Гипотеза ожидаемой полезности

В экономике, теории игр и теории принятия решений, гипотеза ожидаемой полезности - в отношении предпочтений людей в отношении выбора, который имеет неопределенные результаты (вероятностный) ⁠ - утверждает, что субъективная ценность, связанная с индивидуальным азартная игра - это статистическое ожидание оценок этим человеком результатов этой игры, причем эти оценки могут отличаться от долларовой стоимости этих результатов. Введение Св. Петербургский парадокс автор Даниэль Бернулли в 1738 году считается началом гипотезы. Эта гипотеза оказалась полезной для объяснения некоторых популярных вариантов, которые, по-видимому, противоречат критерию ожидаемого значения (который учитывает только размеры выплат и вероятности возникновения), например, в контексте азартных игр. и страхование.

Теорема фон Неймана – Моргенштерна предоставляет необходимые и достаточные условия, при которых выполняется гипотеза ожидаемой полезности. С самого начала было принято, что некоторые из этих условий будут нарушаться на практике реальными лицами, принимающими решения, но, тем не менее, эти условия можно интерпретировать как «аксиомы » из рационального выбор.

До середины двадцатого века стандартным термином для ожидаемой полезности был моральное ожидание, в отличие от «математического ожидания» для ожидаемого значения.

пришел Бернулли. ожидаемой полезности, играя на St. Петербургский парадокс. Этот парадокс заключается в подбрасывании монеты до упора. Игрок выигрывает в долларах 2 в степени количества подбрасываний до условия остановки. Эта игра помогла понять, что люди готовы платить по сравнению с тем, что люди ожидали получить от этой игры.

• 1 Формула ожидаемой полезности
• 2 Ожидаемая стоимость и выбор в условиях риска
• 3 Формула Бернулли
• 4 Бесконечное математическое ожидание - St. Петербургский парадокс
• 5 Структура Сэвиджа
• 6 Формулировка фон Неймана – Моргенштерна
  • 6.1 Аксиомы фон Неймана – Моргенштерна
  • 6.2 Неприятие риска
  • 6.3 Примеры функций полезности фон Неймана – Моргенштерна
  • 6.4 Измерение риск в контексте ожидаемой полезности
• 7 Критика
  • 7.1 Консерватизм в обновлении убеждений
  • 7.2 Иррациональные отклонения
  • 7.3 Изменение предпочтений перед неопределенными результатами
  • 7.4 Неопределенные вероятности
• 8 См. также
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература

Когда объект $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, значение которого $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\; \}\}$влияет на полезность человека, принимает одно из набора дискретных значений, формула ожидаемой полезности, которая, как предполагается, максимизируется, составляет

$E\; [u\; (x)]\; =\; p\; 1\; u\; (x\; 1)\; +\; p\; 2\; \cdot \; u\; (x\; 2)\; +...\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [u\; (x)]\; =\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; u\; (x\_\; \{1\})\; +\; p\_\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; u\; (x\_\; \{2\})\; +...\}$

где левая сторона - субъективная оценка игры в целом, $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$- i-й возможный результат, $u\; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x\_\; \{i\; \})\}$- его оценка, а $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\}$- его вероятность. Может быть либо конечный набор возможных значений $x\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\},\}$, и в этом случае правая часть этого уравнения имеет конечное число членов; или может быть бесконечный набор дискретных значений, и в этом случае правая часть имеет бесконечное количество членов.

Когда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$может принимать любое из непрерывного диапазона значений, ожидаемая полезность определяется как

$E\; [u\; (x)]\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; U\; (Икс)\; е\; (Икс)\; dx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; [u\; (x)]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; u\; (x)\; f\; (x)\; dx,\}$

где $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$- это функция плотности вероятности от $x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x.\}$

При наличии рискованных результатов человек, принимающий решения, не всегда выбирает вариант с более высокими ожидаемой стоимостью инвестициями. Например, предположим, что есть выбор между гарантированным платежом в размере 1,00 доллара и игрой, в которой вероятность получения платежа в размере 100 долларов составляет 1 из 80, а альтернативный, гораздо более вероятный результат (79 из 80) - получение 0 долларов. Ожидаемая стоимость первой альтернативы составляет 1 доллар США, а ожидаемая стоимость второй альтернативы - 1,25 доллара США. Согласно теории ожидаемой стоимости, люди должны выбрать игру «100 долларов или ничего»; однако, как подчеркивается в теории ожидаемой полезности, некоторые люди не склонны к риску, чтобы предпочитать верный вариант, несмотря на его более низкое ожидаемое значение. Люди с меньшим неприятием риска выберут более рискованную игру с более высокой ожидаемой прибылью. Это приоритет теории полезности.

Николас Бернулли описал петербургский парадокс (включающий бесконечные ожидаемые значения) в 1713 году, побудив двух швейцарских математиков разработать теорию ожидаемой полезности в качестве решения. Теория также может более точно описывать более реалистичные сценарии (где ожидаемые значения конечны), чем одно только ожидаемое значение. В 1728 году Габриэль Крамер в письме к Николя Бернулли писал: «Математики оценивают деньги пропорционально их количеству, а здравомыслящие люди - пропорционально тому, как они могут их использовать».

В 1738 году двоюродный брат Николаса Даниэль Бернулли опубликовал каноническое описание этого решения 18-го века в «Specimen theoriae novae de mensura sortis» или «Изложение новой теории измерения риска». Даниэль Бернулли предложил использовать нелинейную функцию полезности результата вместо ожидаемого значения результата, учитывая неприятие риска, где премия за риск выше для маловероятных событий, чем разница между уровнем выплаты определенного результата и его ожидаемым значением. Бернулли далее предположил, что целью игрока не было максимизировать его ожидаемый выигрыш, а вместо этого максимизировать его логарифм.

Статья Бернулли была первой формализацией предельной полезности, которая имеет широкое применение в экономике в дополнение к теории ожидаемой полезности. Он использовал эту концепцию, чтобы формализовать идею о том, что такая же сумма дополнительных денег менее полезна для уже богатого человека, чем для бедного.

Петербургский парадокс. Петербургский парадокс (названный в честь журнала, в котором была опубликована статья Бернулли) возникает, когда не существует верхней границы потенциального вознаграждения от событий с очень низкой вероятностью. Поскольку некоторые функции распределения вероятностей имеют бесконечное ожидаемое значение, человек, максимизирующий ожидаемое богатство, должен заплатить произвольно большую конечную сумму, чтобы сыграть в эту игру. В реальной жизни люди этого не делают.

Бернулли предложил решение этого парадокса в своей статье: функция полезности, используемая в реальной жизни, означает, что ожидаемая полезность игры конечна, даже если ее ожидаемое значение бесконечно. (Таким образом, он выдвинул гипотезу об уменьшении предельной полезности все более крупных сумм денег.) Другие экономисты также решили иначе, предложив пренебречь событиями с очень низкой вероятностью, принимая во внимание ограниченные ресурсы участников, или отмечая, что нельзя просто купить то, что не продается (и что продавцы не будут проводить лотерею, ожидаемые убытки которой для них неприемлемы).

В 1950-х годах Леонард Джимми Сэвидж, американский статистик, разработал структуру для понимания ожидаемой полезности. На тот момент это считалось первой и наиболее полной основой для понимания концепции. Структура Сэвиджа включала доказательство того, что ожидаемая полезность может быть использована для оптимального выбора среди нескольких действий с помощью семи постулатов (обозначенных как P1-P7).

Структура Сэвиджа с тех пор используется в необайесовской статистике (см. Байесовская вероятность ) и в области прикладной статистики.

Аксиомы фон Неймана-Моргенштерна

Есть четыре аксиомы теории ожидаемой полезности, которые определяют рационального человека, принимающего решения. Это полнота, транзитивность, независимость и непрерывность.

Полнота предполагает, что человек имеет четко определенные предпочтения и всегда может выбрать между любыми двумя альтернативами.

• Аксиома (полнота): для каждого A и B либо $A\; ⪰\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; successq\; B\}$, либо $A\; ⪯\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; prevq\; B\}$или и то, и другое.

Это означает, что человек предпочитает A вместо B, B вместо A или безразличен между A и B.

Транзитивность предполагает, что, когда человек решает в соответствии с согласно аксиоме полноты, индивидуум также принимает решения последовательно.

• Аксиома (транзитивность): для любых A, B и C с $A\; ⪰\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; successq\; B\}$и $B\; ⪰\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; successq\; C\; \}$мы должны иметь $A\; ⪰\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; successq\; C\}$.

Независимость от нерелевантных альтернатив также относится к четко определенным предпочтениям. Предполагается, что две азартные игры, смешанные с неуместной третьей, сохранят тот же порядок предпочтения, что и в случае, когда две игры представлены независимо от третьей. Аксиома независимости - самая спорная аксиома.

• Аксиома (Независимость от нерелевантных альтернатив): Пусть A, B и C - три лотереи с $A\; ⪰\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; successq\; B\}$, и пусть $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$будет вероятностью того, что присутствует третий вариант: $t\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,1\; ]\}$;. если $t\; A\; +\; (1\; -\; t)\; C\; ⪰\; t\; B\; +\; (1\; -\; t)\; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; tA\; +\; (1-t)\; C\; \backslash \; successq\; tB\; +\; (1-t)\; C,\}$тогда третий вариант, C, не имеет значения, и порядок предпочтения для A перед B сохраняется, независимо от наличия C.

Непрерывность предполагает, что при наличии трех лотерей (A, B и C) и индивидуум предпочитает A вместо B и B вместо C, тогда должна быть возможная комбинация A и C, при которой индивидуум будет безразличен между этим сочетанием и лотереей B.

• Аксиома (непрерывность) : Пусть A, B и C будут лотереями с $A\; ⪰\; B\; ⪰\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; successq\; B\; \backslash \; successq\; C\}$; тогда существует вероятность p такая, что B одинаково хорош, как $p\; A\; +\; (1\; -\; p)\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; pA\; +\; (1-p)\; C\}$.

Если все эти аксиомы выполнены, то индивид считается рациональным, а предпочтения могут быть представлены функцией полезности, т. е. каждому результату лотереи можно присвоить числа (полезности) таким образом, чтобы выбрать лучшую лотерею в соответствии с предпочтениями $⪰\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; successq\}$означает выбор лотереи с наибольшей ожидаемой полезностью. Этот результат называется теоремой фон Неймана – Моргенштерна о представлении полезности.

Другими словами, если поведение человека всегда удовлетворяет указанным выше аксиомам, то существует такая функция полезности, что индивидуум выберет одну игру вместо другой, если и только если ожидаемая полезность одного превышает полезность другого. Ожидаемая полезность любой игры может быть выражена как линейная комбинация полезностей результатов с весовыми коэффициентами, представляющими соответствующие вероятности. Вспомогательные функции также обычно являются непрерывными функциями. Такие функции полезности также называют функциями полезности фон Неймана – Моргенштерна (vNM). Это центральная тема гипотезы ожидаемой полезности, в которой человек выбирает не наивысшее ожидаемое значение, а, скорее, наивысшую ожидаемую полезность. Ожидаемая максимизация полезности человек принимает решения рационально, основываясь на аксиомах теории.

Формулировка фон Неймана-Моргенштерна важна для применения теории множеств к экономике, потому что она была разработана вскоре после «ординальной революции» Хикса-Аллена. 1930-е годы, и это возродило идею кардинальной полезности в экономической теории. Однако, хотя в этом контексте функция полезности является кардинальной, в том смысле, что подразумеваемое поведение может быть изменено нелинейным монотонным преобразованием полезности, функция ожидаемой полезности является порядковой, поскольку любое монотонное возрастающее преобразование ожидаемой полезности дает такое же поведение.

Неприятие риска

Теория ожидаемой полезности учитывает, что люди могут быть не склонными к риску, что означает, что индивид откажется от честной игры (честная игра имеет ожидаемое значение ноль). Неприятие риска подразумевает, что их функции полезности вогнуты и показывают убывающую предельную полезность богатства. отношение к риску напрямую связано с кривизной функции полезности: нейтральные к риску люди имеют линейные функции полезности, в то время как люди, ищущие риск, имеют выпуклые функции полезности, а люди, не склонные к риску, имеют вогнутые функции полезности. Степень неприятия риска можно измерить по кривизне функции полезности.

Поскольку отношение к риску не меняется при аффинных преобразованиях функции u, вторая производная u '' не является адекватной мерой неприятия риска функции полезности. Вместо этого его нужно нормализовать. Это приводит к определению показателя абсолютного неприятия риска по шкале Эрроу – Пратта:

$ARA\; (w)\; =\; -\; u\; ″\; (w)\; u\; \prime \; (w),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathit\; \{ARA\}\}\; (w)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{u\; \text{'}\text{'}\; (w)\}\; \{u\; \text{'}(w)\}\},\}$

где $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$- богатство.

Показатель относительного неприятия риска по Эрроу – Пратту:

$RRA\; (w)\; =\; -\; wu\; ″\; (w)\; u\; \prime \; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathit\; \{RRA\}\}\; (w)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{wu\; \text{'}\text{'}\; (w)\}\; \{u\; \text{'}(w)\}\}\}$

Специальными классами функций полезности являются функции CRRA (постоянное относительное неприятие риска ), где RRA (w) является постоянной величиной, а функция CARA (постоянное абсолютное неприятие риска ), где ARA (w) является постоянной величиной. Их часто используют в экономике для упрощения.

Решение, которое максимизирует ожидаемую полезность, также максимизирует вероятность того, что последствия решения предпочтительнее некоторого неопределенного порога (Castagnoli и LiCalzi, 1996; Bordley and LiCalzi, 2000; Bordley and Kirkwood). В отсутствие неопределенности относительно порогового значения максимизация ожидаемой полезности упрощается до максимизации вероятности достижения некоторой фиксированной цели. Если неопределенность распределена равномерно, то максимизация ожидаемой полезности становится максимизацией ожидаемой ценности. Промежуточные случаи приводят к увеличению неприятия риска выше некоторого фиксированного порога и увеличению поиска риска ниже фиксированного порога.

Примеры функций полезности фон Неймана – Моргенштерна

Функция полезности $u\; (w)\; =\; log\; \; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (w)\; =\; \backslash \; log\; (w)\}$был первоначально предложен Бернулли (см. Выше). Он имеет константу относительного неприятия риска, равную единице, и все еще иногда принимается в экономическом анализе. Функция полезности

$u\; (w)\; =\; -\; e\; -\; aw\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (w)\; =\; -\; e\; ^\; \{-\; aw\}\}$

демонстрирует постоянное абсолютное неприятие риска, и по этой причине ее часто избегают, хотя имеет то преимущество, что предлагает существенную математическую управляемость при нормальном распределении доходов от активов. Обратите внимание, что в соответствии со свойством аффинного преобразования, упомянутым выше, функция полезности $K\; -\; e\; -\; aw\; \{\backslash \; displaystyle\; Ke\; ^\; \{-\; aw\}\}$дает точно такой же порядок предпочтений, что и $-\; е\; -\; aw\; \{\backslash \; displaystyle\; -e\; ^\; \{-\; aw\}\}$; таким образом, не имеет значения, что значения $-\; e\; -\; aw\; \{\backslash \; displaystyle\; -e\; ^\; \{-\; aw\}\}$и его ожидаемое значение всегда отрицательны: для упорядочивания предпочтений важно то, какой из двух вариантов игры дает более высокую ожидаемую полезность, а не численные значения этих ожидаемых полезностей.

Класс функций полезности постоянного относительного неприятия риска состоит из трех категорий. Функция полезности Бернулли

$u\; (w)\; =\; log\; \; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (w)\; =\; \backslash \; log\; (w)\}$

имеет относительное неприятие риска, равное 1. Функции

$u\; (w)\; знак\; равно\; вес\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (w)\; =\; w\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

для $\alpha \; \in \; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; (0,1)\}$иметь относительное неприятие риска, равное $1\; -\; \alpha \; \in \; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; (0,1)\}$. А функции

$u\; (w)\; =\; -\; w\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (w)\; =\; -\; w\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

для имеют относительное неприятие риска, равное $1\; -\; \alpha >.\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \backslash \; alpha>1.\}$

См. также обсуждение служебных функций, имеющих гиперболическое абсолютное предотвращение риска (HARA).

Измерение риска в ожидаемом контекст полезности

Часто люди относятся к «риску» в смысле потенциально поддающейся количественной оценке сущности. В контексте анализа средней дисперсии, дисперсия используется как мера риска для доходности портфеля; однако это допустимо только в том случае, если доходность нормально распределена или иначе совместно эллиптически распределена, или в маловероятном случае, когда функция полезности имеет квадратичную форму. Однако Дэвид Э. Белл предложил меру риска, которая естественным образом вытекает из определенного класса функций полезности фон Неймана – Моргенштерна. Пусть полезность богатства определяется как

$u\; (w)\; =\; w\; -\; be\; -\; aw\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (w)\; =\; w-be\; ^\; \{-\; aw\; \}\}$

для индивидуальных положительных параметров a и b. Тогда ожидаемая полезность определяется как

$E\; \; [u\; (w)]\; =\; E\; \; [w]\; -\; b\; E\; \; [e\; -\; aw]\; =\; E\; \; [w]\; -\; b\; E\; \; [e\; -\; a\; E\; \; [w\; ]\; -\; a\; (w\; -\; E\; \; [w])]\; =\; E\; \; [w]\; -\; be\; -\; a\; E\; \; [w]\; E\; \; [e\; -\; a\; (w\; -\; E\; \; [w])]\; =\; Ожидаемое\; богатство\; -\; b\; \cdot \; e\; -\; a\; Ожидаемое\; богатство\; \cdot \; Риск.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [u\; (w)]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [w]\; -b\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [e\; ^\; \{-\; aw\}]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; имя\; оператора\; \{E\}\; [w]\; -b\; \backslash \; имя\; оператора\; \{E\}\; [e\; ^\; \{-\; a\; \backslash \; имя\; оператора\; \{E\}\; [w]\; -a\; (w-\; \backslash \; имя\; оператора\; \{E\}\; [w])\}]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; имя\; оператора\; \{E\}\; [w]\; -be\; ^\; \{-\; a\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [w]\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [e\; ^\; \{-\; a\; (w-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [w])\}]\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; text\; \{Ожидаемое\; богатство\}\}\; -\; b\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; a\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; text\; \{Ожидаемое\; богатство\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; text\; \{Риск\}\}.\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

Таким образом, мера риска: $E\; \; (e\; -\; a\; (w\; -\; E\; \; w))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (e\; ^\; \{-\; a\; (w-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; w)\})\}$, который различается у двух лиц, если у них разные значения параметра $a,\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\}$, позволяющего разным людям не соглашаться относительно степени риска, связанного с любым данным портфелем. Лица, разделяющие данную меру риска (основанную на заданном значении a), могут выбирать разные портфели, поскольку они могут иметь разные значения b. См. Также Показатель энтропийного риска.

Однако для общих функций полезности анализ ожидаемой полезности не позволяет разделить выражение предпочтений на два параметра, один из которых представляет ожидаемое значение рассматриваемой переменной, а другой - ее риск.

Теория ожидаемой полезности - это теория о том, как принимать оптимальные решения в условиях риска. У него есть нормативная интерпретация, которую экономисты привыкли считать применимой во всех ситуациях к рациональным агентам, но теперь они склонны рассматривать ее как полезное и проницательное приближение первого порядка. В эмпирических приложениях было показано, что ряд нарушений носит систематический характер, и эти фальсификации углубили понимание того, как люди на самом деле принимают решения. Дэниел Канеман и Амос Тверски в 1979 году представили свою теорию перспектив, которая эмпирически показала, среди прочего, как предпочтения отдельных лиц несовместимы между одними и теми же выборами, в зависимости от как представлен этот выбор.

Как любая математическая модель, теория ожидаемой полезности - это абстракция и упрощение реальности. Математическая правильность теории ожидаемой полезности и значимость ее примитивных концепций не гарантируют, что теория ожидаемой полезности является надежным руководством к человеческому поведению или оптимальной практике.

Математическая ясность теории ожидаемой полезности помогла ученым разработать эксперименты, чтобы проверить ее адекватность и отличить систематические отклонения от ее прогнозов. Это привело к появлению области поведенческих финансов, которая вызвала отклонения от теории ожидаемой полезности для учета эмпирических фактов.

Консерватизм в обновлении убеждений

Хорошо известно, что люди находят логику труднее, математику - сложнее, а вероятность - еще более сложной задачей. Психологи обнаружили систематические нарушения расчетов вероятности и поведения людей. Рассмотрим, например, задачу Монти Холла.

. При обновлении вероятностных распределений с использованием свидетельств стандартный метод использует условную вероятность, а именно правило Байеса. Эксперимент по пересмотру убеждений показал, что люди меняют свои убеждения быстрее при использовании байесовских методов, чем при использовании неформальных суждений.

Иррациональные отклонения

Поведенческие финансы породили несколько обобщенные теории ожидаемой полезности для объяснения случаев, когда выбор людей отклоняется от предсказанного теорией ожидаемой полезности. Эти отклонения описываются как «иррационально », потому что они могут зависеть от способа представления проблемы, а не от фактических затрат, вознаграждений или вероятностей.

Конкретные теории включают теорию перспектив, ожидаемую полезность в зависимости от ранга и теорию кумулятивной перспективы и.

изменение предпочтений перед неопределенные исходы

Начиная с таких исследований, как Lichtenstein Slovic (1971), было обнаружено, что субъекты иногда проявляют признаки изменения предпочтений в отношении их достоверных эквивалентов различных лотерей. В частности, при выявлении эквивалентов достоверности субъекты склонны оценивать «p ставок» (лотереи с высокой вероятностью выигрыша низкого приза) ниже, чем «ставки в долларах» (лотереи с небольшими шансами на выигрыш крупного приза).). Однако, когда субъектов спрашивают, какие лотереи они предпочитают при прямом сравнении, они часто предпочитают «ставки p», а не «ставки в долларах». Многие исследования изучали это «изменение предпочтений» как с экспериментальной (например, Plott Grether, 1979), так и с теоретической (например, Holt, 1986) точки зрения, показывая, что такое поведение может быть приведено в соответствие с неоклассической экономической теорией при определенных допущениях..

Неопределенные вероятности

Если используется частотное понятие вероятности, когда вероятности считаются фиксированными значениями, то применение ожидаемого значения и ожидаемой полезности к принятию решений требует знания вероятностей различных результаты. Однако на практике будет много ситуаций, в которых вероятности неизвестны, и одна работает в условиях неопределенности. В экономике может иметь место неопределенность Найта или неоднозначность. Таким образом, необходимо делать предположения о вероятностях, но тогда ожидаемые значения различных решений могут быть очень чувствительными к предположениям. Это особенно проблема, когда в ожидании преобладают редкие экстремальные события, как в распределении с длинным хвостом.

Альтернативные методы принятия решений устойчивы к неопределенности вероятности результатов, независимо от вероятности результатов и требующие только анализа сценария (как в минимакс или минимаксное сожаление ) или менее чувствительны к предположениям.

Байесовские подходы к вероятности трактуют ее как степень веры и, таким образом, не проводят различия между риском и более широким понятием неопределенности: они отрицают существование Найтовской неопределенности. Они будут моделировать неопределенные вероятности с помощью иерархических моделей, то есть где неопределенные вероятности моделируются как распределения, параметры которых сами взяты из распределения более высокого уровня (гиперприоры ).

• Парадокс Алле
• Неприятие двусмысленности
• Байесовская вероятность
• Поведенческая экономика
• Теория принятия решений
• Обобщенная ожидаемая полезность
• Цена безразличия
• Функция потерь
• Лотерея (вероятность)
• Предельная полезность
• Приоритетная эвристика
• Теория перспектив
• Зависимая от ранга ожидаемая полезность
• Неприятие риска
• Риск в психологии
• Субъективная ожидаемая полезность
• Два модели принятия моментальных решений

• Anand P. (1993). Основы рационального выбора в условиях риска. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-823303-9.
• Эрроу К.Дж. (1963). «Неопределенность и экономика благосостояния медицинской помощи». Американский экономический обзор. 53 : 941–73.
• де Финетти, Бруно. «Вероятность: критическое эссе теории вероятности и ценности науки» (перевод статьи 1931 г.) в Erkenntnis, том 31, сентябрь 1989 г.
• де Финетти, Бруно. 1937, «La Prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives», Annales de l'Institut Анри Пуанкаре,

де Финетти, Бруно. «Предвидение: его логические законы, его субъективные источники» (перевод статьи 1937 г. на французском языке) в HE Kyburg and HE Smokler (eds), Studies in Subjective Probability, New York: Wiley, 1964.

• де Финетти, Бруно. Theory of Probability, (перевод AFM Smith книги 1970 г.), 2 тома, New York: Wiley, 1974–5.
• Morgenstern, Oskar (1976). «Некоторые размышления о Утилите ». В Эндрю Шоттере (ред.). Избранные экономические труды Оскара Моргенштерна. Издательство Нью-Йоркского университета. С. 65–70. ISBN 978-0-8147-7771-8.
• Чарльз Сандерс Пирс и Джозеф Джастроу (1885). «О небольших различиях в ощущениях». Воспоминания Национальной академии наук. 3 : 73–83. http://psychclassics.yorku.ca/Peirce/small-diffs.htm
• Pfanzagl, J (1967). «Субъективная вероятность, выведенная из Моргенштерна - фон Неймана Теория полезности ». В Мартин Шубик (ред.). Очерки математической экономики в честь Оскара Моргенштерна. Издательство Принстонского университета. С. 237–251.
• Пфанцагл, Дж. в сотрудничестве с В. Бауманом и Х. Хубером (1968). «События, полезность и субъективная вероятность». Теория измерения. Вайли. Стр. 195–220.
• Скотт Плюс (1993) «Психология суждения и принятия решений», главы 7 (конкретно) и 8, 9, 10 (чтобы показать парадоксы теории).
• Рэмси, Фрэнк Пламптон ; «Истина и вероятность» (PDF ), глава VII в «Основах математики и других логических эссе» (1931).
• Шумейкер П.Дж. (1982). «Модель ожидаемой полезности: ее варианты, цели, доказательства и ограничения». Журнал экономической литературы. 20 : 529–563.
• Дональд Дэвидсон, Патрик Суппес и Сидни Сигел (1957). Принятие решений: экспериментальный подход. Stanford University Press.