Огибающая (волны)

редактировать
Функции верхней и нижней огибающей для модулированной синусоидальной волны.

В физике и инженерный, огибающая колеблющегося сигнала представляет собой плавную кривую, очерчивающую ее крайние значения. Таким образом, огибающая обобщает концепцию постоянной амплитуды на мгновенную амплитуду. На рисунке показана модулированная синусоида , изменяющаяся между верхней и нижней огибающей. Огибающая функция может быть функцией времени, пространства, угла или любой переменной.

Содержание

  • 1 Пример: биение волны
    • 1.1 Фаза и групповая скорость
  • 2 Пример: аппроксимация огибающей функции
  • 3 Пример: дифракционные картины
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки

Пример: биение волны

Модулированная волна, полученная в результате сложения двух синусоидальных волн почти одинаковой длины и частоты.

Обычная ситуация, приводящая к огибающей функции как в пространстве x, так и во времени t, является суперпозицией двух волн почти одинаковой длины. той же длины волны и частоты:

F (x, t) = sin ⁡ [2 π (x λ - Δ λ - (f + Δ f) t)] + sin ⁡ [2 π (x λ + Δ λ - (е - Δ е) t)] ≈ 2 соз ⁡ [2 π (x λ mod - Δ ft)] грех ⁡ [2 π (x λ - ft)] {\ displaystyle {\ begin {align} F (x, \ t) = \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda - \ Delta \ lambda}} - (f + \ Delta f) t \ right) \ right] + \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda + \ Delta \ lambda}} - (f- \ Delta f) t \ right) \ right] \\ [6pt] \ приблизительно 2 \ cos \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda _ {\ rm {mod}}}} - \ Delta f \ t \ right) \ right] \ \ sin \ left [2 \ pi \ осталось( {\ frac {x} {\ lambda}} - f \ t \ right) \ right] \ end {align}}}{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} F (x, \ t) = \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda - \ Delta \ lambda}} - (f + \ Delta f) t \ right) \ right] + \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda + \ Delta \ lambda}} - (f- \ Delta f) t \ right) \ right] \\ [6pt] \ приблизительно 2 \ cos \ left [2 \ pi \ left ({\ fr ac {x} {\ lambda _ {\ rm {mod}}}} - \ Delta f \ t \ right) \ right] \ \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda }} - f \ t \ right) \ right] \ end {align}}}

, который использует тригонометрическую формулу для сложения двух синусоид, и приближение Δλ ≪ λ:

1 λ ± Δ λ = 1 λ 1 1 ± Δ λ / λ ≈ 1 λ ∓ Δ λ λ 2. {\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda \ pm \ Delta \ lambda}} = {\ frac {1} {\ lambda}} \ {\ frac {1} {1 \ pm \ Delta \ lambda / \ lambda }} \ приблизительно {\ frac {1} {\ lambda}} \ mp {\ frac {\ Delta \ lambda} {\ lambda ^ {2}}}.}{\ frac {1} {\ lambda \ pm \ Delta \ lambda}} = {\ frac {1} {\ lambda}} \ {\ frac {1} {1 \ pm \ Delta \ lambda / \ lambda}} \ приблизительно {\ frac {1} {\ lambda}} \ mp {\ frac {\ Delta \ lambda} {\ lambda ^ {2}}}.

Здесь длина волны модуляции λ mod определяется как:

λ mod = λ 2 Δ λ. {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {mod}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ Delta \ lambda}} \.}{\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {mod}} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ Delta \ lambda}} \. }

Длина волны модуляции в два раза больше длины самой огибающей, потому что каждая Половина длины модулирующей косинусоидальной волны определяет как положительные, так и отрицательные значения модулированной синусоидальной волны. Аналогично, частота биений - это частота огибающей, в два раза превышающая частоту модулирующей волны, или 2Δf.

Если эта волна является звуковой волной, ухо слышит частоту, связанную с f, и амплитуда этого звука изменяется в зависимости от частота биений.

Фаза и групповая скорость

Красный квадрат движется с фазовой скоростью, а зеленые кружки распространяются с групповой скоростью.

Аргумент синусоиды выше, кроме множителя 2π, следующие:

ξ C = (x λ - ft), {\ displaystyle \ xi _ {C} = \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - f \ t \ right) \,}\ xi _ {C} = \ left ({\ frac {x} {\ lambda} } -f \ t \ right) \,
ξ E = (x λ mod - Δ ft), {\ displaystyle \ xi _ {E} = \ left ({\ frac {x} {\ lambda _ {\ rm {mod }}}} - \ Delta f \ t \ right) \,}{\ displaystyle \ xi _ {E} = \ left ({\ frac {x} {\ lambda _ {\ rm {mod}}) }} - \ Delta f \ t \ right) \,}

с индексами C и E, относящимися к носителю и конверту. Одна и та же амплитуда F волны является результатом одних и тех же значений ξ C и ξ E, каждое из которых может само возвращаться к одному и тому же значению при различных, но должным образом связанных выборах x и т. Эта инвариантность означает, что можно проследить эти формы волны в пространстве, чтобы найти скорость положения фиксированной амплитуды, когда оно распространяется во времени; для того, чтобы аргумент несущей волны оставался неизменным, выполняется условие:

(x λ - ft) = (x + Δ x λ - f (t + Δ t)), {\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - f \ t \ right) = \ left ({\ frac {x + \ Delta x} {\ lambda}} - f (t + \ Delta t) \ right) \,}\ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - f \ t \ right) = \ left ( {\ frac {x + \ Delta x} {\ lambda}} - f (t + \ Delta t) \ right) \,

который показывает, что для сохранения постоянной амплитуды расстояние Δx связано с интервалом времени Δt так называемой фазовой скоростью vp

vp = Δ x Δ t = λ f. {\ displaystyle v _ {\ rm {p}} = {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} = \ lambda f \.}{\ displaystyle v _ {\ rm {p}} = {\ frac {\ Delta x } {\ Delta t}} = \ lambda f \.}

С другой стороны, те же соображения показывают, что огибающая распространяется в так называемая групповая скорость vg:

vg = Δ x Δ t = λ mod Δ f = λ 2 Δ f Δ λ. {\ displaystyle v _ {\ rm {g}} = {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} = \ lambda _ {\ rm {mod}} \ Delta f = \ lambda ^ {2} {\ frac {\ Delta f} {\ Delta \ lambda}} \.}{\ displaystyle v _ {\ rm {g}} = {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} = \ lambda _ {\ rm {mod }} \ Delta f = \ lambda ^ {2} {\ frac {\ Delta f} {\ Delta \ lambda}} \.}

Более общее выражение для групповой скорости получается путем введения волнового вектора k:

k = 2 π λ. {\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \.}k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \.

Мы замечаем, что для небольших изменений Δλ величина соответствующего небольшого изменения волнового вектора, скажем Δk, составляет:

Δ k = | d k d λ | Δ λ знак равно 2 π Δ λ λ 2, {\ displaystyle \ Delta k = \ left | {\ frac {dk} {d \ lambda}} \ right | \ Delta \ lambda = 2 \ pi {\ frac {\ Delta \ lambda} {\ lambda ^ {2}}} \,}\ Delta k = \ left | {\ frac {dk} {d \ lambda}} \ right | \ Delta \ lambda = 2 \ pi {\ frac { \ Delta \ lambda} {\ lambda ^ {2}}} \,

, поэтому групповую скорость можно переписать как:

vg = 2 π Δ f Δ k = Δ ω Δ k, {\ displaystyle v _ {\ rm {g}} = {\ frac {2 \ pi \ Delta f} {\ Delta k}} = {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta k}} \,}{\ displaystyle v _ {\ rm {g}} = {\ frac {2 \ pi \ Delta f} {\ Delta k}} = {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta k}} \,}

где ω - частота в радиан / с: ω = 2πf. Во всех средах частота и волновой вектор связаны между собой дисперсионным соотношением , ω = ω (k), и групповая скорость может быть записана:

v g = d ω (k) d k. {\ displaystyle v _ {\ rm {g}} = {\ frac {d \ omega (k)} {dk}} \.}{\ displaystyle v _ {\ rm {g }} = {\ frac {d \ omega (k)} {dk}} \.}
Соотношение дисперсии ω = ω (k ) для некоторых волн соответствующие колебаниям решетки в GaAs.

В такой среде, как классический вакуум, дисперсионное соотношение для электромагнитных волн имеет вид:

ω = c 0 k {\ displaystyle \ omega = c_ {0} k }\ omega = c_ {0} k

где c 0 - скорость света в классическом вакууме. В этом случае фазовая и групповая скорости равны c 0.

В так называемых диспергирующих средах дисперсионное соотношение может быть сложной функцией волнового вектора, а фазовая и групповая скорости не то же самое. Например, для нескольких типов волн, проявляемых атомными колебаниями (фононы ) в GaAs, на рисунке показаны дисперсионные соотношения для различных направлений волнового вектора k . В общем случае фазовая и групповая скорости могут иметь разные направления.

Пример: приближение огибающей функции

Вероятности электронов в двух нижних квантовых состояниях квантовой ямы 160Ǻ GaAs в GaAs-GaAlAs гетероструктура, рассчитанная из огибающих функций.

В физике конденсированного состояния энергия собственная функция для мобильного носителя заряда в кристалле может быть выражена как блоховская волна :

ψ nk (r) = eik ⋅ runk (r), {\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \,}\ psi _ {{n {\ mathbf {k}}}} ({\ mathbf {r}}) = e ^ {{i {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}} u _ {{n {\ mathbf {k}}}} ({\ mathbf {r}}) \,

где n - индекс полосы (например, зоны проводимости или валентной зоны) r - это пространственное положение, а k - это волновой вектор. Экспонента представляет собой синусоидально изменяющуюся функцию, соответствующую медленно изменяющейся огибающей, модулирующей быстро меняющуюся часть волновой функции u n,k, описывающей поведение волновой функции вблизи ядер атомов решетки. Огибающая ограничена значениями k в пределах диапазона, ограниченного зоной Бриллюэна кристалла, и это ограничивает скорость ее изменения в зависимости от местоположения r.

при определении поведения носителей с использованием квантовой механики, обычно используется приближение огибающей, в котором уравнение Шрёдингера упрощено и относится только к поведению огибающей, а граничные условия применяются к огибающей функции непосредственно, а не к полной волновой функции. Например, волновая функция носителя, захваченного около примеси, определяется огибающей функцией F, которая управляет суперпозицией блоховских функций:

ψ (r) = ∑ k F (k) eik ⋅ ruk (r), {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ mathbf {k}} F (\ mathbf {k}) e ^ {я \ mathbf {k \ cdot r}} и _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \,}\ psi ({\ mathbf r}) = \ sum _ {{{\ mathbf k}}} F ({\ mathbf k}) e ^ {{i {\ mathbf {k \ cdot r) }}}} u _ {{{\ mathbf {k}}}} ({\ mathbf r}) \,

где компоненты Фурье огибающей F (k ) находятся из приближенного уравнения Шредингера. В некоторых приложениях периодическая часть u kзаменяется ее значением около края зоны, скажем k=k0, а затем:

ψ (r) ≈ (∑ k F (k) eik ⋅ r) uk = k 0 (r) = F (r) uk = k 0 (r). {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ приблизительно \ left (\ sum _ {\ mathbf {k}} F (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} \ right) u _ {\ mathbf {k} = \ mathbf {k} _ {0}} (\ mathbf {r}) = F (\ mathbf {r}) u _ {\ mathbf {k} = \ mathbf {k} _ { 0}} (\ mathbf {r}) \.}{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ приблизительно \ left (\ sum _ {\ mathbf {k}} F (\ mathbf {k}) e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} \ right) u _ {\ mathbf {k} = \ mathbf {k} _ {0}} (\ mathbf {r}) = F (\ mathbf {r}) и _ {\ mathbf {k} = \ mathbf {k} _ {0}} (\ mathbf {r}) \.}

Пример: дифракционные картины

Дифракционная картина двойной щели имеет огибающую с одной щелью.

На дифракционных картинах от нескольких щелей определены огибающие по дифракционной картине с одной щелью. Для одной щели шаблон задается следующим образом:

I 1 = I 0 sin 2 ⁡ (π d sin ⁡ α λ) / (π d sin ⁡ α λ) 2, {\ displaystyle I_ {1} = I_ { 0} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi d \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) / \ left ({\ frac {\ pi d \ sin \ alpha} {\ lambda }} \ right) ^ {2} \,}I_ {1} = I_ {0} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi d \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) / \ left ({\ frac {\ pi d \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) ^ {2} \,

где α - угол дифракции, d - ширина щели, а λ - длина волны. Для нескольких щелей шаблон имеет вид

I q = I 1 sin 2 ⁡ (q π g sin ⁡ α λ) / sin 2 ⁡ (π g sin ⁡ α λ), {\ displaystyle I_ {q} = I_ { 1} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {q \ pi g \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) / \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi g \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) \,}I_ {q} = I_ {1} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {q \ pi g \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) / \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi g \ sin \ alpha} {\ lambda}} \ right) \,

где q - количество щелей, а g - постоянная решетки. Первый фактор, результат для одной щели I 1, модулирует более быстро изменяющийся второй фактор, который зависит от количества щелей и их расстояния.

См. Также

Ссылки

В этой статье используется материал из статьи Citizendium «Функция огибающей », на которую распространяется лицензия под непортированной лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0, но не под GFDL.

Последняя правка сделана 2021-05-19 11:39:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте