Парадокс Эренфеста

редактировать

Парадокс Эренфеста касается вращения «жесткого» диска в теории относительности.

В своей первоначальной формулировке, представленной Полем Эренфестом 1909 в связи с концепцией жесткости Борна в рамках специальной теории относительности, обсуждается идеально жесткий цилиндр, который заставлен вращаться вокруг своей оси симметрии. Радиус R, видимый в лабораторной системе координат, всегда перпендикулярен его движению и, следовательно, должен быть равен его значению R 0 в неподвижном состоянии. Однако окружность (2πR) должна выглядеть суженной по Лоренцу до меньшего значения, чем в состоянии покоя, на обычный коэффициент γ. Это приводит к противоречию, что R = R 0 и R < R0.

Парадокс был дополнительно углублен Альбертом Эйнштейном, который показал, что, поскольку измерительные стержни выровнены вдоль периферии и при движении вместе с ним должно казаться сжатым, больше будет помещаться по окружности, что, таким образом, будет иметь размер больше 2πR. Это указывает на то, что геометрия неевклидова для вращающихся наблюдателей и была важна для разработки Эйнштейном общей теории относительности.

Любой твердый объект, сделанный из реальных материалов, который вращается с поперечной скоростью, близкой к скорость звука в материале должна превышать точку разрыва из-за центробежной силы, потому что центробежное давление не может превышать модуль сдвига материала.

FS = mv 2 r S < m c s 2 r S ≈ m G r S ρ ≈ G {\displaystyle {\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}}<{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G}{\ frac {F} {S}} = {\ frac {mv ^ {2}} {rS}} <{\ frac {mc_ {s} ^ {2}} {rS}} \ приблизительно {\ frac {mG} {rS \ rho}} \ приблизительно G

, где cs {\ displaystyle c_ {s}}c_ {s} - скорость звука, ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho - плотность, а G {\ displaystyle G}G - модуль сдвига. Следовательно, если рассматривать скорости, близкие к скорости света, это всего лишь мысленный эксперимент. Нейтронно-вырожденное вещество допускает скорости, близкие к скорости света, потому что, например, скорость колебаний нейтронной звезды релятивистская; Однако; эти тела нельзя строго назвать жесткими (согласно жесткости Борна ).

Содержание

  • 1 Суть парадокса
  • 2 Аргумент Эренфеста
  • 3 Эйнштейн и общая теория относительности
  • 4 Краткая история
  • 5 Разрешение парадокса
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
    • 7.1 Цитаты
  • 8 Процитированные работы
    • 8.1 Несколько статей, представляющих исторический интерес
    • 8.2 Несколько классических «современных» ссылок
    • 8.3 Некоторые экспериментальные работы и последующее обсуждение
    • 8.4 Избранные недавние источники
  • 9 Внешние ссылки

Суть парадокса

Представьте себе диск радиуса R, вращающийся с постоянной угловой скоростью ω {\ displaystyle \ omega}\ omega .

Парадокс Эренфеста - окружность вращающегося диск должен сжиматься, но не радиус, так как радиус перпендикулярен направлению движения.

Система отсчета закреплена в неподвижном центре диска. Тогда величина относительной скорости любой точки на окружности диска равна ω R {\ displaystyle \ omega R}\ omega R . Таким образом, окружность подвергнется сжатию Лоренца в раз: 1 - (ω R) 2 / c 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}}{\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}} .

Однако, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения, он не будет претерпевать никакого сжатия. Итак,

c i r c u m f e r e n c e d i a m e t e r = 2 π R 1 - (ω R) 2 / c 2 2 R = π 1 - (ω R) 2 / c 2. {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {окружность}} {\ mathrm {диаметр}}} = {\ frac {2 \ pi R {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2 }}}} {2R}} = \ pi {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {окружность}} {\ mathrm {диаметр}}} = {\ frac {2 \ pi R {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}} {2R}} = \ pi {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}.}

Это парадоксально, поскольку в соответствии с Евклидова геометрия, она должна быть точно равна π.

Аргумент Эренфеста

Эренфест считал идеальным жестким по Борну цилиндр, который приводится во вращение. Если предположить, что цилиндр не расширяется и не сжимается, его радиус остается прежним. Но измерительные стержни, расположенные по окружности 2 π R {\ displaystyle 2 \ pi R}2 \ pi R , должны быть лоренцевы сужены до меньшего значения, чем в состоянии покоя, на обычный коэффициент γ. Это приводит к парадоксу: жесткие измерительные стержни должны отделяться друг от друга из-за лоренцевского сжатия; Несоответствие, отмеченное Эренфестом, кажется, предполагает, что повернутый жесткий диск Борна должен разрушиться.

Таким образом, Эренфест утверждал с помощью reductio ad absurdum, что жесткость Борна в целом несовместима со специальной теорией относительности. Согласно специальной теории относительности, объект не может быть раскручен из невращающегося состояния при сохранении борновской жесткости, но как только он достигает постоянной ненулевой угловой скорости, он сохраняет борновскую жесткость без нарушения специальной теории относительности, а затем (как позже показал Эйнштейн) Наблюдатель на диске измеряет длину окружности: C ′ = 2 π R 1 - v 2 / c 2. {\ displaystyle C ^ {\ prime} = {\ frac {2 \ pi R} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}{\ displaystyle C ^ {\ prime} = {\ frac {2 \ pi R } {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}

Эйнштейн и общая теория относительности

Вращающийся диск и его связь с жесткостью также были важным мысленным экспериментом для Альберта Эйнштейна при разработке общей теории относительности. Он упоминал об этом в нескольких публикациях в 1912, 1916, 1917, 1922 годах и сделал вывод о том, что геометрия диска становится неевклидовой для наблюдателя, вращающегося в одном направлении. Эйнштейн писал (1922):

66ff: Представьте себе окружность, начерченную вокруг начала координат в плоскости x'y 'K', и диаметр этой окружности. Далее представьте, что мы дали большое количество жестких стержней, все равных друг другу. Мы предполагаем, что они уложены последовательно по периферии и диаметру круга в состоянии покоя относительно K '. Если U - количество стержней по периферии, D - количество стержней по диаметру, то, если K 'не вращается относительно K, мы будем иметь U / D = π {\ displaystyle U / D = \ пи}U / D = \ pi . Но если K 'вращается, мы получим другой результат. Предположим, что в определенный момент времени t K мы определяем концы всех стержней. Что касается K, все стержни на периферии испытывают лоренцево сжатие, но стержни на диаметре не испытывают этого сжатия (по своей длине!). Отсюда следует, что U / D>π {\ displaystyle U / D>\ pi}U/D>\ pi .

Отсюда следует, что законы конфигурации твердых тел по отношению к K 'не согласуются с законами конфигурации твердые тела, которые находятся в соответствии с евклидовой геометрией. Если, кроме того, мы поместим два одинаковых часа (вращающихся с K '), один на периферии, а другой в центре круга, то, судя по K, часы на периферия будет идти медленнее, чем часы в центре. То же самое должно произойти, судя по K ', если мы определим время относительно K' не совсем неестественным образом, то есть таким образом, чтобы законы с по отношению к K 'явно зависят от времени. Следовательно, пространство и время не могут быть определены по отношению к K', как это было в специальной теории относительности в отношении инерциальных систем., согласно принципу эквивалентности, K 'также следует рассматривать как систему в состоянии покоя, относительно которой существует гравитационное поле (поле центробежной силы и сила Кориолиса). Таким образом, мы приходим к результату: гравитационное поле влияет и даже определяет метрические законы пространственно-временного континуума. Если законы конфигурации идеальных твердых тел должны быть выражены геометрически, то в присутствии гравитационного поля геометрия не является евклидовой.

Краткая история

Ссылки на статьи, указанные ниже (и многие другие не являются) можно найти в статье Ойвинда Грена, доступной в Интернете.

На этом рисунке показана мировая линия наблюдателя Ланжевена (красная спиральная кривая). На рисунке также изображены световые конусы в нескольких событиях с полем кадра наблюдателя Ланжевена, проходящего через это событие.
  • 1909: Макс. Борн вводит понятие твердого движения в специальной теории относительности.
  • 1909: После изучения концепции жесткости Борна Пол Эренфест продемонстрировал парадоксом цилиндр, который переходит из состояния покоя во вращение, что большинство движений протяженных тел не может быть жестким по Борну.
  • 1910: Густав Херглотц и Фриц Нётер независимо друг от друга разработали модель Борна и показал (теорема Герглотца – Нётер ), что борновская жесткость допускает только три степени свободы движущихся тел. Например, возможно, что твердое тело совершает равномерное вращение, но ускоренное вращение невозможно. Таким образом, твердое тело Борна не может быть приведено из состояния покоя во вращение, что подтверждает результат Эренфеста.
  • 1910: Макс Планк обращает внимание на то, что не следует путать проблему сжатие диска из-за его раскручивания, с тем, что наблюдатели на диске будут измерять по сравнению со стационарными наблюдателями. Он предполагает, что решение первой проблемы потребует введения некоторой модели материала и использования теории эластичности.
  • 1910: Теодор Калуца ​​ указывает, что в статике и движении на дисках нет ничего парадоксального. наблюдатели получают разные результаты по окружности. Однако это означает, утверждает Калуца, что «геометрия вращающегося диска» неевклидова. Он утверждает без доказательств, что эта геометрия на самом деле является просто геометрией гиперболической плоскости.
  • 1911: Макс фон Лауэ показывает, что ускоряемое тело имеет бесконечное количество степеней свободы, таким образом, никакие твердые тела не могут существовать в специальной теории относительности.
  • 1916: При написании своей новой общей теории относительности, Альберт Эйнштейн замечает, что наблюдатели на дисках измеряют более длинная окружность, C ′ = 2πr / √1 − v. То есть, поскольку линейки, движущиеся параллельно своей оси длины, кажутся короче, как измерено статическими наблюдателями, наблюдатели, движущиеся по диску, могут вместить больше меньших линейок заданной длины по окружности, чем стационарные наблюдатели.
  • 1922: In В своей основополагающей книге «Математическая теория относительности» (стр. 113) А.С. Эддингтон вычисляет сокращение радиуса вращающегося диска (по сравнению со стационарными весами) на одну четверть коэффициента «лоренцевского сжатия», примененного к окружности. 178>
  • 1935: Поль Ланжевен по существу вводит движущуюся рамку (или поле кадра на современном языке), соответствующую семейству дисковых наблюдателей, теперь называется ланжевеновскими наблюдателями. (См. Рисунок). Он также показывает, что расстояния, измеренные близлежащими наблюдателями Ланжевена, соответствуют определенной римановой метрике, которая теперь называется метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица. (Подробнее см. Координаты Борна.)
  • 1937: (теперь, возможно, наиболее известный своей работой над связями Картана с нулевой кривизной и ненулевым кручением) замечает, что ланжевен наблюдатели не являются ортогональными гиперповерхностями. Следовательно, метрика Ланжевена-Ландау-Лифшица определена не на некотором гиперсрезе пространства-времени Минковского, а на факторпространстве , полученном заменой каждой мировой линии точкой. Это дает трехмерное гладкое многообразие, которое становится римановым многообразием, когда мы добавляем метрическую структуру.
  • 1946: Натан Розен показывает, что инерционные наблюдатели, мгновенно соприкасающиеся с наблюдателями Ланжевена, также измеряют небольшие расстояния, заданные метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица.
  • 1946: Э.Л. Хилл анализирует релятивистские напряжения в материале, в котором (грубо говоря) скорость звука равна скорости звука. свет и показывает, что они просто отменяют радиальное расширение из-за центробежной силы (в любом физически реалистичном материале релятивистские эффекты уменьшаются, но не отменяют радиальное расширение). Хилл объясняет ошибки в более ранних анализах Артура Эддингтона и других.
  • 1952: C. Мёллер пытается изучить нулевые геодезические с точки зрения вращающихся наблюдателей (но неправильно пытается использовать срезы, а не соответствующее факторное пространство)
  • 1968: В. Кантони дает прямое, чисто кинематическое объяснение парадокс, показывая, что «одно из предположений, неявно содержащихся в формулировке парадокса Эренфеста, неверно, поскольку предполагается, что геометрия пространства-времени Минковского позволяет диску переходить из состояния покоя во вращение таким образом, что оба длина радиуса и длина периферии, измеренная относительно сопутствующей системы отсчета, остаются неизменными "
  • 1975: Эйвинд Грён пишет классический обзор о решениях" парадокс ».
  • 1977: Грюнбаум и Янис вводят понятие физически реализуемой« нежесткости », которое может быть применено к раскрутке изначально невращающегося диска (это понятие физически нереально для реального материалы из которых один м диск можно сделать, но это полезно для мысленных экспериментов).
  • 1981: Грон замечает, что закон Гука не согласуется с преобразованиями Лоренца, и вводит релятивистское обобщение.
  • 1997: Т.А. Вебер явно вводит поле кадра, связанное с наблюдателями Ланжевена.
  • 2000: указывает, что парадокс исчезает, когда (в соответствии с общей теорией относительности ) каждая часть вращающегося диск рассматривается отдельно, как живущий в своей собственной локальной неинерциальной системе отсчета.
  • 2002: Рицци и Руджеро (и Бел) явно вводят факторное многообразие, упомянутое выше.

Разрешение парадокса

Грен утверждает, что разрешение парадокса проистекает из невозможности синхронизировать часы во вращающейся системе отсчета. Если наблюдатели на вращающейся окружности пытаются синхронизировать свои часы по окружности, чтобы установить время диска, существует разница во времени между двумя конечными точками, где они встречаются.

Современное разрешение можно кратко резюмировать следующим образом:

  1. Небольшие расстояния, измеренные наблюдателями, движущимися по диску, описываются метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица, которая действительно хорошо аппроксимируется (для малой угловой скорости) геометрия гиперболической плоскости, как и утверждал Калуца.
  2. Для физически разумных материалов во время фазы раскрутки реальный диск расширяется радиально из-за центробежных сил; релятивистские поправки частично противодействуют (но не отменяют) этому эффекту Ньютона. После достижения установившегося вращения и расслабления диска геометрия "в малом" приблизительно определяется метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица.

См. Также

Некоторые другие «парадоксы» в специальной теории относительности

Примечания

Цитаты

Процитированные работы

Несколько статей, представляющих исторический интерес

Несколько классических «современные» ссылки

Некоторые экспериментальные работы и последующее обсуждение

Избранные недавние источники

Внешние ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с парадоксом Эренфеста.
Последняя правка сделана 2021-05-18 09:19:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте