Быстрое преобразование Уолша – Адамара

Быстрое преобразование Уолша – Адамара, примененное к вектору длиной 8 Алгоритм разделения и владения для вычисления преобразования Адамара Пример для входного вектора (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0)

В вычислительной математике Адамар приказал быстрое преобразование Уолша – Адамара (FWHT h) - это эффективный алгоритм для вычисления преобразования Уолша – Адамара (WHT). Наивная реализация WHT порядка $n\; =\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\; ^\; \{m\}\}$будет иметь вычислительную сложность O ($n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\}$). FWHT h требует только $n\; log\; \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; log\; n\}$дополнений или вычитания.

FWHT h - это алгоритм разделения и владения, который рекурсивно разбивает WHT размера $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$на два меньших WHT размером $n\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; /\; 2\}$. Эта реализация следует рекурсивному определению $2\; m\; \times \; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{m\}\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{m\}\}$матрица Адамара $H\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{m\}\}$:

$H\; m\; =\; 1\; 2\; (H\; m\; -\; 1\; час\; м\; -\; 1\; час\; м\; -\; 1\; -\; час\; м\; -\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; H\_\; \{m-1\}\; H\_\; \{m-1\}\; \backslash \backslash \; H\_\; \{m-1\}\; -\; H\_\; \{m-1\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

$1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \}\}\}$коэффициенты нормализации для каждого этапа могут быть сгруппированы вместе или даже опущены.

последовательность упорядочена, a Также известное как упорядоченное по Уолшу быстрое преобразование Уолша – Адамара, FWHT w, получается путем вычисления FWHT h, как указано выше, и последующего переупорядочивания выходных данных.

Простая быстрая нерекурсивная реализация преобразования Уолша-Адамара следует из разложения матрицы преобразования Адамара как $H\; m\; =\; A\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{m\}\; =\; A\; ^\; \{m\}\}$, где A - это m-й корень из $H\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{m\}\}$.

• 1 Пример кода Python
• 2 См. Также
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

def fwht (a) ->None: "" "Быстрое преобразование Уолша – Адамара на месте массива a." "" H = 1, а h < len(a): for i in range(0, len(a), h * 2): for j in range(i, i + h): x = a[j] y = a[j + h] a[j] = x + y a[j + h] = x - y h *= 2

• Быстрое преобразование Фурье

• Чарльз Константин Гумас, Быстро преобразование Адамара столетней давности оказалось полезным в цифровых коммуникациях

.