Уравнения для падающего тела

редактировать

Математическое описание тела в свободном падении

Набор уравнений описывают результирующие траектории, когда объекты движутся под действием постоянной гравитационной силы в нормальных условиях Земли. Например, закон всемирного тяготения Ньютона упрощается до F = mg, где m - масса тела. Это предположение разумно для объектов, падающих на Землю на относительно коротких вертикальных расстояниях в нашем повседневном опыте, но неверно на больших расстояниях, таких как траектории космических кораблей.

Содержание

1 История
2 Обзор
3 Уравнения
4 Пример
5 Ускорение относительно вращающейся Земли
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

История

Галилео был первым, кто продемонстрировал, а затем сформулировал эти уравнения. Он использовал рампу, чтобы изучить катящиеся шары, при этом наклон замедлял ускорение настолько, чтобы измерить время, необходимое мячу, чтобы катиться на известное расстояние. Он измерил прошедшее время с помощью водяных часов, используя «чрезвычайно точные весы» для измерения количества воды.

В уравнениях не учитывается сопротивление воздуха, которое оказывает сильное влияние на падающие предметы заметное расстояние в воздухе, заставляющее их быстро приближаться к конечной скорости. Эффект сопротивления воздуха сильно различается в зависимости от размера и геометрии падающего объекта - например, уравнения безнадежно неверны для пера, которое имеет небольшую массу, но оказывает большое сопротивление воздуху. (В отсутствие атмосферы все объекты падают с одинаковой скоростью, как продемонстрировал астронавт Дэвид Скотт, уронив молот и перо на поверхность Луны.)

Уравнения также игнорируют вращение Земли, не описывая, например, эффект Кориолиса. Тем не менее, они обычно достаточно точны для плотных и компактных объектов, падающих с высоты, не превышающей самые высокие искусственные сооружения.

Обзор

Первоначально неподвижный объект, которому позволено свободно падать под действием силы тяжести, падает на расстояние, пропорциональное квадрату прошедшего времени. Это изображение, охватывающее полсекунды, было получено с помощью стробоскопической вспышки с частотой 20 вспышек в секунду. За первые 0,05 с мяч падает на одну единицу расстояния (около 12 мм), за 0,10 с он упал всего на 4 единицы, за 0,15 с - на 9 единиц и т. Д.

У поверхности Земли, ускорение свободного падения g = 9,807 м / с (метров в секунду в квадрате, что можно представить как «метры в секунду в секунду»; или 32,18 футов / с как "футов в секунду в секунду") приблизительно. Необходим согласованный набор единиц для g, d, t и v. Предполагая, что единицы СИ, g измеряется в метрах в секунду в квадрате, поэтому d необходимо измерять в метрах, t - в секундах, а v - в метрах в секунду.

Во всех случаях предполагается, что тело начинает движение из состояния покоя, и сопротивлением воздуха пренебрегают. Как правило, в атмосфере Земли все приведенные ниже результаты будут довольно неточными после всего лишь 5 секунд падения (в это время скорость объекта будет немного меньше, чем значение вакуума 49 м / с (9,8 м / с × 5 с). из-за сопротивления воздуха). Сопротивление воздуха вызывает силу сопротивления на любом теле, которое падает через любую атмосферу, кроме идеального вакуума, и эта сила сопротивления увеличивается со скоростью, пока не сравняется с силой тяжести, заставляя объект падать с постоянной конечной скоростью.

Конечная скорость зависит от атмосферного сопротивления, коэффициента сопротивления объекта, (мгновенной) скорости объекта и площади, представленной воздушному потоку.

Помимо последней формулы, эти формулы также предполагают, что g незначительно изменяется с высотой во время падения (то есть они предполагают постоянное ускорение). Последнее уравнение является более точным, когда значительные изменения относительного расстояния от центра планеты во время падения вызывают значительные изменения g. Это уравнение встречается во многих приложениях базовой физики.

Уравнения

Расстояние $d {\ displaystyle \ d \}$ $\ d \$ , пройденное объектом, падающим за время $t {\ displaystyle \ t \}$ $\ t \$ :	$d = 1 2 gt 2 {\ displaystyle \ d = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ d = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$ .
Время $t {\ displaystyle \ t \}$ $\ t \$ за расстояние от объекта до падения $d {\ displaystyle \ d \}$ $\ d \$ :	$t = 2 dg {\ displaystyle \ t = \ {\ sqrt {\ frac {2d} {g}}}}$ ${\ displaystyle \ t = \ {\ sqrt {\ frac {2d} {g}}}}$ .
Мгновенная скорость $vi {\ displaystyle \ v_ {i} \}$ $\ v_ {i} \$ падающего объекта по прошествии времени $t {\ displaystyle \ t \}$ $\ t \$ :	$vi = gt {\ displaystyle \ v_ { i} = gt}$ ${\ displaystyle \ v_ {i} = gt}$
Мгновенная скорость $vi {\ displaystyle \ v_ {i} \}$ $\ v_ {i} \$ падающего объекта, прошедшего расстояние $d {\ displaystyle \ d \}$ $\ d \$ :	$vi = 2 gd {\ displaystyle \ v_ {i} = {\ sqrt {2gd}} \}$ $\ v_ {i} = {\ sqrt {2gd}} \$ .
Средняя скорость $va {\ displaystyle \ v_ {a} \}$ $\ v_ {a} \$ из объект, падающий в течение времени $t {\ displaystyle \ t \}$ $\ t \$ (усредненно по времени):	$va = 1 2 gt {\ displaystyle \ v_ {a} = {\ frac {1} {2}} gt}$ ${\ displaystyle \ v_ {a} = {\ frac {1} {2}} gt}$ .
ср. скорость ярости $va {\ displaystyle \ v_ {a} \}$ $\ v_ {a} \$ падающего объекта, прошедшего расстояние $d {\ displaystyle \ d \}$ $\ d \$ (усредненное по время):	$va = 2 gd 2 {\ displaystyle \ v_ {a} = {\ frac {\ sqrt {2gd}} {2}} \}$ ${\ displaystyle \ v_ {a} = {\ frac {\ sqrt {2gd}} {2}} \}$ .
Мгновенная скорость $vi {\ displaystyle \ v_ {i} \}$ $\ v_ {i} \$ падающего объекта, который прошел расстояние $d {\ displaystyle \ d \}$ $\ d \$ на планете с массой $M {\ displaystyle \ M \}$ $\ M \$ , с объединенным радиусом планеты и высотой падающего объекта $r {\ displaystyle \ r \}$ $\ r \$ , это уравнение используется для больших радиусов, где $g {\ displaystyle \ g \}$ $\ g \$ меньше стандартного $g {\ displaystyle \ g \}$ $\ g \$ на поверхности Земли, но предполагает небольшое расстояние падения, поэтому изменение $g {\ displaystyle \ g \}$ $\ g \$ небольшое и относительно постоянное:	$vi = 2 GM dr 2 {\ displaystyle \ v_ {i} = {\ sqrt { \ frac {2GMd} {r ^ {2}}}} \}$ $\ v_ {i} = {\ sqrt {{\ frac {2GMd} {r ^ {2}}}}} \$ .
Мгновенная скорость $vi {\ displaystyle \ v_ {i} \}$ $\ v_ {i} \$ падающего объекта, который прошел расстояние $d {\ displaystyle \ d \}$ $\ d \$ на планете с массой $M {\ displaystyle \ M \}$ $\ M \$ и радиус $r {\ displaystyle \ r \}$ $\ r \$ (используется для больших расстояний падения, где $g {\ displaystyle \ g \}$ $\ g \$ может значительно измениться):	$vi = 2 GM (1 r - 1 r + d) {\ displaystyle \ v_ {i} = {\ sqrt {2GM {\ Big (} {\ frac {1} { r}} - {\ frac {1} {r + d}} {\ Big)}}} \}$ $\ v_ {i} = {\ sqrt {2GM {\ Big (} {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {r + d}} {\ Big)}} } \$ .

Измеренное время падения небольшого стального шара, падающего с разной высоты. Данные хорошо согласуются с прогнозируемым временем падения

2 ч / г {\ displaystyle {\ sqrt {2h / g}}}

{\ sqrt {2h / g}}

, где h - высота, а g - ускорение

Пример

Первое уравнение показывает, что через одну секунду объект упадет на расстояние 1/2 × 9,8 × 1 = 4,9 м. Через две секунды он упадет 1/2 × 9,8 × 2 = 19,6 м; и так далее. Предпоследнее уравнение становится совершенно неточным на больших расстояниях. Если объект упал на 10 000 м на Землю, то результаты обоих уравнений отличаются всего на 0,08%; однако, если он упал с геосинхронной орбиты, что составляет 42 164 км, то разница изменится почти до 64%.

На основе сопротивления ветра, например, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом (т. Е. Лицом вниз) составляет около 195 км / ч (122 миль / ч или 54 м / ч). с). Эта скорость является асимптотическим предельным значением процесса ускорения, потому что эффективные силы на теле уравновешивают друг друга все более и более точно по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость 50% от конечной скорости достигается всего за 3 секунды, в то время как для достижения 90% требуется 8 секунд, для достижения 99% - 15 секунд и так далее.

Более высокая скорость может быть достигнута, если парашютист тянет свои конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 320 км / ч (200 миль в час или 90 м / с), что почти равно конечной скорости сапсана, ныряющего на свою добычу. Такая же конечная скорость достигается для типичной пули.30-06, падающей вниз - когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни - согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США 1920 года.

Парашютисты, участвующие в соревнованиях по скорости, летают с опущенной головой и достигают еще более высоких скоростей. Текущий мировой рекорд - 1357,6 км / ч (843,6 миль / ч, Мах 1,25), сделанный Феликсом Баумгартнером, который 14 октября 2012 года прыгнул с высоты 38 969,4 м (127 852,4 фута) над землей. Рекорд был установлен из-за большой высоты, где меньшая плотность атмосферы уменьшала сопротивление.

Для астрономических тел, отличных от Земли, и для коротких расстояний падения, отличных от уровня земли, g в приведенных выше уравнениях может быть заменено на $G (M + m) r 2 {\ displaystyle {\ frac {G (M + m)} {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {G (М + м)} {г ^ {2}}}}$ где G - гравитационная постоянная, M - масса астрономического тела, m - масса падающего тела, а r - радиус от падающего объекта до центра астрономического тела.

Удаление упрощающего предположения о равномерном ускорении свободного падения дает более точные результаты. Мы находим из формулы для радиальных эллиптических траекторий :

Время t, необходимое для падения объекта с высоты r на высоту x, измеренную от центров двух тел, определяется как:

t знак равно arccos ⁡ (xr) + xr (1 - xr) 2 μ r 3/2 {\ displaystyle t = {\ frac {\ arccos {\ Big (} {\ sqrt {\ frac {x} {r}}} { \ Big)} + {\ sqrt {{\ frac {x} {r}} \ (1 - {\ frac {x} {r}})}}} {\ sqrt {2 \ mu}}} \, r ^ {3/2}}

{\ displaystyle t = { \ frac {\ arccos {\ Big (} {\ sqrt {\ frac {x} {r}}) } {\ Big)} + {\ sqrt {{\ frac {x} {r}} \ (1 - {\ frac {x} {r}})}}} {\ sqrt {2 \ mu}}} \, г ^ {3/2}}

где $μ = G (m 1 + m 2) {\ displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2})}$ ${\ displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2})}$ - сумма стандартных гравитационных параметров двух тел. Это уравнение следует использовать всякий раз, когда есть существенная разница в ускорении свободного падения во время падения.

Ускорение относительно вращающейся Земли

Центростремительная сила приводит к тому, что ускорение, измеренное на вращающейся поверхности Земли, отличается от ускорения, измеренного для свободно падающего тела: кажущееся ускорение в вращающаяся система отсчета - это полный вектор гравитации за вычетом небольшого вектора по направлению к оси север-юг Земли, соответствующего пребыванию в неподвижном состоянии в этой системе отсчета.

См. Также

De Motu Antiquiora и Две новые науки (самые ранние современные исследования движения падающих тел)
Уравнения движения
Свободное падение
Гравитация
Теорема о средней скорости, основа закона падающих тел
Радиальная траектория

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Wikimedia У Commons есть материалы, связанные с Свободное падение.

Калькулятор уравнений падающего тела