Эпистемическая модальная логика

редактировать

Эпистемическая модальная логика - это подполе модальной логики, которое касается рассуждений о знания. В то время как эпистемология имеет давнюю философскую традицию, уходящую корнями в Древнюю Грецию, эпистемологическая логика появилась гораздо позже и получила приложения во многих областях, включая философию, теоретическая информатика, искусственный интеллект, экономика и лингвистика. Хотя философы со времен Аристотеля обсуждали модальную логику, а средневековые философы, такие как Авиценна, Оккам и Дунс Скот Разработал многие свои наблюдения, это было С. И. Льюис, который создал первый символический и систематический подход к теме в 1912 году. Эта область продолжала развиваться, достигнув своей современной формы в 1963 году с работами Крипке.

Содержание

  • 1 Историческое развитие
  • 2 Стандартная модель возможных миров
    • 2.1 Синтаксис
    • 2.2 Семантика
  • 3 Свойства знания
    • 3.1 Аксиома распределения
    • 3.2 Правило обобщения знаний
    • 3.3 Знание или аксиома истины
    • 3.4 Аксиома позитивной интроспекции
    • 3.5 Негативная аксиома интроспекции
    • 3.6 Системы аксиом
  • 4 Проблемы с возможной моделью мира и модальной моделью знания
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Историческое развитие

В 1950-х годах было написано много статей, в которых мимоходом говорилось о логике познания, но это был финский философ фон Райт Статья "Очерк модальной логики" 1951 года, рассматриваемая как основополагающий документ. Только в 1962 году другой финн, Хинтикка, написал «Знание и вера», первую работу длиной в книгу, в которой предлагалось использовать модальности для фиксации семантики знания, а не алетические утверждения. обычно обсуждается в модальной логике. Эта работа заложила большую часть основы для предмета, но с того времени было проведено много исследований. Например, эпистемическая логика недавно была объединена с некоторыми идеями из динамической логики для создания динамической эпистемологической логики, которую можно использовать для определения и обоснования изменения информации и обмена информацией в многоагентные системы. Основополагающие работы в этой области принадлежат Плаза, Ван Бентем и Балтага, Мосса и Солецки.

Стандартная модель возможных миров

Большинство попыток моделирования знаний были основаны на модели возможных миров. Для этого мы должны разделить набор возможных миров на те, которые совместимы со знаниями агента, и те, которые не совместимы. Обычно это соответствует обычному использованию. Если я знаю, что сегодня пятница или суббота, то точно знаю, что это не четверг. Насколько мне известно, нет возможного мира, совместимого с четвергом, поскольку во всех этих мирах либо пятница, либо суббота. Хотя мы в первую очередь будем обсуждать логический подход к выполнению этой задачи, стоит упомянуть здесь другой основной используемый метод - подход, основанный на событии. В этом конкретном использовании события - это наборы возможных миров, а знания - это оператор событий. Хотя стратегии тесно связаны между собой, между ними следует провести два важных различия:

  • Математической моделью, лежащей в основе логического подхода, является семантика Крипке, в то время как подход, основанный на событиях, использует связанные.
  • В подходе, основанном на событиях, от логических формул полностью отказались, в то время как подход, основанный на логике, использует систему модальной логики.

Как правило, подход, основанный на логике, использовался в таких областях, как как философия, логика и ИИ, в то время как подход, основанный на событиях, чаще используется в таких областях, как теория игр и математическая экономика. В подходе, основанном на логике, синтаксис и семантика были построены с использованием языка модальной логики, который мы сейчас опишем.

Синтаксис

Базовый модальный оператор эпистемической логики, обычно обозначаемый буквой K, может быть прочитан как «известно, что», «эпистемически необходимо, чтобы» или «это несовместимо с тем, что известно, что нет». Если существует более одного агента, чьи знания должны быть представлены, индексы могут быть присоединены к оператору (K 1 {\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {1}}{\ mathit {K}} _ {1} , K 2 {\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {2}}{\ mathit {K}} _ {2} и т. д.), чтобы указать, о каком агенте идет речь. Итак, K a φ {\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {a} \ varphi}{\ mathit {K}} _ {a} \ varphi можно прочитать как «Агент a {\ displaystyle a}aзнает, что φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi . " Таким образом, эпистемическая логика может быть примером мультимодальной логики, применяемой для представления знаний. Двойственное к K, которое находится в таком же отношении к K, как ◊ {\ displaystyle \ Diamond}\ Diamond , имеет отношение к ◻ {\ displaystyle \ Box}\ Box , не имеет специального символа, но может быть представлен как ¬ K a ¬ φ {\ displaystyle \ neg K_ {a} \ neg \ varphi}\ neg K_ {a} \ neg \ varphi , что может быть прочитано как «a { \ displaystyle a}aне знает, что не φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi "или" это соответствует a {\ displaystyle a}aзнает, что φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi возможен ". Выражение «a {\ displaystyle a}aне знает, может ли φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi » быть выражено как ¬ K. a φ ∧ ¬ K a ¬ φ {\ displaystyle \ neg K_ {a} \ varphi \ land \ neg K_ {a} \ neg \ varphi}\ neg K_ {a} \ varphi \ land \ neg K_ {a} \ neg \ varphi .

Чтобы учесть понятия общеизвестных и распределенные знания, к языку могут быть добавлены три других модальных оператора. Это E G {\ displaystyle {\ mathit {E}} _ {\ mathit {G}}}{\ mathit {E}} _ {{\ mathit {G}}} , который гласит: «Каждый агент в группе G знает»; C G {\ displaystyle {\ mathit {C}} _ ​​{\ mathit {G}}}{\ mathit {C}} _ ​​{{\ mathit {G}}} , что гласит: «это общеизвестно каждому агенту в G»; и D G {\ displaystyle {\ mathit {D}} _ {\ mathit {G}}}{\ mathit {D}} _ {{\ mathit {G}}} , который гласит: «знания распределяются между каждым агентом в G.» Если φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi - формула нашего языка, то EG φ {\ displaystyle {\ mathit {E}} _ {G} \ varphi}{\ mathit {E}} _ {G} \ varphi , CG φ {\ displaystyle {\ mathit {C}} _ ​​{G} \ varphi}{\ mathit {C}} _ ​​{G } \ varphi и DG φ {\ displaystyle {\ mathit {D}} _ {G} \ varphi }{\ mathit {D}} _ {G} \ varphi . Так же, как нижний индекс после K {\ displaystyle {\ mathit {K}}}{\ mathit {K }} может быть опущен, когда есть только один агент, нижний индекс после модальных операторов E {\ displaystyle { \ mathit {E}}}{\ mathit {E}} , C {\ displaystyle {\ mathit {C}}}{\ mathit {C}} и D {\ displaystyle {\ mathit {D}}}{\ mathit {D}} можно не указывать, если группа представляет собой набор всех агентов.

Семантика

Как мы упоминали выше, основанный на логике подход построен на модели возможных миров, семантике которой часто придается определенная форма в структурах Крипке, также известных как модели Крипке. Структура Крипке M для n агентов над Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi представляет собой (n + 2) -набор (S, π, K 1,..., K n) {\ displaystyle (S, \ pi, {\ mathcal {K}} _ {1},..., {\ mathcal {K}} _ {n})}(S, \ pi, {\ mathcal { K}} _ {1},..., {\ mathcal {K}} _ {n}) , где S - непустой набор состояний или возможных миров, π {\ displaystyle \ pi}\ pi - интерпретация, которая связывает с каждым состоянием в S присвоение истинности примитивным предложениям в Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi и K 1,..., K n {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {1},..., {\ mathcal {K}} _ {n}}{\ mathcal {K}} _ {1},..., {\ mathcal {K}} _ {n} являются двоичными отношениями на S для n номеров агентов. Здесь важно не путать K i {\ displaystyle K_ {i}}K_{i}, наш модальный оператор, и K i {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i }}{\ mathcal {K}} _ {i} , наше отношение доступности.

Присвоение истинности сообщает нам, истинно или ложно предложение p в определенном состоянии. Итак, π (s) (p) {\ displaystyle \ pi (s) (p)}\ pi (s) (p) сообщает нам, истинно ли p в состоянии s в модели M {\ displaystyle {\ mathcal {M}}}{\ mathcal {M}} . Истина зависит не только от структуры, но и от текущего мира. То, что что-то верно в одном мире, не означает, что это правда в другом. Чтобы заявить, что формула φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi верна в определенном мире, пишут (M, s) ⊨ φ {\ displaystyle (M, s) \ models \ varphi}(M, s) \ models \ varphi , обычно читается как «φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi истинно в (M, s)» или «(M, s) удовлетворяет φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi ".

Полезно думать о нашем бинарном отношении K i {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}{\ mathcal {K}} _ {i} как о соотношении возможностей, потому что оно подразумевается чтобы захватить, какие миры или состояния агент я считаю возможными. В идеализированных представлениях о знании (например, при описании эпистемического статуса идеальных рассуждающих с бесконечным объемом памяти) это имеет смысл для K i {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}{\ mathcal {K}} _ {i} быть отношением эквивалентности, поскольку это самая сильная форма и наиболее подходящая для наибольшего числа приложений. Отношение эквивалентности - это бинарное отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Отношение доступности не обязательно должно иметь эти качества; безусловно, возможны и другие варианты, например, те, которые используются при моделировании веры, а не знания.

Свойства знания

Предполагая, что K i {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}{\ mathcal {K}} _ {i} является отношением эквивалентности, и что агенты являются совершенными рассуждениями, можно вывести несколько свойств знания. Перечисленные здесь свойства часто называют «свойствами S5» по причинам, описанным в разделе «Системы аксиом» ниже.

Аксиома распределения

Эта аксиома традиционно известна как K . В эпистемологической терминологии он утверждает, что если агент знает φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi и знает, что φ ⟹ ψ {\ displaystyle \ varphi \ подразумевает \ psi}\ varphi \ подразумевает \ psi , тогда агент также должен знать ψ {\ displaystyle \, \ psi}\, \ psi . Итак,

(К я φ ∧ К я (φ ⟹ ψ)) ⟹ К я ψ {\ displaystyle (K_ {i} \ varphi \ land K_ {i} (\ varphi \ implies \ psi)) \ подразумевает K_ {i} \ psi}( K_ {i} \ varphi \ land K_ {i} (\ varphi \ implies \ psi)) \ подразумевает K_ {i} \ psi

Эта аксиома действительна для любого кадра в реляционной семантике.

Правило обобщения знаний

Еще одно свойство, которое мы можем вывести, это то, что если ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi действительно, тогда K i ϕ {\ displaystyle K_ {i} \ phi}K_ {i } \ phi . Это не означает, что если ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi истинно, тогда агенту i известно значение ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi . Это означает, что если ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi истинно в каждом мире, который агент считает возможным миром, то агент должен знать ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi во всех возможных мирах. Этот принцип традиционно называется N.

, если ⊨ φ, то M ⊨ K i φ. {\ displaystyle {\ text {if}} \ models \ varphi {\ text {then}} M \ models K_ {i} \ varphi. \,}{\ displaystyle {\ text {if}} \ models \ varphi {\ text {then}} M \ models K_ {i} \ varphi. \,}

Это правило всегда сохраняет истину в реляционной семантике.

Аксиома знания или истины

Эта аксиома также известна как T . Он говорит, что если агент знает факты, они должны быть правдой. Это часто считалось основным отличительным признаком между знанием и верой. Мы можем считать утверждение истинным, когда оно ложно, но узнать ложное утверждение невозможно.

К я φ ⟹ φ {\ displaystyle K_ {i} \ varphi \ implies \ varphi}K_ {i} \ varphi \ подразумевает \ varphi

Эта аксиома действительна на любом рефлексивном кадре.

Аксиома позитивной интроспекции

Это свойство и следующее состояние, когда агент имеет интроспекцию относительно своих собственных знаний, традиционно известны как 4 и 5 соответственно. Аксиома позитивного самоанализа, также известная как аксиома KK, конкретно говорит о том, что агенты знают, что они знают то, что знают. Эта аксиома может показаться менее очевидной, чем перечисленные ранее, и Тимоти Уильямсон категорически возражает против ее включения в свою книгу «Знание и его пределы».

К я φ ⟹ К я К я φ {\ displaystyle K_ {i} \ varphi \ подразумевает K_ {i} K_ {i} \ varphi}K_ {i} \ varphi \ подразумевает K_ {i} K_ {i} \ varphi

Эта аксиома действительна для любого транзитивный фрейм.

Негативная аксиома интроспекции

Аксиома негативной интроспекции гласит, что агенты знают, что они не знают того, чего они не знают.

¬ К я φ ⟹ К я ¬ К я φ {\ displaystyle \ neg K_ {i} \ varphi \ подразумевает K_ {i} \ neg K_ {i} \ varphi}\ neg K_ {i} \ varphi \ подразумевает K_ {i} \ neg K_ {i} \ varphi

Эта аксиома верна на любом евклидовом фрейме.

Системы аксиом

Из разных подмножеств этих аксиом можно вывести разные модальные логики, и эти логики обычно называются в честь важных аксиомы. Тем не менее, это не всегда так. KT45, модальная логика, которая является результатом объединения K, T, 4, 5и правила обобщения знаний, в первую очередь известна как S5. Вот почему описанные выше свойства знания часто называют свойствами S5.

Эпистемическая логика также имеет дело с верой, а не только со знанием. Базовый модальный оператор обычно пишется B вместо K. Однако в этом случае аксиома знания больше не кажется правильной - агенты только иногда верят истине - поэтому ее обычно заменяют аксиомой согласованности, традиционно называемой D:

¬ B i ⊥ {\ displaystyle \ neg B_ {i} \ bot}\ neg B_ {i} \ bot

, в котором говорится, что агент не верит в противоречие или в то, что ложно. Когда D заменяет T в S5, результирующая система известна как KD45. Это также приводит к различным свойствам для K i {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}{\ mathcal {K}} _ {i} . Например, в системе, где агент «верит» в что-то, что истинно, но на самом деле это не так, отношение доступности будет нерефлексивным. Логика веры называется доксастической логикой.

Проблемы с возможной моделью мира и модальной моделью знания

Если мы возьмем подход возможных миров к знанию, из этого следует, что наш эпистемический агент знает все. логические последствия их убеждений. Если Q {\ displaystyle Q}Q является логическим следствием P {\ displaystyle P}P , тогда не существует возможного мира, где P {\ displaystyle P}P истинно, а Q {\ displaystyle Q}Q - нет. Итак, если a знает, что P {\ displaystyle P}P , из этого следует, что все логические следствия P {\ displaystyle P}P верны для всех возможные миры, совместимые с убеждениями России. Следовательно, a знает Q {\ displaystyle Q}Q . Эпистемически невозможно для a, который не- Q {\ displaystyle Q}Q , учитывая его знание, что P {\ displaystyle P}P . Это соображение было частью того, что привело Роберта Сталнакера к разработке двумерности, которая, возможно, может объяснить, как мы можем не знать всех логических следствий наших убеждений, даже если нет миров, где известные нам утверждения оказываются верными, но их последствия ложны.

Даже когда мы игнорируем возможную мировую семантику и придерживаемся аксиоматических систем, эта особенность сохраняется. С помощью K и N (Правило распределения и Правило обобщения знаний, соответственно), которые являются аксиомами, минимально верными для всех нормальных модальных логик, мы можем доказать, что знаем все логические следствия наших убеждений. Если Q {\ displaystyle Q}Q является логическим следствием P {\ displaystyle P}P , то мы можем вывести K a (P → Q) {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {a} (P \ rightarrow Q)}{\ mathcal {K}} _ {a} ( P \ rightarrow Q) с N и условным доказательством, а затем K a P → K a Q {\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {a} P \ rightarrow {\ mathcal {K}} _ {a} Q}{\ mathcal {K}} _ {a} P \ rightarrow {\ mathcal {K}} _ {a} Q с K . Когда мы переводим это на эпистемологические термины, это говорит о том, что если Q {\ displaystyle Q}Q является логическим следствием P {\ displaystyle P}P , тогда знает, что это так, и если a знает P {\ displaystyle P}P , a знает Q {\ displaystyle Q}Q . Другими словами, a знает все логические следствия каждого предложения. Это обязательно верно для всех классических модальных логик. Но тогда, например, если a знает, что простые числа делятся только сами по себе и на единицу, тогда a знает, что 8683317618811886495518194401279999999 является простым числом (поскольку это число делится только на себя и на единицу). Другими словами, согласно модальной интерпретации знания, когда a знает определение простого числа, a знает, что это число является простым. На этом этапе должно быть ясно, что a не человек. Это показывает, что эпистемическая модальная логика представляет собой идеализированный отчет о знании и объясняет объективное, а не субъективное знание (во всяком случае).

См. Также

  • Философский портал

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 12:26:48
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте