Ошибка-катастрофа

Ошибка-катастрофа - это исчезновение организма (часто в контексте микроорганизмов такие как вирусы ) в результате чрезмерных мутаций. Катастрофа, связанная с ошибкой, предсказывается математическими моделями и также наблюдалась эмпирически.

Как и любой организм, вирусы «совершают ошибки» (или мутируют ) во время репликации. Возникающие в результате мутации увеличивают биоразнообразие среди населения и помогают подорвать способность иммунной системы хозяина распознавать его при последующей инфекции. Чем больше мутаций производит вирус во время репликации, тем больше вероятность того, что он избежит распознавания иммунной системой, и тем более разнообразной будет его популяция (см. Статью о биоразнообразии для объяснения избирательных преимуществ этого). Однако, если он производит слишком много мутаций, он может потерять некоторые из своих биологических свойств, которые эволюционировали в его пользу, в том числе способность к воспроизводству вообще.

Возникает вопрос: сколько мутаций может произойти при каждой репликации, прежде чем популяция вирусов начнет терять самоидентичность?

• 1 Базовая математическая модель
  • 1.1 Представление на основе теории информации
• 2 Приложения
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Рассмотрим вирус, генетическая идентичность которого смоделирована строкой из единиц и нулей (например, 11010001011101....). Предположим, что строка имеет фиксированную длину L и при репликации вирус копирует каждую цифру одну за другой, допуская ошибку с вероятностью q независимо от всех остальных цифр.

Из-за мутаций, возникших в результате ошибочной репликации, существует до 2 различных штаммов, происходящих от родительского вируса. Пусть x i обозначает концентрацию штамма i; пусть a i обозначает скорость, с которой воспроизводится деформация i; и пусть Q ij обозначает вероятность мутации вируса из штамма i в штамм j.

Тогда скорость изменения концентрации x j определяется как

$x\; \dot{}\; j\; =\; \sum \; iai\; Q\; ijxi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; Q\_\; \{ij\}\; x\_\; \{i\}\}$

На этом этапе мы проводим математическую идеализацию: мы выбираем наиболее подходящую деформацию (ту, которая имеет наибольшую скорость воспроизводства a j) и предполагаем, что он уникален (т. Е. Что выбранный a j удовлетворяет j>aiдля всех i); а затем мы группируем оставшиеся штаммы в одну группу. Пусть концентрации двух групп равны x, y с коэффициентами воспроизводства a>b соответственно; пусть Q будет вероятностью того, что вирус из первой группы (x) мутирует в члена второй группы (y), и пусть R будет вероятностью того, что член второй группы вернется в первую (через маловероятный и очень специфический мутация). Уравнения, управляющие развитием популяций:

$\{x\; \dot{}\; =\; a\; (1\; -\; Q)\; x\; +\; b\; R\; yy\; \dot{}\; =\; a\; Q\; x\; +\; b\; (1\; -\; R)\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; a\; (1-Q)\; x\; +\; bRy\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; =\; aQx\; +\; b\; (1-R)\; y\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Мы особенно интересует случай, когда L очень велико, поэтому мы можем спокойно пренебречь R и вместо этого рассмотреть:

$\{x\; \dot{}\; =\; a\; (1\; -\; Q)\; xy\; \dot{}\; =\; a\; Q\; x\; +\; by\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\; \}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; a\; (1-Q)\; x\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; =\; aQx\; +\; by\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Тогда, установив z = x / y, мы имеем

$\partial \; z\; \partial \; t\; =\; x\; \dot{}\; y\; -\; xy\; \dot{}\; y\; 2\; =\; a\; (1\; -\; Q)\; xy\; -\; x\; (a\; Q\; x\; +\; by)\; y\; 2\; =\; a\; (1\; -\; Q)\; z\; -\; (a\; Q\; z\; 2\; +\; bz)\; знак\; равно\; Z\; (a\; (1\; -\; Q)\; -\; a\; Q\; z\; -\; b)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; yx\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (1-Q)\; xy-x\; (aQx\; +\; by)\}\; \{\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; =\; a\; (1-Q)\; z-\; (aQz\; ^\; \{2\}\; +\; bz)\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; =\; z\; (a\; (1-Q)\; -aQz-b)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$.

Предполагая, что z достигает постоянной концентрации с течением времени, z успокаивается, чтобы удовлетворить

$z\; (\infty )\; =\; a\; (1\; -\; Q)\; -\; ba\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (\backslash \; infty)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (1-Q)\; -b\}\; \{aQ\}\}\}$

(который выводится установкой производной z по времени равной нулю).

Итак, важный вопрос заключается в том, при каких значениях параметров сохраняется исходная популяция (продолжает существовать)? Популяция сохраняется тогда и только тогда, когда стационарное значение z строго положительно. т.е. тогда и только тогда, когда:

$z\; (\infty )>0\; ⟺\; a\; (1\; -\; Q)\; -\; b>0\; ⟺\; (1\; -\; Q)>b\; /\; a.\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (\backslash \; infty)>0\; \backslash \; iff\; a\; (1-Q)\; -b>0\; \backslash \; iff\; (1-Q)>b\; /\; a.\}$

Этот результат чаще выражается в терминах отношения a: b и частоты ошибок q отдельных цифр: установите b / a = (1-s), тогда условие станет

$Z\; (\infty )>0\; ⟺\; (1\; -\; Q)\; =\; (1\; -\; q)\; L>1\; -\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (\backslash \; infty)>0\; \backslash \; iff\; (1-Q)\; =\; (1-q)\; ^\; \{\; L\}>1-s\}$

Взяв логарифм с обеих сторон и приблизившись к малым q и s, получим

$L\; ln\; \; (\; -\; q)\; \approx \; -\; L\; q>пер\; \; (1\; -\; s)\; \approx \; -\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; ln\; \{(1-q)\}\; \backslash \; приблизительно\; -Lq>\backslash \; ln\; \{(1-s)\}\; \backslash \; приблизительно\; -s\}$

сокращение условия до:

РНК-вирусы, которые реплицируются близко к порогу ошибки, имеют размер генома порядка 10 (10000) пары оснований. Длина ДНК человека составляет около 3,3 миллиарда (10) базовых единиц. Это означает, что механизм репликации ДНК человека должен быть на на более точным, чем для РНК РНК-вирусов.

Презентация, основанная на теории информации

Чтобы избежать катастрофических ошибок, количество информации, теряемой в результате мутации, должно быть меньше количества информации, полученной в результате естественного отбора. Этот факт можно использовать для получения, по существу, тех же уравнений, что и при более распространенном дифференциальном представлении.

Потерянная информация может быть определена количественно как длина генома L, умноженная на коэффициент ошибок репликации q. Вероятность выживания S определяет количество информации, внесенной естественным отбором, а информация представляет собой отрицательный логарифм вероятности. Следовательно, геном может выжить без изменений, только если

Например, очень простой геном, где L = 1 и q = 1, представляет собой геном с одним битом, который всегда мутирует. Поскольку тогда Lq равно 1, отсюда следует, что S должно быть ½ или меньше. Это соответствует половине выживших потомков; а именно половинка с правильным геномом.

Некоторые вирусы, такие как полиомиелит или гепатит C, действуют очень близко к критической скорости мутации (т. Е. К самому большому q, которое L допускает). Лекарства были созданы для увеличения скорости мутаций вирусов, чтобы подтолкнуть их к критической границе, чтобы они потеряли самоидентификацию. Однако, учитывая критику основного предположения математической модели, этот подход проблематичен.

Результат представляет собой Catch-22 загадку для биологов, парадокс Эйгена : как правило, для точной репликации требуются большие геномы (высокая скорость репликации достигается за счет помощь ферментов ), но большой геном требует высокой точности q для сохранения. Что приходит первым и как это происходит? Иллюстрация сложности: L может быть только 100, если q 'равно 0,99 - очень маленькая длина строки с точки зрения генов.

• Порог ошибки
• Вихрь вымирания
• Мутационный meltdown

• Ошибка-катастрофа и антивирусная стратегия
• Изучение теории ошибки-катастрофы