Эквивариантная когомология

редактировать

В математике, эквивариантные когомологии (или борелевские когомологии) - это теория когомологий из алгебраической топологии, которая применяется к топологическим пространствам с групповым действием . Его можно рассматривать как общее обобщение групповых когомологий и обычной теории когомологий. В частности, эквивариантное кольцо когомологий пространства X {\ displaystyle X}X с действием топологической группы G {\ displaystyle G}G определяется как обычное кольцо когомологий с кольцом коэффициентов Λ {\ displaystyle \ Lambda}\ Lambda из гомотопического частного EG × GX {\ displaystyle EG \ times _ {G} X}EG \ times _ {G} X :

HG ∗ (X; Λ) = H ∗ (EG × GX; Λ). {\ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; \ Lambda) = H ^ {*} (EG \ times _ {G} X; \ Lambda).}H_ {G} ^ {*} (X ; \ Lambda) = H ^ {*} (EG \ times _ {G} X; \ Lambda).

Если G {\ displaystyle G }G - это тривиальная группа, это обычное кольцо когомологий из X {\ displaystyle X}X , тогда как если X {\ displaystyle X}X стягиваемый, он сводится к кольцу когомологий классифицирующего пространства BG {\ displaystyle BG}BG (то есть групповые когомологии G {\ displaystyle G}G , когда G конечна.) Если G действует свободно на X, то каноническое отображение EG × GX → X / G {\ displaystyle EG \ times _ {G} X \ to X / G}EG \ times _ {G} X \ to X / G является гомотопической эквивалентностью, поэтому получаем: HG ∗ (X; Λ) = H ∗ ( X / G; Λ). {\ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; \ Lambda) = H ^ {*} (X / G; \ Lambda).}H_ {G} ^ {*} (X; \ Lambda) = H ^ {*} (X / G; \ Lambda).

Также можно определить эквивариантные когомологии HG ∗ (X; A) {\ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; A)}{\ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; A)} из X {\ displaystyle X}X с коэффициентами в G {\ displaystyle G}G -модуль A; это абелевы группы. Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.

Если X - многообразие, G - компактная группа Ли и Λ {\ displaystyle \ Lambda}\ Lambda - поле действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичный ситуации), то указанные выше когомологии могут быть вычислены с использованием так называемой модели Картана (см. эквивариантные дифференциальные формы.)

Конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий, такими как Когомологии Бредона или когомологии: если G - компактная группа Ли, то с помощью аргумента усреднения любую форму можно сделать инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.

Двойственность Кошуля, как известно, имеет место между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями.

Содержание

  • 1 Гомотопический коэффициент
  • 2 Пример гомотопического отношения
  • 3 Эквивариантные характеристические классы
  • 4 Теорема локализации
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Гомотопический фактор

гомотопический коэффициент, также называемый гомотопическим пространством орбит или конструкцией Бореля, является «гомотопически правильной» версией орбитального пространства (частное от X {\ displaystyle X}X на его G {\ displaystyle G}G -action), в котором X {\ displaystyle X}X сначала заменяется большим, но гомотопическим эквивалентом пробелом, так что действие гарантированно будет free.

Для этого построим универсальное расслоение EG → BG для G и напомним, что EG допускает свободное G-действие. Тогда произведение EG × X, которое гомотопически эквивалентно X, поскольку EG стягиваемо, допускает «диагональное» G-действие, определяемое формулой (e, x).g = (например, gx): более того, это диагональное действие является свободным, поскольку это бесплатно на EG. Итак, мы определяем гомотопический фактор X G как пространство орбит (EG × X) / G этого свободного G-действия.

Другими словами, гомотопический фактор - это ассоциированное X-расслоение над BG, полученное действием G на пространстве X и главном расслоении EG → BG. Это расслоение X → X G → BG называется расслоением Бореля .

Пример гомотопического фактора

Следующий пример - предложение 1 из [1].

Пусть X - комплексная проективная алгебраическая кривая. Мы идентифицируем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек X (C) {\ displaystyle X (\ mathbb {C})}X (\ mathbb {C}) , которое является компактной римановой поверхностью. Пусть G - комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любое главное G-расслоение на X изоморфно тривиальному расслоению, поскольку классифицирующее пространство BG {\ displaystyle BG}BG является 2-связным и X имеет действительную размерность 2. Зафиксируем некоторое гладкое G-расслоение P sm {\ displaystyle P _ {\ text {sm}}}P _ {\ text {sm}} на X. Тогда любое главное G-расслоение на X {\ displaystyle X}X изоморфен P sm {\ displaystyle P _ {\ text {sm}}}P _ {\ text {sm}} . Другими словами, множество Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega всех классов изоморфизма пар, состоящих из главного G-расслоения на X и комплексно-аналитической структуры на нем, можно отождествить с набор комплексно-аналитических структур на P sm {\ displaystyle P _ {\ text {sm}}}P _ {\ text {sm}} или, что эквивалентно, набор голоморфных связностей на X (поскольку связи интегрируемы по причине размерности). Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega представляет собой бесконечномерное сложное аффинное пространство и, следовательно, стягиваемо.

Пусть G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}{\ mathcal {G}} будет группой всех автоморфизмов P sm {\ displaystyle P _ {\ text {sm} }}P _ {\ text {sm}} (т. Е. калибровочная группа.) Тогда гомотопический коэффициент Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega по G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}{\ mathcal {G}} классифицирует комплексно-аналитические (или эквивалентно алгебраические) главные G-расслоения на X; т. е. это в точности классифицирующее пространство BG {\ displaystyle B {\ mathcal {G}}}B {\ mathcal {G}} дискретной группы G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}{\ mathcal {G}} .

Можно определить стек модулей основных пучков Bun G ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (X)}\ operatorname {Bun} _ {G} (X) как стек частных [Ω / G] {\ displaystyle [\ Omega / {\ mathcal {G}}]}[\ Omega / {\ mathcal {G}}] и затем гомотопический коэффициент BG {\ displaystyle B {\ mathcal {G}}}B {\ mathcal {G}} по определению является гомотопическим типом из Bun G ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G } (X)}\ operatorname {Bun} _ {G} (X) .

Эквивариантные характеристические классы

Пусть E - эквивариантное векторное расслоение на G-многообразии M. Оно порождает векторное расслоение E ~ { \ displaystyle {\ widetilde {E}}}{\ widetilde {E}} на гомотопическом коэффициенте EG × GM {\ displaystyle EG \ times _ {G} M}EG \ times _ {G} M , так что он отодвигается в связку E ~ = EG × E {\ displaystyle {\ widetilde {E}} = EG \ times E}{\ displaystyle {\ widetilde {E}} = EG \ times E} на EG × M {\ displaystyle EG \ раз M}EG \ times M . Эквивариантный характеристический класс E тогда является обычным характеристическим классом E ~ {\ displaystyle {\ widetilde {E}}}{\ widetilde {E}} , который является элементом пополнения кольца когомологий H * (EG × GM) = HG * (M) {\ displaystyle H ^ {*} (EG \ times _ {G} M) = H_ {G} ^ {*} (M)}H ^ {*} (EG \ times _ {G} M) = H_ {G} ^ {*} (M) . (Для применения теории Черна – Вейля используется конечномерная аппроксимация EG.)

В качестве альтернативы можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные полиномы классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения вычисляется в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения является степенным рядом (а не полиномом, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Черна; следовательно, он принадлежит пополнению эквивариантного кольца когомологий.)

В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и H 2 (M; Z). {\ displaystyle H ^ {2} (M; \ mathbb {Z}).}H ^ {2} (M; \ mathbb {Z}). В эквивариантном случае это означает: эквивариантный первый Черн дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексные линейные пучки и HG 2 (M; Z) {\ displaystyle H_ {G} ^ {2} (M; \ mathbb {Z})}H_ {G} ^ {2} (M; \ mathbb {Z}) .

Теорема локализации

Теорема локализации один из самых мощных инструментов эквивариантных когомологий.

См. Также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 12:47:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте