Войти
Некоторые элементарные примеры групп в математике приведены по Группе (математика). Дополнительные примеры перечислены здесь.
Граф циклов для S 3. Цикл определяет серию степеней любого элемента, связанного с тождественным элементом (e). Например, цикл e-ba-ab отражает тот факт, что ba = ab и ba = e, а также тот факт, что ab = ba и ab = e. Остальные «петли» являются корнями из единицы, так что, например, a = e. Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально размещенных в порядке RGB. Пусть a будет операцией «поменять местами первый блок и второй блок», а b будет операцией «поменять местами второй блок и третий блок».
Мы можем написать xy для операции «сначала сделай y, затем сделай x»; так что ab - это операция RGB → RBG → BRG, которую можно описать как «переместить первые два блока на одну позицию вправо и поместить третий блок в первую позицию». Если мы напишем e для «оставить блоки такими, какие они есть» (операция идентичности), то мы можем записать шесть перестановок трех блоков следующим образом:
Примечание что aa имеет эффект RGB → GRB → RGB; поэтому мы можем написать aa = e. Аналогичным образом bb = (aba) (aba) = e; (ab) (ba) = (ba) (ab) = e; поэтому у каждого элемента есть обратный.
Путем проверки мы можем определить ассоциативность и замкнутость; отметим, в частности, что (ba) b = bab = b (ab).
Поскольку он состоит из основных операций a и b, мы говорим, что набор {a, b} порождает эту группу. Группа, называемая симметричной группой S3, имеет порядок 6 и неабелева (так как, например, ab ≠ ba).
Перемещение плоскости - это жесткое перемещение каждой точки плоскости на определенное расстояние в определенном направлении. Например «двигаться в северо-восточном направлении на 2 мили» - это перевод самолета. Если у вас есть два таких перевода a и b, их можно составить для создания нового перевода a ∘ b следующим образом: сначала следуйте предписанию b, затем - a. Например, если
и
, то
(см. теорему Пифагора, чтобы узнать, почему это так, геометрически).
Набор всех переводов плоскости с композицией в качестве операции образует группу:
Это абелева группа и наш первый (недискретный) пример группы Ли : группа, которая также многообразие.
График цикла Dih 4. a является вращение по часовой стрелке. и b горизонтальное отражение.  . Dih 4 как группа точек 2D, D 4, [4], (* 4 •), порядок 4, с 4-х кратное вращение и зеркальный генератор. |  . Dih 4 в трехмерной двугранной группе D4, [4,2], (422), порядок 4, с генератором вертикального 4-кратного вращения порядка 4 и 2-кратного горизонтальный генератор |
график Кэли Dih 4
Другой график Кэли Dih 4, генерируемый горизонтальным отражением b и диагональным отражением c Группы очень важны для описания симметрия объектов, будь то геометрическая (например, тетраэдр ) или алгебраическая (например, система уравнений). В качестве примера мы рассмотрим стеклянный квадрат определенной толщины (с буквой «F», написанной на нем, чтобы можно было различить различные положения). Чтобы описать его симметрию, мы формируем набор всех тех жестких движений квадрата, которые не имеют видимого значения (кроме буквы «F»). Например, если вы поверните его на 90 ° по часовой стрелке, он все равно будет выглядеть так же, поэтому это движение является одним из элементов нашего набора, назовем его a. Мы также можем перевернуть его по горизонтали, чтобы его нижняя сторона стала его верхней стороной, а левый край стал правым. Опять же, после выполнения этого движения стеклянный квадрат выглядит так же, поэтому это также элемент нашего набора, и мы называем его b. Затем, конечно, есть движение, которое ничего не делает; это обозначается e.
Теперь, если у вас есть два таких движения x и y, вы можете определить композицию x ∘ y, как указано выше: сначала вы выполняете движение y, а затем движение x. В результате плита останется прежней.
Дело в том, что совокупность всех этих движений с композицией как операцией образует группу. Эта группа является наиболее кратким описанием симметрии квадрата. Химики используют группы симметрии этого типа для описания симметрии кристаллов и молекул.
Давайте еще немного исследуем нашу группу симметрии квадратов. Прямо сейчас у нас есть элементы a, b и e, но мы можем легко сформировать их больше: например, a ∘ a, также обозначаемое как a, представляет собой поворот на 180 градусов. a - вращение на 270 ° по часовой стрелке (или на 90 ° против часовой стрелки). Мы также видим, что b = e, а также a = e. Вот интересный вопрос: что делает a ∘ b? Сначала переверните по горизонтали, затем поверните. Попытайтесь представить себе, что a ∘ b = b ∘ a. Кроме того, a ∘ b является вертикальным переворотом и равно b ∘ a.
Мы говорим, что элементы a, b и e создают группу.
Эта группа порядка 8 имеет следующую таблицу Кэли :
| e | b | a | a | a | ab | ab | ab | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | a | a | a | ab | ab | ab |
| b | b | e | ab | ab | ab | a | a | a |
| a | a | ab | a | a | e | ab | ab | b |
| a | a | ab | a | e | a | ab | b | ab |
| a | a | ab | e | a | a | b | ab | ab |
| ab | ab | a | b | ab | ab | e | a | a |
| ab | ab | a | ab | b | ab | a | e | a |
| ab | ab | a | ab | ab | b | a | a | e |
Для любых двух элементов в группе таблица фиксирует их состав.
Здесь мы написали «ab» как сокращение от a ∘ b.
В математике эта группа известна как группа диэдра порядка 8 и обозначается либо Dih 4, D 4. или D 8, в зависимости от соглашения. Это был пример неабелевой группы: здесь операция ∘ не является коммутативной, как вы можете видеть из таблицы; стол не симметричен относительно главной диагонали.
Группа диэдра порядка 8 изоморфна группе перестановок , порожденной (1234) и (13).
Эта версия таблицы Кэли показывает, что это В группе есть одна нормальная подгруппа, показанная на красном фоне. В этой таблице r означает вращения, а f означает переворачивание. Поскольку подгруппа нормальная, левый смежный класс такой же, как правый смежный класс.
| e | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
| r1 | r1 | r2 | r3 | e | fc | fd | fv | fh |
| r2 | r2 | r3 | e | r1 | fh | fv | fc | fd |
| r3 | r3 | e | r1 | r2 | fd | fc | fh | fv |
| fv | fv | fd | fh | fc | e | r2 | r1 | r3 |
| fh | fh | fc | fv | fd | r2 | e | r3 | r1 |
| fd | fd | fh | fc | fv | r3 | r1 | e | r2 |
| fc | fc | fv | fd | fh | r1 | r3 | r2 | e |
| Элементы e, r 1, r 2 и r 3 образуют подгруппу , выделено красным (верхняя левая область). Левый и правый смежный класс этой подгруппы выделены зеленым цветом (в последней строке) и желтым (последний столбец), соответственно. | ||||||||
Свободная группа с двумя образующими a и b состоит из всех конечных строк, которые могут быть образованы из четырех символов a, a, b и b, так что никакой a не появляется непосредственно рядом с a a, а b не появляется непосредственно рядом с a b. Две такие строки можно объединить и преобразовать в строку этого типа, многократно заменяя «запрещенные» подстроки пустой строкой. Например: «ababa», соединенное с «ababa», дает «ababaababa», которое сокращается до «abaaba». Можно проверить, что набор этих строк с помощью этой операции образует группу с нейтральным элементом - пустой строкой ε: = "". (Обычно кавычки опускают, поэтому вам нужен символ ε!)
Это еще одна бесконечная неабелева группа.
Свободные группы важны в алгебраической топологии ; свободная группа в двух образующих также используется для доказательства парадокса Банаха – Тарского.
Пусть G - группа, а S - непустое множество. Множество отображений M (S, G) само является группой; а именно для двух отображений f, g из S в G мы определяем fg как такое отображение, что (fg) (x) = f (x) g (x) для любого x∈S и f как такое отображение, что f ( х) = е (х).
Возьмите карты f, g и h в M (S, G). Для каждого x в S, f (x) и g (x) оба находятся в G, как и (fg) (x). Следовательно, fg также принадлежит M (S, G) или M (S, G) замкнуто. Для ((fg) h) (x) = (fg) (x) h (x) = (f (x) g (x)) h (x) = f (x) (g (x) h (x)) = f (x) (gh) (x) = (f (gh)) (x), M (S, G) ассоциативно. И есть отображение i такое, что i (x) = e, где e - единичный элемент G. Отображение i делает все функции f в M (S, G) такими, что if = fi = f, или i является единичный элемент M (S, G). Таким образом, M (S, G) на самом деле является группой.
Если G коммутативна, то (fg) (x) = f (x) g (x) = g (x) f (x) = (gf) (x). Следовательно, M (S, G) тоже.
Пусть G - множество биективных отображений множества S на себя. Тогда G образует группу при обычной композиции отображений. Эта группа называется симметричной группой и обычно обозначается Sym (S), Σ S или 
Если n - некоторое положительное целое число, мы можем рассмотреть набор всех обратимых n на n матриц над вещественными числами, например. Это группа с матричным умножением в качестве операции. Она называется общей линейной группой, GL (n). Геометрически он содержит все комбинации вращений, отражений, растяжений и преобразований наклона n-мерного евклидова пространства, которые фиксируют заданную точку (начало координат).
Если мы ограничимся матрицами с определителем 1, то мы получим другую группу, специальную линейную группу , SL (n). Геометрически он состоит из всех элементов GL (n), которые сохраняют ориентацию и объем различных геометрических тел в евклидовом пространстве.
Если вместо этого мы ограничимся ортогональными матрицами, то мы получим ортогональную группу O (n). Геометрически он состоит из всех комбинаций поворотов и отражений, фиксирующих начало координат. Это как раз те преобразования, которые сохраняют длину и углы.
Наконец, если мы наложим оба ограничения, то мы получим специальную ортогональную группу SO (n), которая состоит только из вращений.
Эти группы - наши первые примеры бесконечных неабелевых групп. Они также оказываются группами Ли. Фактически, большинство важных групп Ли (но не все) можно выразить как матричные группы.
Если эту идею обобщить на матрицы с комплексными числами в качестве элементов, то мы получим дополнительные полезные группы Ли, такие как унитарная группа U (n). Мы также можем рассматривать матрицы с кватернионами как записи; в этом случае нет четко определенного понятия определителя (и, следовательно, нет хорошего способа определить кватернионный «объем»), но мы все равно можем определить группу, аналогичную ортогональной группе, симплектическую группа Sp (n).
Кроме того, эту идею можно рассматривать чисто алгебраически с помощью матриц над любым полем, но тогда группы не являются группами Ли.
Например, у нас есть общие линейные группы над конечными полями. Теоретик групп Дж. Л. Альперин писал, что «Типичным примером конечной группы является GL (n, q), общая линейная группа n измерений над полем с q элементами. Студент, который знакомится с предметом с другими примерами полностью введены в заблуждение ". (Бюллетень (новая серия) Американского математического общества, 10 (1984) 121)
;_subgroup_of_S4.svg){kind=link}