Взаимодействие Ферми

В физике элементарных частиц, взаимодействие Ферми (также теория Ферми бета - распада или Ферми четырехфермионного взаимодействия ) является объяснение бета - распада, предложенная Энрико Ферми в 1934 году теория постулирует четыре фермионы непосредственно взаимодействующих друг с другом (в одном вершина присоединенной диаграммы Фейнмана ). Это взаимодействие объясняет бета-распад нейтрона прямым взаимодействием нейтрона с электроном, нейтрино (позже определенным как антинейтрино ) и протоном.

Ферми впервые эту связь в его описании бета - распада в 1933. Ферми взаимодействия был предшественником теории для слабого взаимодействия, где взаимодействие между протон-нейтрон и электрон-антинейтрино опосредуется виртуального W ^- бозона, из которых Теория Ферми - это низкоэнергетическая эффективная теория поля.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 История первоначального отказа и последующей публикации
• 2 "Tenativo"
  • 2.1 Определения
    • 2.1.1 Электронное состояние
    • 2.1.2 Состояние нейтрино
    • 2.1.3 Состояние тяжелых частиц
  • 2.2 Гамильтониан
  • 2.3 Матричные элементы
  • 2.4 Вероятность перехода
  • 2.5 Запрещенные переходы
• 3 Влияние
• 4 Более поздние разработки
• 5 постоянная Ферми
• 6 Ссылки

История первоначального отказа и последующей публикации

Ферми первым представил свою «предварительную» теорию бета-распада в престижный научный журнал Nature, который отверг ее, «потому что она содержала предположения, слишком далекие от реальности, чтобы представлять интерес для читателя». Позже Nature признала этот отказ одной из самых больших редакторских ошибок в своей истории. Затем Ферми отправил исправленные версии статьи в итальянские и немецкие издания, которые приняли и опубликовали их на этих языках в 1933 и 1934 годах. В то время документ не появился в первичной публикации на английском языке. Английский перевод основополагающей статьи был опубликован в Американском журнале физики в 1968 году.

Ферми счел первоначальный отказ от статьи настолько тревожным, что он решил отвлечься на некоторое время от теоретической физики и заняться только экспериментальной физикой. Вскоре это привело бы к его знаменитой работе по активации ядер медленными нейтронами.

"Тентативо"

Определения

Теория имеет дело с тремя типами частиц, предположительно находящихся в прямом взаимодействии: сначала « тяжелая частица » в «нейтронном состоянии» (), которая затем переходит в свое «протонное состояние» () с испусканием электрона и нейтрино.. ${\ Displaystyle \ rho = + 1}$${\ displaystyle \ rho = -1}$

Электронное состояние

${\ displaystyle \ psi = \ sum _ {s} \ psi _ {s} a_ {s},}$

где - одноэлектронная волновая функция, - его стационарные состояния. ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi _ {s}}$

${\ displaystyle a_ {s}}$- оператор, уничтожающий электрон в состоянии,${\ displaystyle s}$ действующем в пространстве Фока как

${\ Displaystyle a_ {s} \ Psi (N_ {1}, N_ {2}, \ ldots, N_ {s}, \ ldots) = (- 1) ^ {N_ {1} + N_ {2} + \ cdots + N_ {s} -1} (1-N_ {s}) \ Psi (N_ {1}, N_ {2}, \ ldots, 1-N_ {s}, \ ldots).}$

${\ displaystyle a_ {s} ^ {*}}$является оператором создания электронного состояния: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle a_ {s} ^ {*} \ Psi (N_ {1}, N_ {2}, \ ldots, N_ {s}, \ ldots) = (- 1) ^ {N_ {1} + N_ {2 } + \ cdots + N_ {s} -1} N_ {s} \ Psi (N_ {1}, N_ {2}, \ ldots, 1-N_ {s}, \ ldots).}$

Состояние нейтрино

Сходным образом,

${\ displaystyle \ phi = \ sum _ {\ sigma} \ phi _ {\ sigma} b _ {\ sigma},}$

где - волновая функция одиночного нейтрино, - ее стационарные состояния. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi _ {\ sigma}}$

${\ displaystyle b _ {\ sigma}}$- оператор, аннигилирующий нейтрино в состоянии, которое действует в пространстве Фока как ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle b _ {\ sigma} \ Phi (M_ {1}, M_ {2}, \ ldots, M _ {\ sigma}, \ ldots) = (- 1) ^ {M_ {1} + M_ {2} + \ cdots + M _ {\ sigma} -1} (1-M _ {\ sigma}) \ Phi (M_ {1}, M_ {2}, \ ldots, 1-M _ {\ sigma}, \ ldots).}$

${\ displaystyle b _ {\ sigma} ^ {*}}$является оператором создания нейтринного состояния. ${\ displaystyle \ sigma}$

Состояние тяжелых частиц

${\ displaystyle \ rho}$- это оператор, введенный Гейзенбергом (позже обобщенный в изоспин ), который действует на состояние тяжелой частицы, которое имеет собственное значение +1, если частица является нейтроном, и -1, если частица является протоном. Следовательно, состояния тяжелых частиц будут представлены двухстрочными векторами-столбцами, где

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$

представляет собой нейтрон, а

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

представляет протон (в представлении где - обычная матрица спина ). ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$

Операторы, которые превращают тяжелую частицу из протона в нейтрон и наоборот, соответственно представлены как

${\ displaystyle Q = \ sigma _ {x} -i \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 \ end {pmatrix}}}$

а также

${\ displaystyle Q ^ {*} = \ sigma _ {x} + i \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}}.}$

${\ displaystyle u_ {n}}$соотв. является собственной функцией нейтрона соответственно. протон в состоянии. ${\ displaystyle v_ {n}}$${\ displaystyle n}$

Гамильтониан

Гамильтониан состоит из трех частей: представляющей энергию свободных тяжелых частиц, представляющих энергию свободных легких частиц, и части, отвечающей за взаимодействие. ${\ displaystyle H _ {\ text {hp}}}$${\ displaystyle H _ {\ text {lp}}}$${\ displaystyle H _ {\ text {int.}}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {hp}} = {\ frac {1} {2}} (1+ \ rho) N + {\ frac {1} {2}} (1- \ rho) P,}$

где и являются операторы энергии нейтрона и протона соответственно, так что, если, и, если,. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ rho = 1}$${\ displaystyle H _ {\ text {hp}} = N}$${\ displaystyle \ rho = -1}$${\ displaystyle H _ {\ text {hp}} = P}$

${\ displaystyle H _ {\ text {lp}} = \ sum _ {s} H_ {s} N_ {s} + \ sum _ {\ sigma} K _ {\ sigma} M _ {\ sigma},}$

где - энергия электрона в состоянии в кулоновском поле ядра, а - количество электронов в этом состоянии; - количество нейтрино в состоянии и энергия каждого такого нейтрино (предполагается, что оно находится в свободном состоянии с плоской волной). ${\ displaystyle H_ {s}}$${\ displaystyle s ^ {\ text {th}}}$${\ displaystyle N_ {s}}$${\ displaystyle M _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {\ text {th}}}$${\ displaystyle K _ {\ sigma}}$

Часть взаимодействия должна содержать термин, представляющий превращение протона в нейтрон вместе с испусканием электрона и нейтрино (теперь известный как антинейтрино), а также термин для обратного процесса; кулоновская сила между электроном и протоном игнорируется как не имеющая отношения к процессу -распада. ${\ displaystyle \ beta}$

Ферми предлагает два возможных значения для: во-первых, нерелятивистской версии, которая игнорирует спин: ${\ displaystyle H _ {\ text {int.}}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {int.}} = g \ left [Q \ psi (x) \ phi (x) + Q ^ {*} \ psi ^ {*} (x) \ phi ^ {*} ( x) \ right],}$

и впоследствии версия, предполагающая, что легкие частицы являются четырехкомпонентными спинорами Дирака, но что скорость тяжелых частиц мала по сравнению и что члены взаимодействия, аналогичные электромагнитному векторному потенциалу, можно игнорировать: ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle H _ {\ text {int.}} = g \ left [Q {\ tilde {\ psi}} ^ {*} \ delta \ psi + Q ^ {*} {\ tilde {\ psi}} \ delta \ psi ^ {*} \ right],}$

где и - теперь четырехкомпонентные спиноры Дирака, представляет собой эрмитово сопряжение, и является матрицей ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle {\ tilde {\ psi}}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \ end {pmatrix}}.}$

Матричные элементы

Считается, что состояние системы задается кортежем, где указывает, является ли тяжелая частица нейтроном или протоном, является квантовым состоянием тяжелой частицы, является числом электронов в состоянии и является числом нейтрино в состоянии. ${\ displaystyle \ rho, n, N_ {1}, N_ {2}, \ ldots, M_ {1}, M_ {2}, \ ldots,}$${\ displaystyle \ rho = \ pm 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N_ {s}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle M _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Используя релятивистскую версию, Ферми дает матричный элемент между состоянием с нейтроном в состоянии и состоянием без электронов, соответственно. нейтрино, присутствующие в состоянии соотв., и состояние с протоном в состоянии и электроном и нейтрино, присутствующими в состояниях и как ${\ displaystyle H _ {\ text {int.}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle H _ {\ rho = -1, m, N_ {s} = 1, M _ {\ sigma} = 1} ^ {\ rho = 1, n, N_ {s} = 0, M _ {\ sigma} = 0} = \ pm g \ int v_ {m} ^ {*} u_ {n} {\ tilde {\ psi}} _ {s} \ delta \ phi _ {\ sigma} ^ {*} d \ tau,}$

где интеграл берется по всему конфигурационному пространству тяжелых частиц (кроме). Определяется тем, является ли общее количество легких частиц нечетным (-) или четным (+). ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ pm}$

Вероятность перехода

Чтобы вычислить время жизни нейтрона в состоянии в соответствии с обычной квантовой теорией возмущений, указанные выше матричные элементы должны быть суммированы по всем незанятым состояниям электрона и нейтрино. Это упрощается, если предположить, что собственные функции электрона и нейтрино и постоянны в пределах ядра (т. Е. Их комптоновская длина волны намного меньше, чем размер ядра). Это ведет к ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ psi _ {s}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ sigma}}$

${\ displaystyle H _ {\ rho = -1, m, N_ {s} = 1, M _ {\ sigma} = 1} ^ {\ rho = 1, n, N_ {s} = 0, M _ {\ sigma} = 0} = \ pm g {\ tilde {\ psi}} _ {s} \ delta \ phi _ {\ sigma} ^ {*} \ int v_ {m} ^ {*} u_ {n} d \ tau,}$

где и теперь оцениваются в положении ядра. ${\ displaystyle \ psi _ {s}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ sigma}}$

Согласно золотому правилу Ферми вероятность этого перехода равна

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left | a _ {\ rho = -1, m, N_ {s} = 1, M _ {\ sigma} = 1} ^ {\ rho = 1, n, N_ {s} = 0, M _ {\ sigma} = 0} \ right | ^ {2} amp; = \ left | H _ {\ rho = -1, m, N_ {s} = 1, M _ {\ sigma} = 1} ^ { \ rho = 1, n, N_ {s} = 0, M _ {\ sigma} = 0} \ times {\ frac {\ exp {{\ frac {2 \ pi i} {h}} (- W + H_ { s} + K _ {\ sigma}) t} -1} {- W + H_ {s} + K _ {\ sigma}}} \ right | ^ {2} \\ amp; = 4 \ left | H _ {\ rho = -1, m, N_ {s} = 1, M _ {\ sigma} = 1} ^ {\ rho = 1, n, N_ {s} = 0, M _ {\ sigma} = 0} \ right | ^ {2 } \ times {\ frac {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi t} {h}} (- W + H_ {s} + K _ {\ sigma}) \ right)} {(- W + H_ {s} + K _ {\ sigma}) ^ {2}}}, \ end {выровнено}}}$

где - разница в энергии состояний протона и нейтрона. ${\ displaystyle W}$

Усредняя по всем направлениям спина / импульса нейтрино с положительной энергией (где - плотность состояний нейтрино, в конечном итоге доведенная до бесконечности), получаем ${\ displaystyle \ Omega ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ left \ langle \ left | H _ {\ rho = -1, m, N_ {s} = 1, M _ {\ sigma} = 1} ^ {\ rho = 1, n, N_ {s} = 0, M _ {\ sigma} = 0} \ right | ^ {2} \ right \ rangle _ {\ text {avg}} = {\ frac {g ^ {2}} {4 \ Omega}} \ left | \ int v_ {m} ^ {*} u_ {n} d \ tau \ right | ^ {2} \ left ({\ tilde {\ psi}} _ {s} \ psi _ {s} - {\ frac {\ mu c ^ {2}} {K _ {\ sigma}}} {\ tilde {\ psi}} _ {s} \ beta \ psi _ {s} \ right),}$

где - масса покоя нейтрино, - матрица Дирака. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ beta}$

Учитывая, что вероятность перехода имеет резкий максимум при значениях, для которых, это упрощает до ${\ displaystyle p _ {\ sigma}}$${\ displaystyle -W + H_ {s} + K _ {\ sigma} = 0}$

${\ displaystyle t {\ frac {8 \ pi ^ {3} g ^ {2}} {h ^ {4}}} \ times \ left | \ int v_ {m} ^ {*} u_ {n} d \ tau \ right | ^ {2} {\ frac {p _ {\ sigma} ^ {2}} {v _ {\ sigma}}} \ left ({\ tilde {\ psi}} _ {s} \ psi _ {s } - {\ frac {\ mu c ^ {2}} {K _ {\ sigma}}} {\ tilde {\ psi}} _ {s} \ beta \ psi _ {s} \ right),}$

где и - значения, для которых. ${\ displaystyle p _ {\ sigma}}$${\ displaystyle K _ {\ sigma}}$${\ displaystyle -W + H_ {s} + K _ {\ sigma} = 0}$

Ферми делает три замечания по поводу этой функции:

• Поскольку состояния нейтрино считаются свободными, и, следовательно, верхний предел непрерывного спектра равен.${\ displaystyle K _ {\ sigma}gt; \ mu c ^ {2}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle H_ {s} \ leq W- \ mu c ^ {2}}$
• Поскольку для электронов, чтобы произошел -распад, разность энергий протона и нейтрона должна быть равна${\ displaystyle H_ {s}gt; mc ^ {2}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle W \ GEQ (м + \ му) с ^ {2}}$
• Фактор

${\ displaystyle Q_ {mn} ^ {*} = \ int v_ {m} ^ {*} u_ {n} d \ tau}$

при переходе вероятность обычно имеет величину 1, но в особых случаях она исчезает; Это приводит к (приблизительно) правилам отбора для -распада.${\ displaystyle \ beta}$

Запрещенные переходы

Как отмечалось выше, когда внутренний продукт между состояниями тяжелых частиц и исчезает, соответствующий переход «запрещен» (или, скорее, гораздо менее вероятен, чем в случаях, когда он ближе к 1). ${\ displaystyle Q_ {mn} ^ {*}}$${\ displaystyle u_ {n}}$${\ displaystyle v_ {m}}$

Если описание ядра в терминах отдельных квантовых состояний протонов и нейтронов хорошее, исчезает, если состояние нейтрона и состояние протона не имеют одинаковый угловой момент; в противном случае необходимо использовать угловой момент всего ядра до и после распада. ${\ displaystyle Q_ {mn} ^ {*}}$${\ displaystyle u_ {n}}$${\ displaystyle v_ {m}}$

Влиять

Вскоре после появления статьи Ферми Вернер Гейзенберг отметил в письме Вольфгангу Паули, что испускание и поглощение нейтрино и электронов в ядре должно, согласно второму порядку теории возмущений, приводить к притяжению между протонами и нейтронами, аналогично тому, как излучение и поглощение фотонов приводит к возникновению электромагнитной силы. Он обнаружил, что сила будет иметь форму, но современные экспериментальные данные привели к значению, которое было слишком маленьким в миллион раз. ${\ displaystyle {\ frac {\ text {Const.}} {r ^ {5}}}}$

В следующем году Хидеки Юкава подхватил эту идею, но в его теории нейтрино и электроны были заменены новой гипотетической частицей с массой покоя примерно в 200 раз тяжелее электрона.

Более поздние разработки

Четырехфермионная теория Ферми замечательно описывает слабое взаимодействие. К сожалению, рассчитанное сечение, или вероятность взаимодействия, растет как квадрат энергии. Поскольку это сечение неограниченно растет, теория не справедлива при энергиях, намного превышающих примерно 100 ГэВ. Здесь G F - константа Ферми, обозначающая силу взаимодействия. В конечном итоге это привело к замене четырехфермионного контактного взаимодействия более полной теорией ( УФ-пополнение ) - обменом W- или Z-бозоном, как объясняется в электрослабой теории. ${\ displaystyle \ sigma \ приблизительно G _ {\ rm {F}} ^ {2} E ^ {2}}$

Взаимодействие Ферми, показывающее фермионное вектор тока 4-точки, в сочетании под константой связи Ферми G F. Теория Ферми была первой теоретической попыткой описать скорость ядерного распада для β-распада.

Взаимодействие может также объяснить распад мюона через взаимодействие мюона, электрон-антинейтрино, мюон-нейтрино и электрона с той же фундаментальной силой взаимодействия. Эта гипотеза была выдвинута Герштейном и Зельдовичем и известна как гипотеза сохранения вектора течения.

В исходной теории Ферми предполагал, что форма взаимодействия представляет собой контактную связь двух векторных токов. Впоследствии Ли и Янг указали, что ничто не препятствует появлению осевого тока, нарушающего четность, и это было подтверждено экспериментами, проведенными Цзянь-Шиунг Ву.

Учет нарушения четности во взаимодействии Ферми был сделан Джорджем Гамовым и Эдвардом Теллером в так называемых переходах Гамова – Теллера, которые описали взаимодействие Ферми в терминах «разрешенных» распадов с нарушением четности и «сверхразрешенных» распадов, сохраняющих четность, в терминах антипараллельные и параллельные спиновые состояния электронов и нейтрино соответственно. До появления теории электрослабого и стандартной модели, Джордж Сударшан и Роберта Маршака, а также независимо Ричард Фейнман и Мюррей Гелл-Манн, смогли правильно определить тензор структуры ( вектор минус аксиальный вектор, V - A) из четырех -фермионное взаимодействие.

Константа Ферми

Наиболее точное экспериментальное определение постоянной Ферми происходит из измерений времени жизни мюона, которое обратно пропорционально квадрату G F (если пренебречь массой мюона по сравнению с массой W-бозона). Говоря современным языком:

${\ displaystyle G _ {\ rm {F}} ^ {0} = {\ frac {G _ {\ rm {F}}} {(\ hbar c) ^ {3}}} = {\ frac {\ sqrt {2 }} {8}} {\ frac {g ^ {2}} {M _ {\ rm {W}} ^ {2} c ^ {4}}} = 1.1663787 (6) \ times 10 ^ {- 5} \ ; {\ textrm {ГэВ}} ^ {- 2} \ приблизительно 4.5437957 \ times 10 ^ {14} \; {\ textrm {J}} ^ {- 2} \.}$

Здесь g - константа связи слабого взаимодействия, а M W - масса W-бозона, который опосредует рассматриваемый распад.

В Стандартной модели константа Ферми связана с математическим ожиданием Хиггса.

${\ displaystyle v = \ left ({\ sqrt {2}} \, G _ {\ rm {F}} ^ {0} \ right) ^ {- 1/2} \ simeq 246.22 \; {\ textrm {ГэВ} }}$.

Точнее, приблизительно (уровень дерева для стандартной модели),

${\ displaystyle G _ {\ rm {F}} ^ {0} \ simeq {\ frac {\ pi \ alpha} {{\ sqrt {2}} ~ M _ {\ rm {W}} ^ {2} (1- M _ {\ rm {W}} ^ {2} / M _ {\ rm {Z}} ^ {2})}}.}$

Это может быть дополнительно упрощено с точки зрения угла Вайнберга, используя соотношение между W- и Z-бозонами с, так что ${\ displaystyle M _ {\ text {Z}} = {\ frac {M _ {\ text {W}}} {\ cos \ theta _ {\ text {W}}}}}$

${\ Displaystyle G _ {\ rm {F}} ^ {0} \ simeq {\ frac {\ pi \ alpha} {{\ sqrt {2}} ~ M _ {\ rm {Z}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta _ {\ rm {W}} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ rm {W}}}}.}.$

использованная литература