Войти
Константа Фейгенбаума δ выражает предел отношения расстояний между последовательными бифуркационными диаграммами на L i / L i + 1 В математике, в частности теории бифуркаций, константы Фейгенбаума представляют собой две математические константы которые оба выражают отношения на бифуркационной диаграмме для нелинейной карты. Они названы в честь физика Митчелла Дж. Фейгенбаума.
Фейгенбаум первоначально связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистической карте, но также показал, что это справедливо для всех одномерных карт с одним квадратичным максимумом. Как следствие этой общности, каждая хаотическая система, которая соответствует этому описанию, будет раздваиваться с одинаковой скоростью. Он был открыт в 1975 году.
Первая постоянная Фейгенбаума - это предельное отношение каждого бифуркационного интервала к следующему между каждыми удвоением периода, одного- параметра map
где f (x) - функция, параметризованная параметром бифуркации a.
. Она задается пределом
, где a n - дискретные значения a при удвоении n-го периода.
Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальное -параметрическая карта
Здесь a - параметр бифуркации, x - переменная. Значения a для которых период удваивается (например, наибольшее значение для a без орбиты периода-2 или наибольшее значение a без орбиты периода-4), являются 1, a 2 и т. д. Они представлены в таблице ниже:
| n | Период | Параметр бифуркации (a n) | Отношение a n − 1 - a n − 2 /an- a n − 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0,75 | — |
| 2 | 4 | 1,25 | — |
| 3 | 8 | 1,3680989 | 4,2337 |
| 4 | 16 | 1,3940462 | 4,5515 |
| 5 | 32 | 1.3996312 | 4.6458 |
| 6 | 64 | 1.4008286 | 4.6639 |
| 7 | 128 | 1.4010853 | 4.6682 |
| 8 | 256 | 1,4011402 | 4,6689 |
Отношение в последнем столбце сходится к первой постоянной Фейгенбаума. То же самое число возникает для логистической карты
с действительным параметром a и переменной x. Снова табулирование значений бифуркации:
| n | Period | Параметр бифуркации (a n) | Ratio a n − 1 - a n − 2 /an- a n − 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | — |
| 2 | 4 | 3,4494897 | — |
| 3 | 8 | 3,5440903 | 4,7514 |
| 4 | 16 | 3,5644073 | 4,6562 |
| 5 | 32 | 3,5687594 | 4,6683 |
| 6 | 64 | 3,5696916 | 4,6686 |
| 7 | 128 | 3,5698913 | 4,6692 |
| 8 | 256 | 3.5699340 | 4.6694 |
Самоподобие в наборе Мандельброта, показываемое увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении по оси x. центральное панорамирование от (−1, 0) до (−1.31, 0), а изображение увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизиться к коэффициенту Фейгенбаума. В случае набора Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена
постоянная Фейгенбаума - это отношение диаметров следующих друг за другом кругов на вещественной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).
| n | Период = 2 | Параметр бифуркации (c n) | Соотношение  |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -0,75 | — |
| 2 | 4 | -1,25 | — |
| 3 | 8 | -1,3680989 | 4,2337 |
| 4 | 16 | -1,3940462 | 4,5515 |
| 5 | 32 | -1,3996312 | 4,6458 |
| 6 | 64 | -1,4008287 | 4,6639 |
| 7 | 128 | -1,4010853 | 4,6682 |
| 8 | 256 | -1,4011402 | 4,6689 |
| 9 | 512 | - 1.401151982029 | |
| 10 | 1024 | -1,401154502237 | |
| ∞ | -1,4011551890… |
Параметр бифуркации - это корневая точка компонента периода 2. Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума c = −1,401155...... Отношение в последнем столбце сходится к первой постоянной Фейгенбаума.
Другие карты также воспроизводят это соотношение, в этом смысле константа Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична π в геометрии и e в исчисление.
Вторая константа Фейгенбаума (последовательность A006891 в OEIS ),
- это соотношение между шириной выступа и шириной одной из двух его частей (кроме выступа, ближайшего к складке). Отрицательный знак применяется к α, когда измеряется соотношение между нижней частью и шириной выступа.
Эти числа относятся к большому классу динамических систем (например, капающая кранов для роста населения).
Простое рациональное приближение: (13/11) * (17/11) * (37/27).
Считается, что оба числа трансцендентны, хотя это не доказано. Также нет известных доказательств иррациональности любой из этих констант.
Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума, проведенное Оскаром Лэнфордом в 1982 г. (с небольшой поправкой, сделанной Жан-Пьером Экманном и Питер Виттвер из Женевского университета в 1987 г.) с помощью компьютера. С годами были открыты нечисловые методы для различных частей доказательства, что помогло Михаилу Любичу в создании первого полного нечислового доказательства.
