Упругая энергия

Упругая энергия - это механическая потенциальная энергия, хранящаяся в конфигурации материала или физической системы в виде он подвергается упругой деформации в результате работы, выполняемой над ним. Упругая энергия возникает, когда объекты непостоянно сжимаются, растягиваются или обычно деформируются каким-либо образом. Теория упругости в первую очередь разрабатывает формализмы для механики твердых тел и материалов. (Обратите внимание, однако, что работа, выполняемая растянутой резинкой, не является примером упругой энергии. Это пример энтропийной упругости.) Уравнение упругой потенциальной энергии используется в расчетах положений механическое равновесие. Энергия является потенциальной, поскольку она будет преобразована в другие формы энергии, такие как кинетическая энергия и звуковая энергия, когда объекту позволено вернуться к своей исходной форме (преобразование) путем его эластичность.

$U\; =\; 1\; 2\; k\; \Delta \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; k\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

Суть эластичность - обратимость. Силы, приложенные к упругому материалу, передают энергию материалу, который, передав эту энергию своему окружению, может восстановить свою первоначальную форму. Однако у всех материалов есть пределы степени деформации, которую они могут выдерживать, не разрушая или необратимо изменяя свою внутреннюю структуру. Следовательно, характеристики твердых материалов включают определение, обычно с точки зрения деформации, пределов упругости. За пределами упругости материал больше не накапливает всю энергию от выполняемой над ним механической работы в виде упругой энергии.

Упругая энергия вещества или внутри вещества - это статическая энергия конфигурации. Это соответствует энергии, запасенной в основном за счет изменения межатомных расстояний между ядрами. Тепловая энергия - это случайное распределение кинетической энергии в материале, приводящее к статистическим колебаниям материала относительно равновесной конфигурации. Однако есть некоторое взаимодействие. Например, для некоторых твердых объектов скручивание, изгиб и другие искажения могут генерировать тепловую энергию, вызывая повышение температуры материала. Тепловая энергия в твердых телах часто переносится внутренними упругими волнами, называемыми фононами. Упругие волны, которые велики в масштабе изолированного объекта, обычно вызывают макроскопические колебания, в которых недостаточно хаотизации, так что их колебания представляют собой просто повторяющийся обмен между (упругой) потенциальной энергией внутри объекта и кинетической энергией движения объекта в целом.

Хотя эластичность чаще всего ассоциируется с механикой твердых тел или материалов, даже ранняя литература по классической термодинамике определяет и использует «эластичность жидкости» способами, совместимыми с широким определением, приведенным во введении выше.

Твердые вещества включают сложные кристаллические материалы с иногда сложным поведением. Напротив, поведение сжимаемых жидкостей, и особенно газов, демонстрирует сущность упругой энергии с незначительным усложнением. Простая термодинамическая формула: $d\; U\; =\; -\; P\; d\; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; dU\; =\; -P\; \backslash ,\; dV\; \backslash ,\}$где dU - бесконечно малое изменение извлекаемой внутренней энергии U, P - равномерное давление (сила на единицу площади), приложенное к исследуемому образцу материала, а dV - бесконечно малое изменение объема, которое соответствует изменению внутренней энергии. Знак минус появляется потому, что dV отрицательно при сжатии положительным приложенным давлением, которое также увеличивает внутреннюю энергию. При реверсировании работа, совершаемая системой, является отрицательной величиной изменения ее внутренней энергии, соответствующей положительному значению dV увеличивающегося объема. Другими словами, система теряет накопленную внутреннюю энергию при работе с окружающей средой. Давление - это напряжение, а изменение объема соответствует изменению относительного расстояния между точками внутри материала. Связь между напряжением, деформацией и внутренней энергией приведенной выше формулы повторяется в формулировках для упругой энергии твердых материалов со сложной кристаллической структурой.

Содержание

• 1 Упругая потенциальная энергия в механических системах
• 2 Континуальные системы
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Источники

Упругая потенциальная энергия в механических системах

Компоненты механических систем сохраняют потенциальную энергию упругости, если они деформируются под действием силы, действующей на систему. Энергия передается объекту посредством работы, когда внешняя сила смещает или деформирует объект. Количество переданной энергии - это вектор скалярного произведения силы и смещения объекта. Когда к системе прилагаются силы, они распределяются внутри по ее составным частям. В то время как некоторая часть переданной энергии может в конечном итоге сохраняться в виде кинетической энергии приобретенной скорости, деформация составляющих объектов приводит к накоплению упругой энергии.

Прототипом упругого компонента является спиральная пружина. Линейная упругость пружины параметризуется с помощью коэффициента пропорциональности, называемого жесткостью пружины. Эта постоянная обычно обозначается как k (см. Также Закон Гука ) и зависит от геометрии, площади поперечного сечения, длины недеформированной конструкции и природы материала, из которого изготовлена ​​катушка. В определенном диапазоне деформации k остается постоянным и определяется как отрицательное отношение смещения к величине возвращающей силы, создаваемой пружиной при этом смещении.

$k\; =\; -\; F\; r\; L\; -\; L\; o\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{F\_\; \{r\}\}\; \{L-L\_\; \{o\}\}\}\}$

Деформированная длина L может быть больше или меньше, чем L o, недеформированная длина, поэтому, чтобы сохранить k положительным, F r должен быть задан как компонент вектора возвращающей силы, знак которой отрицательный для L>L o и положительный для L < Lo. Если смещение сокращено как

$(L\; -\; L\; o)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (L-L\_\; \{o\})\; =\; x\; \backslash ,\}$

, то закон Гука можно записать в обычной форме

$F\; r\; =\; -\; kx\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{r\}\; =\; \backslash ,\; -\; k\; \backslash ,\; x\}$.

Энергия, поглощенная и удерживаемая в пружине, может быть получена с использованием закона Гука для вычисления возвращающей силы как меры приложенной силы. Для этого требуется предположение, достаточно правильное в большинстве случаев, что в данный момент величина приложенной силы F a равна величине результирующей возвращающей силы, но ее направление и, следовательно, знак отличаются.. Другими словами, предположим, что в каждой точке смещения F a = kx, где F a - составляющая приложенной силы вдоль направления x

$F\; a\; \to \; \cdot \; x\; \to \; =\; F\; акс.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{F\_\; \{a\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; F\_\; \{a\}\; \backslash ,\; x.\}$

Для каждого бесконечно малого смещения dx приложенная сила просто kx и произведение из них - бесконечно малая передача энергии пружине dU. Таким образом, полная упругая энергия, передаваемая в пружину от нулевого смещения до конечной длины L, является интегралом

$U\; =\; \int \; 0\; L\; -\; L\; okxdx\; =\; 1\; 2\; k\; (L\; -\; L\; o)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{L-L\_\; \{o\}\}\; \{k\; \backslash \; x\; \backslash \; dx\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; k\; (L-L\_\; \{o\})\; ^\; \{2\}\}$

Для материала Модуль Юнга, Y (такой же, как модуль упругости λ), площадь поперечного сечения, A 0, начальная длина, l 0, которая растянута на длину, $\Delta \; l\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; l\}$:

$U\; е\; =\; \int \; YA\; 0\; \Delta \; ll\; 0\; d\; (\Delta \; l)\; =\; YA\; 0\; \Delta \; l\; 2\; 2\; l\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{e\}\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{YA\_\; \{0\; \}\; \backslash \; Delta\; l\}\; \{l\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; l\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{YA\_\; \{0\}\; \{\backslash \; Delta\; l\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2l\_\; \{0\}\}\}\; \}$

где Ue- упругая потенциальная энергия.

Упругая потенциальная энергия на единицу объема определяется как:

$U\; e\; A\; 0\; l\; 0\; =\; Y\; \Delta \; l\; 2\; 2\; l\; 0\; 2\; =\; 1\; 2\; Y\; \epsilon \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{U\_\; \{e\}\}\; \{A\_\; \{0\}\; l\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; \{\backslash \; Delta\; l\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2l\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Y\; \{\backslash \; varepsilon\}\; ^\; \{2\}\}$

где $\epsilon \; =\; \Delta \; ll\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; l\}\; \{\; l\_\; \{0\}\}\}\}$- ул. дождь в материале.

В общем случае упругая энергия определяется величиной свободной энергии, приходящейся на единицу объема f, как функции компонентов тензора деформации ε ij

$f\; (\epsilon \; ij)\; =\; 1\; 2\; \lambda \; \epsilon \; ii\; 2\; +\; \mu \; \epsilon \; ij\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ii\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{2\}\}$

где λ и μ - коэффициенты упругости Ламе, и мы используем соглашение о суммировании Эйнштейна. Принимая во внимание термодинамическую связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций,

$\sigma \; ij\; =\; (\partial \; f\; \partial \; \epsilon \; ij)\; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\; \backslash \; partial\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\},\}$

где нижний индекс T означает, что температура поддерживается постоянной, тогда мы находим, что если закон Гука верен, мы можем записать плотность упругой энергии как

$f\; =\; 1\; 2\; \epsilon \; ij\; \sigma \; ij.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ij\}.\}$

Системы континуума

Сыпучий материал можно искажать разными способами : растяжение, разрез, изгиб, скручивание и т. д. Каждый вид деформации вносит свой вклад в упругую энергию деформируемого материала. Таким образом, в ортогональных координатах упругая энергия, приходящаяся на единицу объема из-за деформации, представляет собой сумму вкладов:

$U\; =\; 1\; 2\; C\; ijkl\; \epsilon \; ij\; \epsilon \; kl\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; C\_\; \{ijkl\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{kl\}\}$,

где $C\; ijkl\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ijkl\}\}$четвертый тензор ранга, называемый тензором упругости или иногда жесткости, который является обобщением модулей упругости механических систем, и $\epsilon \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\}$равен тензор деформации (обозначение суммирования Эйнштейна использовалось для обозначения суммирования по повторяющимся индексам). Значения $C\; ijkl\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ijkl\}\}$зависят от кристаллической структуры материала: в общем случае из-за симметричной природы $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$и $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$, тензор упругости состоит из 21 независимого коэффициента упругости. Это число можно дополнительно уменьшить за счет симметрии материала: 9 для ромбического кристалла , 5 для гексагональной структуры и 3 для кубической симметрии. Наконец, для изотропного материала существует только два независимых параметра, причем $C\; ijkl\; =\; \lambda \; \delta \; ij\; \delta \; kl\; +\; \mu \; (\delta \; ik\; \delta \; jl\; +\; \delta \; il\; \delta \; jk)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{\; ijkl\}\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kl\}\; +\; \backslash \; mu\; (\backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{jk\})\}$, где $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- константы Ламе, и $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$- дельта Кронекера.

Сам тензор деформации может быть определен так, чтобы отражать искажение любым способом, что приводит к инвариантности при полное вращение, но наиболее распространенное определение, в котором обычно выражаются тензоры упругости, определяет деформацию как симметричную часть градиента смещения с подавлением всех нелинейных членов:

$\epsilon \; ij\; =\; 1\; 2\; (\partial \; iuj\; +\; \partial \; jui)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; u\_\; \{j\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; u\_\; \{i\})\}$

где $ui\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\}$- это дисплей в точке $ith\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{th\}\}$и $\partial \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\}$частная производная по направлению $jth\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{th\}\}$. Обратите внимание:

$\epsilon \; j\; j\; =\; \partial \; j\; u\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{jj\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; u\_\; \{j\}\}$

, где суммирование не предполагается. Хотя полные обозначения Эйнштейна суммируют по повышенным и пониженным парам индексов, значения компонент тензора упругости и деформации обычно выражаются со всеми пониженными индексами. Таким образом, будьте осторожны (как здесь), что в некоторых контекстах повторяющийся индекс не подразумевает суммарные завышения значений этого индекса ($j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$в данном случае), а всего лишь один компонент тензор.

См. Также

• Заводной механизм
• Эластичность резины

Ссылки

Источники

1. ^Эшелби, Д.Д. (ноябрь 1975 г.). «Тензор упругой энергии-импульса». Журнал эластичности. 5 (3–4): 321–335. doi :10.1007/BF00126994.