных распределений в одно многомерное распределение. Формально функция связки C преобразует n-мерную функцию на интервале [0,1] в единичную:

C: [0, 1] n → [0, 1] {\ displaystyle C: [ 0,1] ^ {n} \ rightarrow [0,1]}

C: [0,1] ^ {n} \ rightarrow [0,1]

(6).

Более подробно, пусть $ui {\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$ - равномерный случайный вектор с $ui = u 1,..., un, ui ∈ [0, 1] {\ displaystyle u_ {i} = u_ {1},..., u_ {n}, u_ {i} \ in [0,1]}$ $u_ {i} = u_ {1},..., u_ {n}, u_ {i} \ in [0,1]$ и $я ∈ N {\ displaystyle i \ in N}$ $i \ in N$ . Тогда существует функция связки $C {\ displaystyle C}$ $C$ такая, что

C (u 1,…, un) = F [F 1 - 1 (u 1),…, F п - 1 (un)] {\ displaystyle C (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) = F [F_ {1} ^ {- 1} (u_ {1}), \ ldots, F_ {n } ^ {- 1} (u_ {n})]}

C (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) = F [F_ {1} ^ {{- 1}} ( u_ {1}), \ ldots, F_ {n} ^ {{- 1}} (u_ {n})]

(7)

где F - совместная кумулятивная функция распределения, а $F i {\ displaystyle \ F_ {i}}$ $\ F_ {i}$ , i = 1,..., n i - одномерные предельные распределения. $F i - 1 {\ displaystyle F_ {i} ^ {- 1}}$ $F_ {i} ^ {- 1}$ является обратной величиной $F i {\ displaystyle \ F_ {i}}$ $\ F_ {i}$ . Если маргинальные распределения $F i - 1 (u i) {\ displaystyle F_ {i} ^ {- 1} (u_ {i})}$ $F_ {i} ^ {- 1}} (u_ {i})$ непрерывны, то C уникален. Свойства и доказательства уравнения (11) см. В Sklar (1959) и Nelsen (2006). Существуют многочисленные типы функций связки. Их можно в общих чертах разделить на однопараметрические связки, такие как гауссова связка и архимедова связка, которые включают связки Гамбеля, Клейтона и Франка. Часто упоминаются двухпараметрические связки Стьюдента, Фреше и Маршалла-Олкина. Обзор этих связок см. В Nelsen (2006). В финансах копулы обычно применяются для получения коррелированных вероятностей дефолта в портфеле, например, в обеспеченном долговом обязательстве, CDO. Впервые это сделал Ли в 2006 году. Он определил однородные поля u i как совокупные вероятности дефолта Q для объекта i в фиксированный момент времени t, $Q i (t) {\ displaystyle Q_ {i } (t)}$ $Q_ {i} ( t)$ :

ui = Q i (t) {\ displaystyle \ u_ {i} = Q_ {i} (t)}

\ u_ {i} = Q_ {i} (t)

(8).

Следовательно, из уравнений ( 7) и (8) мы выводим гауссовскую копулу времени по умолчанию CGD,

CGD (u 1,…, un) = M n, R [N 1 - 1 (Q 1 (t)),…, N n - 1 (Q n (t))] {\ displaystyle C_ {GD} (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) = M_ {n, R} [N_ {1} ^ {- 1} (Q_ { 1} (t)), \ ldots, N_ {n} ^ {- 1} (Q_ {n} (t))]}

C _ {{GD}} (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) = M _ {{ n, R}} [N_ {1} ^ {{- 1}} (Q_ {1} (t)), \ ldots, N_ {n} ^ {{- 1}} (Q_ {n} (t)) ]

(9).

В уравнении (9) члены $N i - 1 {\ displaystyle N_ {i} ^ {- 1}}$ $N_ {i} ^ {{- 1}}$ сопоставить совокупные вероятности дефолта Q актива i за время t, $Q i (t) {\ displaystyle Q_ {i} (t)}$ $Q_ {i} ( t)$ , процентиль к процентилю к стандартной норме. Отображенные стандартные нормальные предельные распределения $N i - 1 Q i (t) {\ displaystyle N_ {i} ^ {- 1} Q_ {i} (t)}$ $N_ {i} ^ {{- 1}} Q_ {i} (t)$ затем объединяются в один n-вариативное распределение $M n, R {\ displaystyle M_ {n, R}}$ $M _ {{n, R}}$ путем применения корреляционной структуры многомерного нормального распределения с корреляционной матрицей R. Вероятность n коррелированных значений по умолчанию во время t задается как $M n, R {\ displaystyle M_ {n, R}}$ $M _ {{n, R}}$ .

Copulae и финансовый кризис 2007–2008 годов

Было написано множество неакадемических статей, демонизирующих подход связки и обвиняя его в мировом финансовом кризисе 2007/2008 годов, см., например, Salmon 2009, Jones 2009 и Lohr 2009. Существует три основных критических замечания в отношении подхода связки: (а) хвостовая зависимость, (б) калибровка, (в) риск управление.

(a) Хвостовая зависимость

Во время кризиса финансовые корреляции обычно увеличиваются, см. Исследования Даса, Даффи, Кападиа и Сайты (2007) и Даффи, Экнера, Хорела и Сайты (2009).) и ссылки в нем. Следовательно, было бы желательно применить модель корреляции с высокими совместными движениями в нижнем хвосте совместного распределения. Математически можно показать, что гауссова связка имеет относительно низкую зависимость от хвоста, как видно на следующих диаграммах рассеяния.

Рисунок 1: Диаграммы рассеяния различных моделей связок

Как видно на рисунке 1b, ученик- t copula демонстрирует более высокую хвостовую зависимость и, возможно, лучше подходит для моделирования финансовых корреляций. Кроме того, как видно на рисунке 1 (c), связка Гамбеля демонстрирует высокую зависимость хвоста, особенно при отрицательных совместных движениях. Предполагая, что корреляции увеличиваются при снижении цен на активы, копула Гамбеля также может быть хорошим подходом к корреляции для финансового моделирования.

(b) Калибровка

Еще одной критикой копулы Гаусса является сложность откалибровать его по рыночным ценам. На практике обычно используется один параметр корреляции (а не корреляционная матрица) для моделирования корреляции по умолчанию между любыми двумя организациями в обеспеченном долговом обязательстве, CDO. По идее, этот параметр корреляции должен быть одинаковым для всего портфеля CDO. Однако трейдеры случайным образом изменяют параметр корреляции для разных траншей, чтобы получить желаемые спреды между траншами. Трейдеры увеличивают корреляцию для «экстремальных» траншей, таких как транш акций или старших траншей, что называется «улыбкой корреляции». Это похоже на часто цитируемую улыбку подразумеваемой волатильности в модели Блэка – Шоулза – Мертона. Здесь трейдеры увеличивают подразумеваемую волатильность, особенно для пут-опционов «вне денег», но также и для коллов «вне денег» с целью увеличения цены опциона.

В рамках оптимизации средней дисперсии точная оценка ковариационная матрица имеет первостепенное значение. Таким образом, прогнозирование с помощью моделирования Монте-Карло с гауссовой копулой и четко заданными маргинальными распределениями является эффективным. Важно разрешить процессу моделирования учесть эмпирические характеристики доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс. Отсутствие учета этих атрибутов приводит к серьезной ошибке в оценке корреляций и дисперсий, которые имеют отрицательные смещения (до 70% от истинных значений).

Дальнейшее Критика подхода Copula заключается в том, что модель связки статична и, следовательно, допускает только ограниченное управление рисками, см. Finger (2009) или Donnelly and Embrechts (2010). Исходные модели связок Васичека (1987) и Ли (2000) и несколько расширений модели, таких как Халл и Уайт (2004) или Грегори и Лоран (2004), имеют временной горизонт в один период, т.е. являются статичными. В частности, не существует стохастического процесса для критических основных переменных интенсивности по умолчанию и корреляции по умолчанию. Однако даже в этих ранних формулировках связки бэк-тестирование и стресс-тестирование переменных для разных временных горизонтов могут дать ценную чувствительность, см. Whetten and Adelson (2004) и Meissner, Hector, and. Расмуссен (2008). Кроме того, переменные копулы можно сделать функцией времени, как в работе Халла, Предеску и Уайта (2005). Это по-прежнему не создает полностью динамического стохастического процесса с дрейфом и шумом, который позволяет гибкое хеджирование и управление рисками. Лучшие решения - это действительно динамические связки, см. Ниже раздел «Динамические связки».

Иррациональное самоуспокоение

До глобального финансового кризиса 2007–2008 годов многие участники рынка некритически и наивно доверяли модели копулы. Однако кризис 2007–2008 годов был не столько вопросом конкретной корреляционной модели, сколько вопросом «иррационального самоуспокоения». В чрезвычайно благоприятный период с 2003 по 2006 годы надлежащее хеджирование, надлежащее управление рисками и результаты стресс-тестов в значительной степени игнорировались. Ярким примером является дочерняя компания AIG в Лондоне, которая продала и обеспечила долговые обязательства на сумму около 500 миллиардов долларов без какого-либо серьезного хеджирования. Для получения проницательной статьи о неадекватном управлении рисками, ведущем к кризису, см. «Личный взгляд на кризис - признание риск-менеджера» (The Economist 2008). В частности, если какая-либо модель кредитной корреляции снабжается благоприятными входными данными, такими как низкая интенсивность дефолтов и низкая корреляция дефолтов, выходные данные риска будут благоприятными, «мусор в мусоре» в терминологии моделирования.

Динамические копулы

Основным усовершенствованием моделей копул являются динамические копулы, представленные Albanese et al. (2005) и (2007). Подход «динамического кондиционирования» моделирует эволюцию многофакторных сверхрешеток, которые коррелируют процессы возврата каждой сущности на каждом временном шаге. Биномиальные динамические копулы применяют комбинаторные методы, чтобы избежать моделирования Монте-Карло. Более богатые динамические гауссовские связки применяют моделирование Монте-Карло и требуют мощных компьютерных технологий.

Моделирование условно независимой корреляции по умолчанию (CID)

Во избежание указания корреляции по умолчанию между каждой парой сущностей в портфеле часто применяется факторизация. Это приводит к моделированию условно-независимого значения по умолчанию (CID). Наиболее широко применяемой моделью CID является модель однофакторной гауссовой копулы (OFGC). Это была де-факто рыночная модель ценообразования CDO до мирового финансового кризиса 2007/2008 годов. Основное уравнение модели OFGC.

xi = ρ M + 1 - ρ Z i {\ displaystyle x_ {i} = {\ sqrt {\ rho}} M + {\ sqrt {1- \ rho}} Z_ {i }}

x_ {i} = {\ sqrt {\ rho}} M + {\ sqrt {1- \ rho}} Z_ {i}

(10)

где $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $Z i {\ displaystyle Z_ {i}}$ $Z_ {i}$ представляют собой случайные рисунки из $N (0, 1) {\ displaystyle N (0,1)}$ $N(0,1)$ и $0 ≤ ρ ≤ 1 {\ displaystyle 0 \ leq \ rho \ leq 1}$ $0 \ leq \ rho \ leq 1$ . В результате скрытая переменная $x i {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ , иногда интерпретируемая как стоимость актива i, см. Turc, Very, Benhamou and Alvarez et al. (2005), также n ~ (0,1). Общий фактор $M {\ displaystyle M}$ $M$ можно интерпретировать как экономическую среду, возможно, представленную доходностью SP 500. $Z i {\ displaystyle Z_ {i}}$ $Z_ {i}$ - идиосинкразический компонент, «сила» предприятия i, возможно, измеряемая доходностью цены акций предприятия i. Из уравнения (10) мы видим, что корреляция между объектами i моделируется косвенно, обусловливая скрытую переменную $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ на общем множителе $M {\ стиль отображения M}$ $M$ . Например, для p = 1 скрытые переменные всех сущностей $i = 1,..., n, xi = M {\ displaystyle i = 1,..., n, \ x_ {i} = M}$ $i = 1,..., n, \ x_ {i} = M$ , поэтому $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ идентичны в каждой симуляции. Для p = 0 все скрытые переменные для всех сущностей $i = 1,…, n, xi = Z i {\ displaystyle i = 1, \ ldots, n, \ x_ {i} = Z_ {i}}$ $i = 1, \ ldots, n, \ x_ {i} = Z_ {i}$ , следовательно, $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ независимы. Важно отметить, что как только мы зафиксируем значение M, значения по умолчанию для n субъектов станут (при условии M) взаимно независимыми.

По состоянию на 2010 год OFGC является основой для управления кредитным риском в Базель II.. Преимущества модели - простота и интуитивность. Один из основных недостатков модели заключается в том, что трейдеры, оценивая CDO, случайным образом изменяют параметр корреляции для разных траншей CDO для достижения желаемых спредов между траншами. Однако концептуально параметр корреляции должен быть идентичным для всего портфеля.

Моделирование заражения по умолчанию

Моделирование заражения по умолчанию можно рассматривать как вариант моделирования CID. Как обсуждалось в разделе 2.3, в структуре CID корреляция моделируется путем определения общего рыночного фактора M, который влияет на все организации в одинаковой степени. Чем ниже случайный рисунок для M, тем выше интенсивность по умолчанию для всех сущностей (если ρ = 0). Следовательно, моделирование CID может прояснить кластеризацию по умолчанию. Напротив, подходы заражения моделируют интенсивность сущности по умолчанию как функцию дефолта другой сущности. Следовательно, моделирование вероятности дефолта включает риск контрагента, то есть прямое влияние дефолта на интенсивность дефолта другой организации. В частности, после дефолта определенного лица интенсивность дефолта всех активов в портфеле увеличивается. Это стандартное заражение затем обычно спадает экспоненциально до незаразных уровней интенсивности по умолчанию. См. Статьи Дэвиса и Ло (2001) и Джарроу и Ю (2001), которые первыми разработали моделирование дефолта заражения.

Подходы корреляции сверху вниз

В рамках моделирования кредитной корреляции довольно новым подходом корреляции является моделирование сверху вниз. Здесь эволюция распределения интенсивности портфеля выводится напрямую, т. Е. Абстрагируясь от значений интенсивности по умолчанию отдельных лиц. Нисходящие модели обычно применяются на практике, если:

значения интенсивности по умолчанию для отдельных объектов недоступны или ненадежны.
Интенсивности по умолчанию для отдельных объектов не нужны. Это может иметь место при оценке однородного портфеля, такого как индекс однородных объектов.
Огромный размер портфеля делает проблематичным моделирование индивидуальной интенсивности дефолтов.

Модели сверху вниз обычно более экономны., вычислительно эффективны и часто могут быть лучше откалиброваны по рыночным ценам, чем восходящие модели. Хотя такая, казалось бы, важная информация, как интенсивность по умолчанию отдельных лиц, не принимается во внимание, нисходящая модель обычно может лучше отражать свойства портфеля, такие как волатильность или корреляционные улыбки. Кроме того, стандартную информацию об отдельных объектах часто можно получить с помощью методов случайного прореживания, подробности см. В Giesecke, Goldberg and Ding (2007).

В рамках нисходящего подхода Schönbucher (2006) создает неоднородную по времени марковскую цепь скоростей перехода. Корреляция дефолтов вводится изменениями волатильности переходных ставок. Для определенных групп параметров более высокая изменчивость означает более быстрый переход в более низкие состояния по умолчанию и, как следствие, подразумевает более высокую корреляцию по умолчанию, и наоборот. Точно так же Херд и Кузнецов (2006a) и (2006b) индуцируют корреляцию путем случайного изменения скорости времени. Более высокая скорость времени означает более быстрый переход в более низкое состояние, возможно, по умолчанию, и в результате увеличивает корреляцию по умолчанию, и наоборот. Для сравнительного анализа корреляционных подходов в финансах см. Albanese, Li, Lobachevskiy, and Meissner (2010).