Соотношение Фабера – Джексона

Дисперсия скорости (ось y) в зависимости от абсолютной величины (ось x) для образец эллиптических галактик, с соотношением Фабера – Джексона, показанным синим цветом.

Соотношение Фабера – Джексона предоставило первую эмпирическую степень - закон связь между светимость $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$и центральная звездная дисперсия скоростей $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$из эллиптической галактики, и был представлен астрономами Сандрой М. Фабер и Робертом Эрлом Джексоном в 1976 году. Их связь может быть выражена математически как:

$L\; \propto \; \sigma \; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; propto\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\}$

с индексом $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, примерно равным 4.

В 1962 году Рудольф Минковски обнаружил и написал, что «корреляция между дисперсией скоростей и [светимостью] существует, но она слабая» и что «кажется важным распространить наблюдения на больше объектов, особенно при низких и средних абсолютных величинах ». Это было важно, потому что значение $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$зависит от диапазона яркости галактик, который подходит, со значением 2 для эллиптических галактик с низкой светимостью, обнаруженных группой под руководством Роджер Дэвис, и значение 5, указанное Полом Л. Шехтером для светящихся эллиптических галактик.

Соотношение Фабера – Джексона понимается как проекция Фундаментальная плоскость эллиптических галактик. Одно из основных его применений - это инструмент для определения расстояний до внешних галактик.

• 1 Теория
• 2 Оценка расстояний до галактик
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

гравитационный потенциал распределения массы радиуса $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и массы $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$задается выражением:

$U\; =\; -\; \alpha \; GM\; 2\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{GM\; ^\; \{2\}\}\; \{R\}\}\}$

Где α - постоянная, зависящая, например, на профиле плотности системы, а G - гравитационная постоянная. Для постоянной плотности $\alpha \; =\; 3\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\}\}$

Кинетическая энергия:

$K\; =\; 1\; 2\; MV\; 2\; =\; 3\; 2\; M\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; MV\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; M\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$

(Вспомните $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- одномерная дисперсия скорости. Следовательно, $3\; \sigma \; 2\; =\; V\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; V\; ^\; \{2\}\}$.) Из теоремы вириала ($2\; K\; +\; U\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 2K\; +\; U\; =\; 0\}$) следует

$\sigma \; 2\; =\; 1\; 5\; GMR.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{R\}\}.\}$

Если предположить, что отношение массы к световому потоку, $M\; /\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; /\; L\}$, является постоянным, например $M\; \propto \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; propto\; L\}$мы можем использовать это и указанное выше выражение, чтобы получить связь между $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$:

$R\; \propto \; LG\; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{LG\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Давайте представим поверхностную яркость, $B\; =\; L\; /\; (4\; \pi \; R\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; L\; /\; (4\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{2\})\}$и предположим, что это константа (что с фундаментальной теоретической точки зрения является совершенно необоснованным предположением), чтобы получить

$L\; =\; 4\; \pi \; R\; 2\; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; 4\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{2\}\; B.\}$

Использование этого и объединение его с отношением между $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, это приводит к

$L\; \propto \; 4\; \pi \; (LG\; \sigma \; 2)\; 2\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; propto\; 4\; \backslash \; pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{LG\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; B\}$

и, переписав приведенное выше выражение, мы, наконец, получаем соотношение между светимостью и дисперсией скоростей:

$L\; \propto \; \sigma \; 4\; 4\; \pi \; G\; 2\; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; G\; ^\; \{2\}\; B\}\},\}$

то есть

$L\; \propto \; \sigma \; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; propto\; \backslash \; sigma\; ^\; \{4\}.\}$

Учитывая, что массивные галактики возникают в результате гомологического слияния, а более тусклые - в результате рассеяния, предположение о постоянной поверхностной яркости больше не может поддерживаться. Эмпирически поверхностная яркость показывает пик примерно при $M\; V\; =\; -\; 23\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{V\}\; =\; -\; 23\}$. Затем измененное соотношение становится

$L\; \propto \; \sigma \; 3.1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; propto\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3.1\}\}$

для менее массивных галактик и

$L\; \propto \; \sigma \; 15.0\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; propto\; \backslash \; sigma\; ^\; \{15.0\}\}$

для более массивных. С помощью этих пересмотренных формул основная плоскость разделяется на две плоскости, наклоненные друг к другу примерно на 11 градусов.

Даже скопления галактик первого ранга не имеют постоянной поверхностной яркости. Утверждение, подтверждающее постоянную яркость поверхности, было представлено астрономом Алланом Р. Сэндиджем в 1972 году на основе трех логических аргументов и его собственных эмпирических данных. В 1975 году он показал, что каждый из логических аргументов неверен и что галактики скопления, занявшие первое место, показывают стандартное отклонение около половины звездной величины.

Как и соотношение Талли – Фишера, соотношение Фабера – Джексона позволяет оценить расстояние до галактики, которое иначе трудно получить, связав его с более легко наблюдаемые свойства галактики. В случае эллиптических галактик, если можно измерить центральную дисперсию звездных скоростей, что можно относительно легко сделать с помощью спектроскопии для измерения доплеровского сдвига света, излучаемого звездами, тогда можно получить оценку истинной светимости галактики с помощью соотношения Фабера – Джексона. Это можно сравнить с видимой величиной галактики, которая дает оценку модуля расстояния и, следовательно, расстояния до галактики.

Комбинируя дисперсию центральной скорости галактики с измерениями ее центральной поверхностной яркости и параметра радиуса, можно еще больше улучшить оценку расстояния до галактики. Этот стандартный критерий, или «параметр уменьшенного галактического радиуса», $rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{g\}\}$, разработанный Гудехусом в 1991 году, может определять расстояния без систематической погрешности с точностью до 31%.

• Фундаментальная плоскость (эллиптические галактики)
• Соотношение Талли – Фишера
• M-сигма-отношение

1. ^Минковский Р. (1962), Внутренний Дисперсия скоростей в других галактиках
2. ^Дэвис Р.Л.; Efstathiou, G.; Fall, S. M.; Illingworth, G.; Schechter, PL (1983), Кинематические свойства слабых эллиптических галактик
3. ^Paul L. Schechter (1980), Отношение массы к свету для эллиптических галактик

• Оригинал статья Faber Jackson
• пересмотр Гудехусом соотношения Фабера – Джексона