Эластичность (физика)

редактировать

Физические свойства, когда материалы или объекты возвращаются к исходной форме после деформации

В физике и материаловедение, эластичность - это способность тела противостоять искажающим воздействиям и возвращаться к своим первоначальным размерам и форме при этом воздействии или силе удален. Твердые объекты будут деформироваться, когда к ним приложены соответствующие нагрузки ; если материал эластичный, объект вернется к своей первоначальной форме и размеру после удаления. Это контрастирует с пластичностью, при которой объект не может этого сделать и вместо этого остается в деформированном состоянии.

Физические причины упругого поведения могут быть совершенно разными для разных материалов. В металлах атомная решетка меняет размер и форму при приложении сил (в систему добавляется энергия). Когда силы снимаются, решетка возвращается в исходное более низкое энергетическое состояние. Для каучуков и других полимеров эластичность вызвана растяжением полимерных цепей при приложении сил.

Закон Гука гласит, что сила, необходимая для деформации упругих объектов, должна быть прямо пропорциональна расстоянию деформации, независимо от того, насколько большим становится это расстояние. Это известно как идеальная эластичность, при которой данный объект возвращается к своей исходной форме независимо от того, насколько сильно он деформирован. Это только идеальная концепция ; большинство материалов, которые на практике обладают эластичностью, остаются чисто эластичными только до очень малых деформаций, после которых происходит пластическая (остаточная) деформация.

В инженерии эластичность материала количественно выражается модулем упругости, таким как модуль Юнга, объемный модуль или модуль сдвига, который измеряет величину напряжения, необходимую для достижения единицы деформации ; более высокий модуль указывает на то, что материал труднее деформировать. единица СИ этого модуля - это паскаль (Па). Предел упругости материала или предел текучести - это максимальное напряжение, которое может возникнуть до начала пластической деформации. Его единица СИ - также паскаль (Па).

Содержание

1 Обзор
2 Линейная эластичность
3 Конечная эластичность
- 3.1 Эластичные материалы Коши
- 3.2 Гипоэластичные материалы
- 3.3 Гиперупругие материалы
4 Области применения
5 факторов влияние на эластичность
6 См. также
7 Ссылки

Обзор

Когда эластичный материал деформируется под действием внешней силы, он испытывает внутреннее сопротивление деформации и восстанавливает его в исходное состояние, если внешняя сила больше не применяется. Существуют различные модули упругости, такие как модуль Юнга, модуль упругости и модуль объемной упругости, все из которых являются мерой присущие материалу упругие свойства, такие как сопротивление деформации под действием приложенной нагрузки. Различные модули применимы к разным видам деформации. Например, модуль Юнга применяется к растяжению / сжатию тела, тогда как модуль сдвига применяется к его сдвигу. Модуль Юнга и модуль сдвига относятся только к твердым телам, тогда как объемный модуль предназначен для твердых тел, жидкостей и газов.

Эластичность материалов описывается кривой напряжение-деформация, которая показывает соотношение между напряжением (среднее внутреннее восстанавливающее усилие на единицы площади) и деформация (относительная деформация). Кривая обычно нелинейная, но ее можно (с помощью ряда Тейлора ) аппроксимировать как линейную для достаточно малых деформаций (в которых члены более высокого порядка пренебрежимо малы). Если материал изотропный, линеаризованная зависимость напряжения от деформации называется законом Гука, который часто считается применимым до предела упругости для большинства металлов или кристаллических материалов, тогда как нелинейная упругость обычно требуется для моделирования больших деформаций резиноподобных материалов даже в диапазоне упругости. При еще более высоких напряжениях материалы проявляют пластическое поведение, то есть они необратимо деформируются и не возвращаются к своей исходной форме после того, как напряжение больше не прикладывается. Для резиноподобных материалов, таких как эластомеры, наклон кривой напряжение-деформация увеличивается с увеличением напряжения, что означает, что каучуки становятся все труднее растягиваться, в то время как для большинства металлов градиент уменьшается при очень высоких напряжениях, это означает, что их постепенно становится легче растягивать. Эластичность проявляют не только твердые тела; неньютоновские жидкости, такие как вязкоупругие жидкости, также будут проявлять эластичность в определенных условиях, количественно определяемую числом Дебора. В ответ на небольшую, быстро прикладываемую и снимаемую деформацию эти жидкости могут деформироваться, а затем вернуться к своей первоначальной форме. При больших деформациях или деформациях, применяемых в течение более длительных периодов времени, эти жидкости могут начать течь как вязкая жидкость.

Поскольку эластичность материала описывается в терминах зависимости «напряжение – деформация», важно, чтобы термины «напряжение» и «деформация» определялись без двусмысленности. Обычно рассматриваются два типа отношений. Первый тип касается материалов, эластичных только при малых деформациях. Второй касается материалов, которые не ограничиваются небольшими деформациями. Ясно, что второй тип отношений является более общим в том смысле, что он должен включать первый тип как частный случай.

Для малых деформаций в качестве меры напряжения используется напряжение Коши, а в качестве меры деформации используется тензор бесконечно малых деформаций ; результирующее (прогнозируемое) поведение материала называется линейной упругостью, что (для изотропных сред) называется обобщенным законом Гука. Эластичные материалы Коши и гипоупругие материалы - это модели, которые расширяют закон Гука, чтобы учесть возможность больших вращений, больших искажений и внутренней или индуцированной анизотропии.

Для более общих В таких ситуациях можно использовать любую из нескольких мер напряжения, и обычно желательно (но не обязательно), чтобы отношение упругого напряжения к деформации было сформулировано в терминах меры конечной деформации то есть для выбранной меры напряжения, т. е. интеграл по времени внутреннего произведения меры напряжения на скорость меры деформации должен быть равен изменению внутренней энергии для любого адиабатического процесса, который остается ниже предел упругости.

Линейная упругость

Как отмечалось выше, при небольших деформациях большинство эластичных материалов, таких как пружины, проявляют линейную упругость и могут быть описаны линейной зависимостью между напряжением и деформацией.. Эта связь известна как закон Гука. Геометрическая версия этой идеи была впервые сформулирована Робертом Гуком в 1675 году как латинская анаграмма, «ceiiinosssttuv». Он опубликовал ответ в 1678 году: «Ut tensio, sic vis», означающий «Как расширение, так и сила», линейная зависимость, обычно называемая законом Гука. Этот закон можно сформулировать как взаимосвязь между растягивающей силой F и соответствующим растяжением смещением x,

F = kx, {\ displaystyle F = kx,}

{\ displaystyle F = kx,}

где k - постоянная, известная как коэффициент пружины. Его также можно сформулировать как связь между напряжением σ и деформацией $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ :

σ = E ε, {\ displaystyle \ sigma = E \ varepsilon,}

\ sigma = E \ varepsilon,

где E известен как модуль упругости или модуль Юнга.

Хотя общая константа пропорциональности между напряжением и деформацией в трех измерениях - это 4-го порядка тензор, называемый жесткостью, системы, которые демонстрируют симметрию, такие как одномерный стержень, часто могут быть сведены к применению закона Гука.

Конечная упругость

Упругое поведение объектов, которые подвергаются конечным деформациям, было описано с помощью ряда моделей, таких как упругий материал Коши, модели, Гипоупругий материал модели и гиперупругие материалы модели. градиент деформации (F) - это основная мера деформации, используемая в теории конечных деформаций.

упругих материалов Коши

Материал называется эластичным по Коши, если Коши тензор напряжений σявляется функцией только градиента деформации F:

σ = G (F) {\ displaystyle \ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {G}} ( {\ boldsymbol {F}})}

\ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}})

Как правило, неверно утверждать, что напряжение Коши является функцией просто тензора деформации, поскольку в такой модели отсутствует важная информация о вращении материала, необходимая для получения правильного результаты для анизотропной среды, подвергнутой вертикальному растяжению по сравнению с таким же растяжением, приложенным горизонтально, а затем подвергнутым повороту на 90 градусов; обе эти деформации имеют одинаковые тензоры пространственной деформации, но должны давать разные значения тензора напряжений Коши.

Даже если напряжение в эластичном по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, выполняемая напряжениями, может зависеть от траектории деформации. Следовательно, эластичность Коши включает в себя неконсервативные «негиперупругие» модели (в которых работа деформации зависит от траектории), а также консервативные модели «гиперупругого материала » (для которых напряжение может быть получено из скалярного значения) функция упругого потенциала).

Гипоэластичные материалы

Гипоэластичный материал можно строго определить как материал, моделируемый с использованием основного уравнения, удовлетворяющий следующим двум критериям:

1. Напряжение Коши $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ boldsymbol {\ sigma}}$ в момент $t {\ displaystyle t}$ $t$ зависит только от порядка, в котором тело заняло свои прошлые конфигурации, но не в той скорости, с которой проходились эти прошлые конфигурации. В качестве особого случая этот критерий включает эластичный материал Коши, для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций.

2. Существует тензорнозначная функция $G {\ displaystyle G}$ $G$ такая, что $σ ˙ = G (σ, L), {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma} }} = G ({\ boldsymbol {\ sigma}}, {\ boldsymbol {L}}) \,,}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = G ({\ boldsymbol {\ sigma}}, {\ boldsymbol {L}}) \,,}$ , в котором $σ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}}}$ ${\ dot {{\ boldsymbol {\ sigma}}}}$ - материальная скорость тензора напряжений Коши, а $L {\ displaystyle {\ boldsymbol {L}}}$ ${\ boldsymbol {L}}$ - пространственная скорость тензор градиента.

Если для определения гипоупругости используются только эти два исходных критерия, тогда гиперупругость будет включена как особый случай, что побуждает некоторых разработчиков конститутивного моделирования добавить третий критерий, который конкретно требует гипоупругой модели. чтобы не быть гиперупругой (т. е. гипоупругость подразумевает, что напряжение не выводится из энергетического потенциала). Если этот третий критерий принят, то из этого следует, что гипоупругий материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются одним и тем же градиентом деформации, но не начинаются и заканчиваются при одной и той же внутренней энергии.

Обратите внимание, что второй критерий требует только существования функции $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Как подробно описано в основной статье Гипоэластичный материал, в конкретных формулировках гипоупругих моделей обычно используются так называемые объективные коэффициенты, так что функция $G {\ displaystyle G}$ $G$ существует только неявно и обычно требуется явно только для численных обновлений напряжения, выполняемых посредством прямого интегрирования фактической (не объективной) скорости напряжения.

Гиперупругие материалы

Гиперупругие материалы (также называемые «зеленые эластичные материалы») - это консервативные модели, которые выводятся из функции плотности энергии деформации (W). Модель является гиперупругой тогда и только тогда, когда можно выразить тензор напряжений Коши как функцию градиента деформации через соотношение вида

σ = 1 J ∂ W ∂ FFT, где J: = det F. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ cfrac {1} {J}} ~ {\ cfrac {\ partial W} {\ partial {\ boldsymbol {F}}}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ quad {\ text {where}} \ quad J: = \ det {\ boldsymbol {F}} \,.}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ cfrac {1} {J}} ~ {\ cfrac {\ partial W} {\ partial {\ boldsymbol {F}}}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ quad {\ текст {где}} \ quad J: = \ det {\ boldsymbol {F}} \,.}

В этой формулировке энергетический потенциал (W) рассматривается как функция градиент деформации ( $F {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$ ${\ boldsymbol {F}}$ ). Также требуя удовлетворения материальной объективности, энергетический потенциал может альтернативно рассматриваться как функция тензора деформации Коши-Грина ( $C: = FTF {\ displaystyle {\ boldsymbol {C}}: = {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {F}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol { C}}: = {\ boldsymbol {F}} ^ {T} {\ boldsymbol {F}}}$ ), и в этом случае гиперупругую модель можно записать как

σ = 2 JF ∂ W ∂ CFT, где J: = det F. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ cfrac {2} {J}} ~ {\ boldsymbol {F}} {\ cfrac {\ partial W} {\ partial {\ boldsymbol {C}}}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ quad {\ text {where}} \ quad J: = \ det {\ boldsymbol {F}} \,.}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ cfra c {2} {J}} ~ {\ boldsymbol {F}} {\ cfrac {\ partial W} {\ partial {\ boldsymbol {C}}}} {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ quad { \ text {where}} \ quad J: = \ det {\ boldsymbol {F}} \,.}

Приложения

Линейная эластичность широко используется при проектировании и анализе таких конструкций, как балки, пластины и оболочки и многослойные композиты. Эта теория также лежит в основе большей части механики разрушения.

Гиперэластичность в первую очередь используется для определения реакции объектов на основе эластомера, таких как прокладки и биологических материалов, таких как как мягкие ткани и клеточные мембраны.

Факторы, влияющие на эластичность

Для изотропных материалов наличие трещин влияет на Юнга и модули сдвига перпендикулярно плоскости трещин, которые уменьшаются (модуль Юнга быстрее, чем модуль сдвига) по мере увеличения плотности трещин, что указывает на то, что наличие трещин делает тела более хрупкими. Микроскопически зависимость материалов от напряжения и деформации в целом определяется свободной энергией Гельмгольца, термодинамической величиной. Молекулы устанавливаются в конфигурации, которая сводит к минимуму свободную энергию, с учетом ограничений, вытекающих из их структуры, и, в зависимости от того, является ли энергия или член энтропия доминирует над свободной энергией, материалы могут в широком смысле можно разделить на энергоупругие и энтропийно-эластичные. Таким образом, микроскопические факторы, влияющие на свободную энергию, такие как равновесное расстояние между молекулами, могут влиять на эластичность материалов: например, в неорганических материалах, как равновесное расстояние между молекулами. при 0 K увеличивается, модуль объемной упругости уменьшается. Влияние температуры на эластичность трудно отделить, поскольку на нее влияет множество факторов. Например, объемный модуль материала зависит от формы его решетки, его поведения при расширении, а также от колебаний молекул, все они зависят от температуры.