Экранирование электрического поля

В физике, экранирование - это затухание электрических полей вызвано наличием мобильных зарядных носителей. Это важная часть поведения несущих заряд жидкостей, таких как ионизированные газы (классическая плазма ), электролиты и носители заряда в электронных проводниках (полупроводники, металлы ). В жидкости с заданной диэлектрической проницаемостью ε, состоящей из электрически заряженных составляющих частиц, каждая пара частиц (с зарядами q 1 и q 2) взаимодействует через кулоновская сила как

$F\; =\; q\; 1\; q\; 2\; 4\; \pi \; \epsilon \; |\; г\; |\; 2\; р\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\_\; \{1\}\; q\_\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$,

где вектор r - относительное положение между зарядами. Это взаимодействие усложняет теоретическое рассмотрение жидкости. Например, наивный квантово-механический расчет плотности энергии основного состояния дает бесконечность, что неразумно. Сложность заключается в том, что даже несмотря на то, что кулоновская сила уменьшается с расстоянием как 1 / r, среднее количество частиц на каждом расстоянии r пропорционально r, если предположить, что жидкость достаточно изотропна. В результате флуктуация заряда в любой точке оказывает существенное влияние на большие расстояния.

В действительности эти эффекты дальнего действия подавляются потоком частиц в ответ на электрические поля. Этот поток снижает эффективное взаимодействие между частицами до короткодействующего «экранированного» кулоновского взаимодействия. Эта система соответствует простейшему примеру перенормированного взаимодействия (см. Разделы 1.2.1 и 3.2).

В физике твердого тела, особенно для металлов и полупроводников, эффект экранирования описывает электростатическое поле и кулоновский потенциал иона внутри твердого тела. Подобно тому, как электрическое поле ядра уменьшается внутри атома или иона из-за эффекта экранирования , электрические поля ионов в проводящих твердых телах дополнительно уменьшаются за счет облака электроны проводимости.

Содержание

• 1 Описание
• 2 Теория и модели
  • 2.1 Экранированные кулоновские взаимодействия
    • 2.1.1 Приближение Дебая – Хюккеля
    • 2.1.2 Приближение Томаса – Ферми
    • 2.1. 3 Результат: экранированный потенциал
• 3 Теория многих тел
  • 3.1 Классическая физика и линейный отклик
  • 3.2 Квантово-механический подход
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Описание

Рассмотрим жидкость, состоящую из электронов, движущихся на однородном фоне положительного заряда (однокомпонентная плазма). Каждый электрон обладает отрицательным зарядом. Согласно кулоновскому взаимодействию отрицательные заряды отталкиваются друг от друга. Следовательно, этот электрон будет отталкивать другие электроны, создавая вокруг себя небольшую область, в которой меньше электронов. Эту область можно рассматривать как положительно заряженную «экранирующую дыру». Если смотреть с большого расстояния, это экранирующее отверстие создает эффект наложенного положительного заряда, который нейтрализует электрическое поле, создаваемое электроном. Только на коротких расстояниях внутри дырочной области можно обнаружить поле электрона. Для плазмы этот эффект может быть явным с помощью вычисления $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$-body (см. Раздел 5). Если фон состоит из положительных ионов, их притяжение интересующим электроном усиливает вышеуказанный механизм экранирования. В атомной физике эффект германа существует для атомов с более чем одной электронной оболочкой: эффект экранирования. В физике плазмы экранирование электрического поля также называется экранированием Дебая или экранированием. В макроскопических масштабах она проявляется оболочкой (дебаевская оболочка ) рядом с материалом, с которым плазма контактирует.

Экранированный потенциал определяет межатомную силу и фононное соотношение дисперсии в металлах. Экранированный потенциал используется для расчета электронной зонной структуры большого разнообразия материалов, часто в сочетании с моделями псевдопотенциала. Эффект экранирования приводит к приближению независимых электронов, которое объясняет предсказательную силу вводных моделей твердых тел, таких как модель Друде, модель свободных электронов и модель почти свободных электронов.

Теория и модели

Первое теоретическое рассмотрение электростатического экранирования, созданное Питером Дебаем и Эрихом Хюккелем, имел дело с неподвижным точечным зарядом, погруженным в жидкость.

Представьте себе жидкость из электронов на фоне тяжелых положительно заряженных ионов. Для простоты мы пренебрегаем движением и пространственным распределением ионов, аппроксимируя их как однородный фоновый заряд. Это упрощение допустимо, поскольку электроны легче и подвижнее, чем ионы, при условии, что мы рассматриваем расстояния, намного превышающие расстояние между ионами. В физике конденсированного состояния эта модель упоминается как желе.

экранированные кулоновские взаимодействия

. Пусть ρ обозначает числовую плотность электронов, а φ электрический потенциал. Сначала электроны распределяются равномерно, так что в каждой точке есть нулевой общий заряд. Следовательно, изначально φ также является постоянной величиной.

Теперь мы вводим заряд Q с фиксированной точкой в ​​начале координат. Соответствующая плотность заряда равна Qδ (r), где δ (r) - это дельта-функция Дирака. После того, как система вернется в состояние равновесия, пусть изменение плотности электронов и электрического потенциала составит Δρ (r) и Δφ (r) соответственно. Плотность заряда и электрический потенциал связаны уравнением Пуассона, которое дает

$-\; \nabla \; 2\; [\Delta \; \varphi \; (r)]\; =\; 1\; \epsilon \; 0\; [Q\; \delta \; (r)\; -\; e\; \Delta \; \rho \; (r)\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; [\backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; (r)]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; [Q\; \backslash \; delta\; (r)\; -e\; \backslash \; Delta\; \backslash \; rho\; (\; r)]\}$,

где ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Чтобы продолжить, мы должны найти второе независимое уравнение, связывающее Δρ и Δφ. Мы рассматриваем два возможных приближения, в соответствии с которыми две величины пропорциональны: приближение Дебая – Хюккеля, применимое при высоких температурах (например, классическая плазма), и приближение Томаса – Ферми, применимое при низких температурах (например, электроны в металлах).

Приближение Дебая – Хюккеля

В приближении Дебая – Хюккеля мы поддерживаем систему в термодинамическом равновесии при температуре T, достаточно высокой, чтобы частицы жидкости подчинялись статистике Максвелла – Больцмана. В каждой точке пространства плотность электронов с энергией j имеет вид

$\rho \; j\; (r)\; =\; \rho \; j\; (0)\; (r)\; exp\; \; [e\; \varphi \; (r)\; k\; BT]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{j\}\; (r)\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{j\}\; ^\; \{(0)\}\; (r)\; \backslash ;\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; phi\; (r)\}\; \{k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; T\; \}\}\; \backslash \; right]\}$

где k B - постоянная Больцмана. Возмущая по φ и расширяя экспоненту до первого порядка, получаем

$e\; \Delta \; \rho \; \simeq \; \epsilon \; 0\; k\; 0\; 2\; \Delta \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; \backslash \; Delta\; \backslash \; rho\; \backslash \; simeq\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; k\_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\}$

где

$k\; 0\; =\; def\; \rho \; e\; 2\; \epsilon \; 0\; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{0\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; e\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; T\}\}\}\}$

Соответствующая длина λ D ≡ 1 / k 0 называется длиной Дебая. Длина Дебая - это фундаментальный масштаб классической плазмы.

Приближение Томаса – Ферми

В приближении Томаса – Ферми, названном в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми, система поддерживается на постоянной электрон химический потенциал (уровень Ферми ) и при низкой температуре. Первое условие соответствует в реальном эксперименте поддержанию электрического контакта металла / жидкости с фиксированной разностью потенциалов с землей. Химический потенциал μ - это, по определению, энергия добавления дополнительного электрона к жидкости. Эта энергия может быть разложена на часть кинетической энергии T и часть потенциальной энергии -eφ. Поскольку химический потенциал поддерживается постоянным,

$\Delta \; \mu \; =\; \Delta \; T\; -\; e\; \Delta \; \varphi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; Delta\; Te\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; =\; 0\}$.

Если температура очень низкая, поведение электронов близко к квантово-механической модели ферми-газа. Таким образом, мы аппроксимируем T кинетической энергией дополнительного электрона в модели ферми-газа, которая представляет собой просто энергию Ферми EF. Энергия Ферми для трехмерной системы связана с плотностью электронов (включая вырождение по спину) соотношением

$\rho \; =\; 2\; 1\; (2\; \pi )\; 3\; (4\; 3\; \pi \; k\; F\; 3),\; EF\; =\; \hslash \; 2\; k\; F\; 2\; 2\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{F\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\_\; \{F\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\},\}$

где k F - волновой вектор Ферми. Перейдя к первому порядку, мы обнаруживаем, что

$\Delta \; \rho \; \simeq \; 3\; \rho \; 2\; EF\; \Delta \; EF\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; rho\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; rho\}\; \{2E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{F\}\}\}\}\; \backslash \; Delta\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{F\}\}\}$.

Вставив это в приведенное выше уравнение для Δμ, получим

$e\; \Delta \; \rho \; \simeq \; \epsilon \; 0\; k\; 0\; 2\; \Delta \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; \backslash \; Delta\; \backslash \; rho\; \backslash \; simeq\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\; \}\; k\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\}$

где

$k\; 0\; =\; def\; 3\; e\; 2\; \rho \; 2\; \epsilon \; 0\; EF\; =\; me\; 2\; k\; F\; \epsilon \; 0\; \pi \; 2\; \hslash \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{0\; \}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\}\; \{2\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{F\}\}\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{me\; ^\; \{2\}\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{F\}\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

- это называется волновым вектором экранирования Томаса – Ферми.

Этот результат следует из уравнений ферми-газа, который представляет собой модель невзаимодействующих электронов, тогда как жидкость, которую мы изучаем, содержит кулоновское взаимодействие. Следовательно, приближение Томаса – Ферми применимо только при низкой плотности электронов, так что взаимодействия частиц относительно слабые.

Результат: экранированный потенциал

Наши результаты приближения Дебая – Хюккеля или Томаса – Ферми теперь могут быть включены в уравнение Пуассона. Результат:

$[\nabla \; 2\; -\; k\; 0\; 2]\; \varphi \; (r)\; =\; -\; Q\; \epsilon \; 0\; \delta \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; -k\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; ]\; \backslash \; phi\; (r)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Q\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; delta\; (r)\}$,

, которое известно как экранированное уравнение Пуассона. Решение:

$\varphi \; (r)\; =\; Q\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; re\; -\; k\; 0\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Q\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; r\}\}\; e\; ^\; \{-\; k\_\; \{0\}\; r\}\}$,

, который называется экранированным кулоновским потенциалом. Это кулоновский потенциал, умноженный на экспоненциальный демпфирующий член, при этом сила демпфирующего фактора определяется величиной k 0, волнового вектора Дебая или Томаса – Ферми. Обратите внимание, что этот потенциал имеет ту же форму, что и потенциал Юкавы. Это экранирование дает диэлектрическую проницаемость $\epsilon \; (r)\; =\; \epsilon \; 0\; ek\; 0\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (r)\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; e\; ^\; \{k\_\; \{0\}\; r\}\}.$.

Теория многих тел

Классическая физика и линейный отклик

Механический подход $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$вместе обеспечивает вывод скрининга эффект и затухание Ландау. Он имеет дело с единственной реализацией однокомпонентной плазмы, электроны которой имеют дисперсию скоростей (для тепловой плазмы должно быть много частиц в сфере Дебая, объем, радиус которого равен длине Дебая). При использовании линеаризованного движения электронов в их собственном электрическом поле получается уравнение типа

$E\; \Phi \; =\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; Phi\; =\; S\}$,

где $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$- линейный оператор, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- исходный член, связанный с частицами, и $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$- преобразование Фурье-Лапласа электростатического потенциала. При подстановке интеграла над гладкой функцией распределения для дискретной суммы по частицам в $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$, получаем

$ϵ\; (k,\; \omega )\; \Phi \; (К,\; \omega )\; знак\; равно\; S\; (К,\; \omega )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (\backslash \; mathbf\; \{k\},\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{k\},\; \backslash \; omega)\; =\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{k\},\; \backslash \; omega)\}$,

где $ϵ\; (k,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (\backslash \; mathbf\; \{k\},\; \backslash \; omega)\}$- диэлектрическая проницаемость плазмы, или диэлектрическая функция, классически полученный линеаризованным уравнением Власова-Пуассона (раздел 6.4), $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$- волновой вектор, $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- частота, а $S\; (k,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{k\},\; \backslash \; omega)\}$- сумма $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$исходные термины из-за частиц (уравнение (20)).

С помощью обратного преобразования Фурье-Лапласа потенциал каждой частицы складывается из двух частей (раздел 4.1). Один соответствует возбуждению частицей ленгмюровских волн, а другой - ее экранированному потенциалу, который обычно получается линеаризованным вычислением Власова с участием пробной частицы (раздел 9.2). Экранированный потенциал представляет собой указанный выше экранированный кулоновский потенциал для тепловой плазмы и тепловой частицы. Для более быстрой частицы потенциал изменяется (раздел 9.2). Подставляя интеграл по гладкой функции распределения для дискретной суммы по частицам в $S\; (k,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{k\},\; \backslash \; omega)\}$, получаем формулу Власова выражение, позволяющее рассчитать затухание Ландау (раздел 6.4).

Квантово-механический подход

В реальных металлах эффект экранирования более сложен, чем описанный выше в теории Томаса – Ферми. Предположение, что носители заряда (электроны) могут реагировать на любой волновой вектор, является всего лишь приближением. Однако энергетически невозможно для электрона внутри или на поверхности Ферми реагировать на волновые векторы короче волнового вектора Ферми. Это ограничение связано с явлением Гиббса, где ряды Фурье для функций, которые быстро изменяются в пространстве, не являются хорошими приближениями, если не сохраняется очень большое количество членов в ряду. В физике это явление известно как колебания Фриделя и применяется как к поверхностному, так и к объемному экранированию. В каждом случае чистое электрическое поле не спадает экспоненциально в пространстве, а скорее как обратный степенной закон, умноженный на колебательный член. Теоретические расчеты могут быть получены из квантовой гидродинамики и теории функционала плотности (DFT).

Ссылки

Внешние ссылки

• Фитцпатрик, Ричард (31 марта 2011 г.). "Дебай Шилдинг". Техасский университет в Остине. Проверено 12 июля 2018 г.