В математике, эквивариантные когомологии (или борелевские когомологии) - это теория когомологий из алгебраической топологии, которая применяется к топологическим пространствам с групповым действием . Его можно рассматривать как общее обобщение групповых когомологий и обычной теории когомологий. В частности, эквивариантное кольцо когомологий пространства с действием топологической группы определяется как обычное кольцо когомологий с кольцом коэффициентов из гомотопического частного :
Если - это тривиальная группа, это обычное кольцо когомологий из , тогда как если стягиваемый, он сводится к кольцу когомологий классифицирующего пространства (то есть групповые когомологии , когда G конечна.) Если G действует свободно на X, то каноническое отображение является гомотопической эквивалентностью, поэтому получаем:
Также можно определить эквивариантные когомологии из с коэффициентами в -модуль A; это абелевы группы. Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.
Если X - многообразие, G - компактная группа Ли и - поле действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичный ситуации), то указанные выше когомологии могут быть вычислены с использованием так называемой модели Картана (см. эквивариантные дифференциальные формы.)
Конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий, такими как Когомологии Бредона или когомологии: если G - компактная группа Ли, то с помощью аргумента усреднения любую форму можно сделать инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.
Двойственность Кошуля, как известно, имеет место между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями.
гомотопический коэффициент, также называемый гомотопическим пространством орбит или конструкцией Бореля, является «гомотопически правильной» версией орбитального пространства (частное от на его -action), в котором сначала заменяется большим, но гомотопическим эквивалентом пробелом, так что действие гарантированно будет free.
Для этого построим универсальное расслоение EG → BG для G и напомним, что EG допускает свободное G-действие. Тогда произведение EG × X, которое гомотопически эквивалентно X, поскольку EG стягиваемо, допускает «диагональное» G-действие, определяемое формулой (e, x).g = (например, gx): более того, это диагональное действие является свободным, поскольку это бесплатно на EG. Итак, мы определяем гомотопический фактор X G как пространство орбит (EG × X) / G этого свободного G-действия.
Другими словами, гомотопический фактор - это ассоциированное X-расслоение над BG, полученное действием G на пространстве X и главном расслоении EG → BG. Это расслоение X → X G → BG называется расслоением Бореля .
Следующий пример - предложение 1 из [1].
Пусть X - комплексная проективная алгебраическая кривая. Мы идентифицируем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек , которое является компактной римановой поверхностью. Пусть G - комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любое главное G-расслоение на X изоморфно тривиальному расслоению, поскольку классифицирующее пространство является 2-связным и X имеет действительную размерность 2. Зафиксируем некоторое гладкое G-расслоение на X. Тогда любое главное G-расслоение на изоморфен . Другими словами, множество всех классов изоморфизма пар, состоящих из главного G-расслоения на X и комплексно-аналитической структуры на нем, можно отождествить с набор комплексно-аналитических структур на или, что эквивалентно, набор голоморфных связностей на X (поскольку связи интегрируемы по причине размерности). представляет собой бесконечномерное сложное аффинное пространство и, следовательно, стягиваемо.
Пусть будет группой всех автоморфизмов (т. Е. калибровочная группа.) Тогда гомотопический коэффициент по классифицирует комплексно-аналитические (или эквивалентно алгебраические) главные G-расслоения на X; т. е. это в точности классифицирующее пространство дискретной группы .
Можно определить стек модулей основных пучков как стек частных и затем гомотопический коэффициент по определению является гомотопическим типом из .
Пусть E - эквивариантное векторное расслоение на G-многообразии M. Оно порождает векторное расслоение на гомотопическом коэффициенте , так что он отодвигается в связку на . Эквивариантный характеристический класс E тогда является обычным характеристическим классом , который является элементом пополнения кольца когомологий . (Для применения теории Черна – Вейля используется конечномерная аппроксимация EG.)
В качестве альтернативы можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные полиномы классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения вычисляется в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения является степенным рядом (а не полиномом, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Черна; следовательно, он принадлежит пополнению эквивариантного кольца когомологий.)
В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и В эквивариантном случае это означает: эквивариантный первый Черн дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексные линейные пучки и .
Теорема локализации один из самых мощных инструментов эквивариантных когомологий.