В геометрии, равнодиссечением является разбивает многоугольника на треугольники равной площади. Изучение равномерного рассечения началось в конце 1960-х годов с теоремы Монского, в которой говорится, что квадрат не может быть равноразрезан на нечетное количество треугольников. Фактически, большинство многоугольников вообще не могут быть равноразмерены.
Большая часть литературы направлена на обобщение теоремы Монски на более широкие классы многоугольников. Общий вопрос: какие многоугольники можно равномерно разделить на сколько частей? Особое внимание было уделено трапеции, воздушным змеям, правильным многоугольникам, центрально-симметричным многоугольникам, полиомино и гиперкубы.
Эквидиссекции не имеют прямого применения. Они считаются интересными, потому что результаты поначалу противоречат здравому смыслу, а для геометрической задачи с таким простым определением теория требует некоторых удивительно сложных алгебраических инструментов. Многие результаты основаны на расширении p-адических оценок до действительных чисел и расширении леммы Спернера на более общие цветные графы.
Рассечение многоугольника P - это конечный набор треугольников, которые не перекрываются и объединение которых является целым из P. A рассечение на n треугольников называется n-рассечением, и оно классифицируется как четное рассечение или нечетное рассечение в зависимости от того, является ли n четным или нечетным.
Равномерным рассечением называется рассечение, в котором каждый треугольник имеет одинаковую площадь. Для многоугольника P множество всех n, для которых существует n-равномерный разрез P, называется спектром P и обозначается S (P). Общая теоретическая цель - вычислить спектр заданного многоугольника.
Рассечение называется симплициальным, если треугольники пересекаются только вдоль общих ребер. Некоторые авторы ограничивают свое внимание симплициальными вскрытиями, особенно во вторичной литературе, поскольку с ними легче работать. Например, обычное утверждение леммы Спернера применимо только к симплициальным разрезам. Часто симплициальные разрезы называются триангуляциями, хотя вершины треугольников не ограничиваются вершинами или ребрами многоугольника. Поэтому симплициальные эквидиссекции также называются триангуляциями равной площади.
Термины могут быть расширены до многогранников более высокой размерности : равнодушие - это набор симплексов с одинаковым n -volume.
Легко найти n-равное рассечение треугольника для всех n. В результате, если многоугольник имеет m-равномерный разрез, то он также имеет mn-равномерный разрез для всех n. Фактически, часто спектр многоугольника состоит в точности из кратных некоторому числу m; в этом случае и спектр, и многоугольник называются главным, а спектр обозначается . Например, спектр треугольника: . Простым примером неглавного многоугольника является четырехугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); его спектр включает 2 и 3, но не 1.
Аффинные преобразования плоскости полезны для изучения эквидиссекций, включая смещения, равномерное и неравномерное масштабирование, отражения, вращения, сдвиги и другие сходства и линейные карты. Поскольку аффинное преобразование сохраняет прямые линии и отношения площадей, оно переводит эквидиссекции в эквидиссекции. Это означает, что можно применить любое аффинное преобразование к многоугольнику, которое может придать ему более управляемую форму. Например, часто выбирают координаты так, чтобы три вершины многоугольника были (0, 1), (0, 0) и (1, 0).
Тот факт, что аффинные преобразования сохраняют Equidissections также означает, что некоторые результаты могут быть легко обобщены. Все результаты, сформулированные для правильного многоугольника, также верны для аффинно-правильных многоугольников ; в частности, результаты, касающиеся единичного квадрата, также применимы к другим параллелограммам, включая прямоугольники и ромбы. Все результаты, указанные для многоугольников с целыми координатами, также применимы к многоугольникам с рациональными координатами или многоугольникам, вершины которых попадают в любую другую решетку.
Теорема Монского утверждает, что квадрат не имеет нечетных равномерных разрезов, поэтому его спектр равен . В более общем плане известно, что центрально-симметричные многоугольники и полиомино не имеют нечетных равномерных секций. Гипотеза Шермана К. Стейна предполагает, что ни один специальный многоугольник не имеет нечетного равномерного разреза, где особый многоугольник - это такой многоугольник, классы эквивалентности из параллельных ребер, каждая сумма которых равна нулевой вектор. Квадраты, центрально-симметричные многоугольники, polyominos и polyhexes - все это специальные многоугольники.
Для n>4 спектр правильного n -угольник - это . При n>1 спектр n-мерного куба , где n! - факториал числа n.
Пусть T (a) будет трапецией, где a - отношение длин параллельных сторон. Если a является рациональным числом, то T (a) является главным. Фактически, если r / s является дробью в младших числах, то . В более общем смысле, все выпуклые многоугольники с рациональными координатами могут быть равноразмерены, хотя не все из них являются главными; см. приведенный выше пример воздушного змея с вершиной в (3/2, 3/2).
С другой стороны, если a является трансцендентным числом, тогда T (a) не имеет равнодиссечения. В более общем смысле, ни один многоугольник, координаты вершин которого алгебраически независимы, не имеет равномерного разреза. Это означает, что почти все многоугольники с более чем тремя сторонами не могут быть равноудалены. Хотя большинство многоугольников нельзя разрезать на треугольники равной площади, все многоугольники можно разрезать на четырехугольники равной площади.
Если a - алгебраическое иррациональное число, то T (a) - более сложный случай. Если a является алгебраическим степени 2 или 3 (квадратичным или кубическим), и его сопряженные все имеют положительные действительные части, то S (T (a)) содержит все достаточно большие n такие, что n / (1 + a) является целым алгебраическим числом. Предполагается, что аналогичное условие с участием стабильных многочленов может определить, пуст ли спектр для алгебраических чисел a всех степеней.
Идея создания равнодушие выглядит как элементарная геометрическая концепция, которая должна быть довольно старой. Aigner Ziegler (2010) замечание теоремы Монского: «можно было догадаться, что ответ наверняка должен был быть известен давно (если не грекам)». Но изучение эквидиссекции не началось до 1965 года, когда Фред Ричман готовил магистерский экзамен в Государственном университете Нью-Мексико.
Ричман хотел включить вопрос по геометрии на экзамене, и он заметил, что было трудно найти (то, что теперь называется) странное равнодиссечение квадрата. Ричман доказал себе, что для 3 или 5 невозможно, что существование n-равномерного разреза подразумевает существование (n + 2) -разбиения, и что некоторые четырехугольники, сколь угодно близкие к квадрату, имеют нечетные равнодиссечения. Однако он не решил общую задачу о нечетных равномерных разрезах квадратов и оставил ее вне экзамена. Друг Ричмана Джон Томас заинтересовался этой проблемой; по его воспоминаниям,
Томас доказал, что нечетное эквидиссечение невозможно, если координаты вершин являются рациональными числами с нечетными знаменателями. Он отправил это доказательство в Mathematics Magazine, но его рассмотрение было приостановлено:
Вместо этого вопрос был задан как сложная задача в American Mathematical Monthly (Richman Thomas 1967). Когда больше никто не представил решение, доказательство было опубликовано в Mathematics Magazine (Thomas 1968), через три года после его написания. Монски (1970) затем основывался на аргументе Томаса, чтобы доказать, что не существует нечетных равномерных секций квадрата без каких-либо предположений о рациональности.
Доказательство Монски опирается на два столпа: a комбинаторный результат, который обобщает лемму Спернера и алгебраический результат, существование 2-адической оценки действительных чисел. Тогда умная раскраска плоскости подразумевает, что во всех разрезах квадрата по крайней мере один треугольник имеет площадь, равную четному знаменателю, и, следовательно, все равноудаленные разрезы должны быть четными. Суть аргумента обнаруживается уже в Thomas (1968), но Monsky (1970) был первым, кто использовал 2-адическую оценку для покрытия разрезов с произвольными координатами.
Первым обобщением теоремы Монски был Мид (1979), который доказал, что спектр n-мерного куба . К доказательству вернулись Беккер и Нецветаев (1998).
Обобщение на правильные многоугольники появилось в 1985 году во время геометрического семинара, проведенного Г. Д. Чакерианом в Калифорнийском университете в Дэвисе. Элейн Касиматис, аспирантка, «искала какую-нибудь алгебраическую тему, которую она могла бы прочесть» на семинаре. Шерман Штайн предложил разрезать квадрат и куб: «Тема, которую Чакериан неохотно признал, была геометрической». После выступления Штейн спросила о правильных пятиугольниках. Касиматис ответил Касиматис (1989), доказав, что для n>5 спектр правильного n-угольника равен . Ее доказательство основано на доказательстве Монски, расширяя p-адическое нормирование до комплексных чисел для каждого простого делителя n и применяя некоторые элементарные результаты из теории круговых полей. Это также первое доказательство явного использования аффинного преобразования для создания удобной системы координат. Kasimatis Stein (1990) затем сформулировали задачу нахождения спектра общего многоугольника, введя термины спектр и главный. Они доказали, что почти все многоугольники не имеют равномерного рассечения и что не все многоугольники являются главными.
Kasimatis Stein (1990) начали изучение спектров двух частных обобщений квадратов: трапеций и воздушных змеев. Трапеции были дополнительно изучены Джепсеном (1996), Монски (1996) и Джепсеном и Монски (2008). Воздушные змеи были дополнительно изучены Джепсеном, Седберри и Хойером (2009). Общие четырехугольники были изучены в Su Ding (2003). В Педагогическом университете Хэбэя было написано несколько статей, в основном профессором Дин Рен и его учениками Ду Ятао и Су Чжанджун.
Попытка обобщить результаты для правильных n-угольников для четных n, Стейн (1989) предположил, что ни один центрально-симметричный многоугольник не имеет нечетного равномерного разреза, и доказал случаи n = 6 и n = 8. Полная гипотеза была доказана Монски (1990). Десять лет спустя Штейн совершил то, что он назвал «удивительным прорывом», предположив, что ни у одного полимино нет странной эквидиссекции. Он доказал результат полимино с нечетным числом квадратов в Stein (1999). Полная гипотеза была доказана, когда Praton (2002) рассмотрел четный случай.
Тема эквидиссекций недавно была популяризирована благодаря трактовкам в The Mathematical Intelligencer (Stein 2004), тома Математических монографий Каруса (Stein Szabó 2008) и четвертое издание Proofs from THE BOOK (Aigner Ziegler 2010).
Sakai, Nara Urrutia (2005) рассматривают вариант задачи: учитывая выпуклый многоугольник K, какая часть его площади может быть покрыта n неперекрывающимися треугольниками равная площадь внутри K? Отношение площади наилучшего возможного покрытия к площади K обозначается t n (K). Если K имеет n-равномерный разрез, то t n (K) = 1; в противном случае меньше 1. Авторы показывают, что для четырехугольника K t n (K) ≥ 4n / (4n + 1), причем t 2 (K) = 8 / 9 тогда и только тогда, когда K аффинно конгруэнтно трапеции T (2/3). Для пятиугольника t 2 (K) ≥ 2/3, t 3 (K) ≥ 3/4 и t n (K) ≥ 2n / (2n + 1) для n ≥ 5.
Гюнтер М. Циглер задал обратную задачу в 2003 году: учитывая разбиение всего многоугольника на n треугольников, насколько близко могут быть площади треугольников к равным ? В частности, какова наименьшая возможная разница между площадями самого маленького и самого большого треугольника? Пусть наименьшая разность будет M (n) для квадрата и M (a, n) для трапеции T (a). Тогда M (n) равно 0 для четных n и больше 0 для нечетных n. Mansow (2003) дал асимптотическую верхнюю границу M (n) = O (1 / n) (см. нотация Big O ). Schulze (2011) улучшает оценка M (n) = O (1 / n) с лучшим разрезом, и он доказывает, что существуют значения a, для которых M (a, n) убывает произвольно быстро. Labbé, Rote Ziegler (2018) получают суперполиномиальную верхнюю границу, полученную из явной конструкции, использующей последовательность Туэ – Морса.
Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Equidissections. |