Мера энтропийного риска

редактировать

В финансовой математике, мера энтропийного риска - это мера риска, которая зависит от неприятия риска пользователя с помощью функции экспоненциальной полезности. Это возможная альтернатива другим мерам риска, таким как значение риска или ожидаемый дефицит.

. Это теоретически интересный показатель, поскольку он обеспечивает разные значения риска для разных лиц, чье отношение к риску может отличаются. Однако на практике это будет сложно использовать, поскольку количественно оценить неприятие риска для отдельного человека сложно. Мера энтропийного риска является ярким примером выпуклой меры риска, которая не согласована. Учитывая связь с функциями полезности, ее можно использовать в задачи максимизации полезности.

Содержание

1 Математическое определение
2 Набор приемлемости
3 Динамическая мера энтропийного риска
4 См. также
5 Ссылки

Математическое определение

Мера энтропийного риска с параметром неприятия риска $θ>0 {\ displaystyle \ theta>0}$ $\theta>0$ определяется как

ρ ent (X) = 1 θ log ⁡ (E [e - θ X]) = sup Q ∈ M 1 {EQ [- X] - 1 θ H (Q | P)} {\ displaystyle \ rho ^ {\ mathrm {ent}} (X) = {\ frac {1} {\ theta}} \ log \ left (\ mathbb {E} [e ^ {- \ theta X}] \ right) = \ sup _ {Q \ in {\ mathcal {M}} _ {1}} \ left \ {E ^ {Q} [- X] - {\ frac {1} {\ theta}} H (Q | P) \ right \} \,}

\ rho ^ {{{\ mathrm {ent}}}} (X) = {\ frac {1} {\ theta}} \ log \ left ({\ mathbb {E}} [ e ^ {{- \ theta X}}] \ right) = \ sup _ {{Q \ in {\ mathcal {M}} _ {1}}} \ left \ {E ^ {Q} [- X] - {\ frac {1} {\ theta}} H (Q | P) \ right \} \,

где $H (Q | P) = E [d Q d P log ⁡ d Q d P] {\ displaystyle H (Q | P) = E \ left [{\ frac {dQ} {dP}} \ log {\ frac {dQ} {dP}} \ right]}$ $H (Q | P) = E \ left [{\ frac {dQ} {dP}} \ log {\ frac {dQ} {dP}} \ right]$ - относительная энтропия Q << P.

Набор приемлемости

Набор принятия для меры энтропийного риска - это набор выплат с положительной ожидаемой полезностью. То есть

A = {X ∈ L p (F): E [u (X)] ≥ 0} = {X ∈ L p (F): E [e - θ X] ≤ 1} {\ displaystyle A = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}}): E [u (X)] \ geq 0 \} = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F }}): E \ left [e ^ {- \ theta X} \ right] \ leq 1 \}}

A = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}}): E [u (X)] \ geq 0 \} = \ {X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}}): E \ left [e ^ {{- \ theta X}} \ right] \ leq 1 \}

где $u (X) {\ displaystyle u (X)}$ $u (X)$ - экспоненциальная функция полезности.

мера динамического энтропийного риска

мера условного риска, связанная с динамическим энтропийным риском с параметром неприятия риска $θ {\ displaystyle \ theta }$ $\ theta$ определяется как

ρ tent (X) = 1 θ log ⁡ (E [e - θ X | F t]). {\ displaystyle \ rho _ {t} ^ {\ mathrm {ent}} (X) = {\ frac {1} {\ theta}} \ log \ left (\ mathbb {E} [e ^ {- \ theta X } | {\ mathcal {F}} _ {t}] \ right).}

\ rho _ {t} ^ {{{\ mathrm {ent}}}} (X) = {\ frac {1} {\ theta}} \ log \ left ({\ mathbb {E}} [e ^ {{- \ theta X}} | {\ mathcal {F}} _ {t}] \ right).

Это согласованная во времени мера риска, если $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ постоянна во времени и может быть эффективно вычислена с помощью дифференциальных уравнений в прямом и обратном направлении.

См. Также