Войти
Рис. 1. Блок Эджворта В экономике блок Блок Эджворта - это графическое представление рынка всего с двумя товарами, X и Y, и двумя потребителями. Размеры коробки представляют собой общие количества Ω x и Ω y двух товаров.
Пусть потребителями будут Октавио и Эбби. Верхний правый угол поля представляет собой распределение, в котором Октавио держит все товары, а нижний левый соответствует полному владению Эбби. Точки внутри рамки представляют способы распределения товаров между двумя потребителями.
Поведение рынка будет определяться кривыми безразличия потребителей. Синие кривые на диаграмме представляют кривые безразличия для Октавио и показаны выпуклыми с его точки зрения (т. Е. Если смотреть снизу слева). Оранжевые кривые относятся к Эбби и являются выпуклыми, если смотреть сверху справа. Перемещение вверх и вправо увеличивает распределение Октавио и помещает его на более желательную кривую безразличия, а Эбби - на менее желательную.
Выпуклые кривые безразличия считаются обычным случаем. Они соответствуют убывающей доходности каждого товара по отношению к другому.
Обмен на рынке начинается с первоначального распределения, известного как эндаумент.
В основном поле Эджворта используется для введения тем в теории общего равновесия в форме, в которой свойства могут быть визуализированы графически. Это также может свидетельствовать о трудности достижения эффективного результата при наличии двусторонней монополии. В последнем случае он служит предшественником проблемы торга из теории игр, которая допускает уникальное численное решение.
Ящик Эджворта назван в честь Фрэнсиса Исидро Эджворта, который представил его в своей книге «Математическая психика: эссе о применении математики». o «Моральные науки», 1881 г. Первоначальное двухосное изображение Эджворта было развито в уже знакомую прямоугольную диаграмму Парето в его Руководстве по политической экономии 1906 г. и популяризировано в более позднем изложении Боули. Современная версия диаграммы обычно называется ящиком Эджворта-Боули .
Концептуальная основа равновесия в рыночной экономике была разработана Леоном. Вальрас и продолженный Вильфредо Парето. Он был исследован с пристальным вниманием к общности и строгости экономистами-математиками двадцатого века, включая Абрахама Вальда, Пола Самуэльсона, Кеннета Эрроу и Жерара Дебре. Это было частью более широкого движения, в котором Уолд также стремился придать большую строгость теории принятия решений, а многие математики сосредоточились на минимизации зависимости от аксиомы выбора.
Теория вальрасовских рынков приняла старается найти самые общие предпосылки, из которых можно сделать данный вывод. Области, в которых предпосылки могут быть усилены или ослаблены, включают:
Также делаются допущения более технического характера, например. необратимость, насыщенность и т. д.
Стремление к строгости не всегда способствует разборчивости. В этой статье кривые безразличия будут трактоваться как примитивные. Сначала мы будем рассматривать их как выпуклые и дифференцируемые и сосредоточимся на внутренних равновесиях, но впоследствии мы ослабим эти предположения.
Рис. 2. Рынок коробок Эджворта Поскольку существует только два товара, эффективная цена - это обменный курс между ними. Наша цель состоит в том, чтобы найти цену, при которой может быть достигнуто рыночное равновесие, которая будет точкой, при которой дальнейшие операции не желательны, начиная с данного запаса. Эти количества будут определяться кривыми безразличия двух потребителей, как показано на рис. 2.
Мы будем предполагать, что каждый день Октавио и Эбби выходят на рынок с пожертвованиями (ω x,ωy) и (Ω x–ωx,Ωy–ωy) двух товаров, соответствующих позиции ω на диаграмме. Два потребителя будут обмениваться между собой в условиях конкуренции на рынке. Это предположение требует некоторой приостановки недоверия, поскольку условия совершенной конкуренции, которые включают бесконечное количество потребителей, не выполняются.
Если два X обмениваются на один Y, то транзакция Октавио и Эбби приведет их к некоторой точке вдоль сплошной серой линии, которая известна как бюджетная строка . (Чтобы быть более точным, бюджетную линию можно определить как прямую линию, проходящую через точку накопления, представляющую ассигнования, которые можно получить путем обмена по определенной цене.) Бюджетные линии для нескольких других цен также показаны пунктирными и пунктирными линиями на рис. 2.
Рис. 3. Равновесие в ящике Эджворта Равновесие, соответствующее данному запасу ω, определяется парой кривых безразличия, которые имеют общую касательную, так что эта касательная проходит через ω . Мы будем использовать термин «ценовая линия» для обозначения общей касательной к двум кривым безразличия. Таким образом, равновесие соответствует бюджетной линии, которая также является ценовой линией, а цена в равновесии - это градиент этой линии. На рис. 3 ω - это наделение, а ω '- это равновесное распределение.
Причина этого заключается в следующем.
Рис. 4. Разделение района пересечением кривых безразличия Во-первых, любая точка в квадрате должна лежать ровно на одной из кривых безразличия Эбби и ровно на одной из кривых безразличия Октавио. Если кривые пересекаются (как показано на рис. 4), они делят непосредственное соседство на четыре области, одна из которых (показана бледно-зеленой) предпочтительнее для обоих потребителей; поэтому точка, в которой пересекаются кривые безразличия, не может быть равновесием, а равновесие должно быть точкой касания.
Во-вторых, единственная цена, которая может удерживаться на рынке в точке касания, - это цена, определяемая градиентом касательной, поскольку только при этой цене потребители будут готовы согласиться на ограниченно небольшие обмены.
И в-третьих (самый сложный момент) все обмены, ведущие потребителей на пути от ω к равновесию, должны происходить по одной и той же цене. Если это принято, тогда эта цена должна быть единственной действующей в точке касания, и результат следует.
В экономике двух человек нет гарантии, что все обмены будут происходить по одинаковой цене. Но цель рамки Эджворта не в том, чтобы проиллюстрировать установление цен, которое может иметь место при отсутствии конкуренции, а в том, чтобы проиллюстрировать конкурентоспособную экономику в минимальном случае. Таким образом, мы можем представить себе, что вместо одной Эбби и одного Октавио у нас есть бесконечное количество клонов каждого, все они выходят на рынок с одинаковыми запасами в разное время и постепенно продвигаются к равновесию. Только что прибывший Октавио может обменяться по рыночной цене с Эбби, которая близка к равновесию, и пока только что прибывшая Эбби обменивается с почти довольным Октавио, цифры уравновешиваются. Чтобы обмен работал в условиях большой конкурентной экономики, для всех должна царить одна цена. Таким образом, обмен должен перемещать распределение вдоль ценовой линии, как мы ее определили.
Соответственно, задача нахождения конкурентного равновесия сводится к задаче нахождения точки соприкосновения между двумя кривыми безразличия, для которых касательная проходит через заданная точка. Использование кривых предложения (описанных ниже) обеспечивает систематическую процедуру для этого.
Рис. 5. Разделение коробки двумя касательными кривыми безразличия Говорят, что распределение товаров «по Парето доминирует» над другим, если это предпочтительно для одного потребителя и не хуже для другого. Распределение называется «оптимальным по Парето » (или «эффективным по Парето»), если никакое другое распределение не доминирует над ним. Набор оптимальных по Парето распределений известен как набор Парето (или «эффективный локус»).
Рассмотрим пару касательных кривых, по одной для каждого потребителя, как показано на рис. 5, где точка касания показана фиолетовой точкой. Тогда выпуклость гарантирует, что кривые не могут пересекаться, кроме как в точке касания, и прямоугольник соответственно разделен на 3 области. Бледно-голубая область предпочтительнее для Октавио, но хуже для Эбби; бледно-оранжевая область предпочтительнее для Эбби, но хуже для Октавио; и белая область хуже для обоих. Аналогичные соображения применимы к границам. Отсюда следует, что точка касания оптимальна по Парето.
Рис. 6. Множество Парето (фиолетовая линия) для бокса Эджворта Таким образом, множество Парето - это геометрическое место точек касания кривых. Это линия, соединяющая происхождение Октавио (O) с местом происхождения Эбби (A). Пример показан на рис. 6, где фиолетовая линия - это множество Парето, соответствующее кривым безразличия для двух потребителей.
Словарь, используемый для описания различных объектов, входящих в блок Эджворта, расходится. Весь набор Парето иногда называют кривой контракта, в то время как Мас-Колелл и др. ограничьте определение контрактной кривой только теми точками на множестве Парето, которые обеспечивают как Эбби, так и Октавио, по крайней мере, такое же благополучие, как и при их первоначальном состоянии. Другие авторы, которые имеют более теоретические взгляды на игры, такие как Мартин Осборн и Ариэль Рубинштейн, используют термин ядро для раздела множества Парето, который находится на по крайней мере так же хорошо для каждого потребителя, как первоначальный вклад.
Поскольку набор Парето - это набор точек, в которых кривые безразличия потребителей являются касательными, это также набор точек, в которых предельная норма замены каждого потребителя равна таковой для другого человека.
Мы видели, что точки касания кривых безразличия являются оптимумами Парето, но мы также видели ранее, что экономическое равновесие - это те точки, в которых кривые безразличия касаются друг друга. к общей ценовой линии. Отсюда следует, что равновесия - это в точности оптимумы Парето.
Этот аргумент применяется с одним ограничением, даже если кривые недифференцируемы или если равновесие находится на границе. Условием равновесия является то, что никакого дальнейшего обмена не будет, а условием прекращения дальнейшего обмена является отсутствие направления движения, которое приносит пользу одному потребителю, не причиняя вреда другому; и это эквивалентно определению оптимума Парето.
Ограничение состоит в том, что равновесие подразумевает невозможность локального улучшения - другими словами, точка является «локально» оптимальной по Парето. Но оптимальность по Парето в настоящее время считается глобальной по определению. Таким образом, если характер кривых безразличия допускает возникновение неглобальных оптимумов (чего не может произойти, если они выпуклые), тогда возможно, что равновесия не будут оптимальными по Парето.
Совершенная конкуренция не является предварительным условием для теоремы. Пока потребители могут свободно обмениваться и будут продолжать делать это до тех пор, пока взаимоприемлемый обмен не станет доступным, равновесие будет достигнуто и будет (по крайней мере, «локально») оптимальным по Парето.
Рис. 7. Вторая теорема благосостояния . Теперь рассмотрим экономику, в которой потребители имеют пожертвования ω, как показано на рис. 7. Свободный рынок, предоставленный самим себе, приведет их к ω '. Но предположим, что какое-то другое положение в коробке - скажем, α '- считается социально предпочтительным. Можно предположить, что социально желаемое положение оптимально по Парето.
Мы можем думать о ценовых линиях (показанных пунктирной линией на диаграмме) как о соответствующих различных распределениях реального дохода, а движение по ним - как о перераспределении ресурсов, в то время как доходы остаются фиксированными.
Тогда, чтобы переместить общество в желаемую точку α ', правительству не обязательно перераспределять ресурсы таким образом, чтобы Октавио придерживался (α' x, α 'y), и у Эбби есть дополнение: достаточно перераспределить ресурсы, чтобы переместить экономику в любую точку (скажем, α ) на ценовой линии через α, а затем покинуть рынок, чтобы найти собственное равновесие. В самом деле, до тех пор, пока правительство признает желаемое распределение доходов, ему не нужно иметь какое-либо представление об оптимальном распределении ресурсов.
В утверждении для более общей экономики, теорема была бы принята как утверждающая, что α 'может быть достигнуто денежным переводом с последующей свободной игрой рыночного обмена; но денег в ящике Эджворта нет.
Вторая фундаментальная теорема не дает схемы для исправления недугов общества. Правительство может принять решение о перераспределении ресурсов между Октавио и Эбби, переместив их с ω на α до начала торгов; и, как следствие, тот, кто проиграет, может решить на следующий день вывести на рынок меньше. Вторая фундаментальная теорема не учитывает искажения, вносимые перераспределением.
Рис. 8. Предпочтительные точки в различных статьях бюджета Кривые предложения предоставляют средства нахождения точек равновесия, а также полезны для исследования их существования и уникальности.
В рамке можно нарисовать две такие кривые, по одной для каждого потребителя и обе в зависимости от обеспеченности. Мы поворачиваем бюджетную линию вокруг ω и прослеживаем точки, наиболее благоприятствующие двум потребителям, вдоль этой линии, как показано цветными точками на рис. 8. Это точки, в которых линия касается их собственных кривых безразличия..
Рис. 9. Кривые предложения Местом расположения точек наибольшего предпочтения потребителя является его кривая предложения. На рис. 9 кривая предложения Октавио показана темно-синей, а кривая Эбби - коричневой. Они встречаются в точке ω ', и линия баланса равновесия (нарисованная серым цветом) проходит через эту точку. Кривые безразличия через ω 'для двух потребителей показаны более светлыми цветами.
Кривая предложения обязательно проходит через точку обеспеченности ω . Если мы возьмем Эбби в качестве примера, мы заметим, что одна из ее кривых безразличия должна проходить через ω и что линия бюджета может быть выбрана так, чтобы иметь тот же градиент, что и кривая безразличия здесь, в результате чего ω наиболее удачная точка для этой линии.
Следовательно, две кривые предложения потребителей обязательно пересекаются в точке ω ; но свойство, которое заставляет это происходить, состоит в том, что ω является единственной возможной точкой пересечения, согласующейся с бюджетными линиями с различным градиентом, и, следовательно, это не обязательно составляет равновесие.
Любое пересечение кривых предложения в точке, отличной от ω, определяет устойчивое равновесие. Если две кривые предложения являются касательными в точке обеспеченности, то эта точка действительно является равновесием, а их общая касательная - соответствующая бюджетная линия.
Кривые предложения были использованы сначала автор Вильфредо Парето - см. его Manuale / Manuel Chap. III, §97. Он назвал их «кривыми обмена» (linee dei baratti / lignes des échanges), и его имя для предпочтительного распределения Октавио по бюджетной линии было его «точкой равновесия».
Это предпочтительное распределение в наши дни иногда называют «требованием» Октавио, которое представляет собой асимметричное описание симметричного факта. Распределение определяет владение Эбби в такой же мере, как и у Октавио, и, следовательно, в такой же степени является предложением, как и спросом.
Offre по-французски означает «предложение», поэтому называть кривую предложения локусом спроса равносильно называть кривой предложения локусом спроса.
Рис. 10. Ящик Эджворта с множественными состояниями равновесия 
Рис. 11. Ящик Эджворта с множественными положениями равновесия (деталь) Из экономических соображений можно предположить, что если существует общая касательная через данное наделение и если кривые безразличия не являются патологическими по своей форме, то точка касания будет быть уникальный. Это оказалось неправдой. Условия единственности равновесия были предметом обширных исследований: см. Теория общего равновесия.
Рис. 9 и 10 иллюстрируют пример от Mas-Colell et al. в котором три различных состояния равновесия соответствуют точке ω обеспеченности. Кривые безразличия:
Кривые безразличия заполняют рамку, но отображаются только по касательной к некоторым репрезентативным статьям бюджета. Кривые предложения, нарисованные на рис. 11, пересекаются в трех точках, показанных большими серыми точками и соответствующих обменным курсам 1/2, 1 и 2.
Ранние исследования свойств равновесие основывалось на неявном определении как касание, а выпуклость, по-видимому, предполагалась неявно. Не было сомнений, что равновесие будет достигнуто: градиентный подъем приведет к нему. Но результатам не хватало общности.
Рис. 12. Ценовые линии для коробки с граничными положениями равновесия Кеннет Эрроу и Жерар Дебро независимо друг от друга опубликовали статьи в 1951 году, обратив внимание на ограничения в исчислении доказательств теорем равновесия. Эрроу особо упомянул трудность, вызванную равновесием на границе, а Дебрё - проблему недифференцируемых кривых безразличия.
Не стремясь к исчерпывающему охвату, легко увидеть в интуитивно понятных терминах, как расширить наши методы для применения в этих случаях. Нам необходимо расширить понятие касательной, включив в нее любую линию, которая касается кривой: касательную в этимологическом смысле, а не в дифференциальном исчислении. В примере на рис. 12 есть дуга законных ценовых линий через точку соприкосновения, каждая из которых касается кривых безразличия, не разрезая их внутри рамки, и, соответственно, существует диапазон возможных равновесий для данного фонда.
Равновесия на рис. 12 не являются точками, в которых кривые являются истинными касательными друг к другу. Однако у них есть свойство, которое обобщает определение в терминах касательных, а именно, что две кривые могут быть локально разделены прямой линией.
Аррор и Дебре определили равновесие так же, как и друг друга, в своих (независимых) документах 1951 года, не предоставляя никаких источников или обоснований для их определения. Они сохранили свое определение в своей совместной статье (о существовании равновесия) 1954 года. Новое определение потребовало изменения математической техники с дифференциального исчисления на теорию выпуклых множеств.
В действительности их определение было следующим: равновесие, достижимое за счет пожертвований ω, состоит из ассигнований x и бюджетной строки через x и ω такой, что нет точки на линии, которую любой потребитель (строго) предпочитает x . Пара, состоящая из распределения и линии, удовлетворяющей этому свойству, известна как «вальрасианское» или «конкурентное» равновесие.
Рис. 13. «Локальное» равновесие Бюджетная линия этого определения - это линия, разделяющая кривые безразличия двух потребителей, но это происходит не локально, а глобально. Эрроу и Дебре не объясняют, почему они требуют глобального разделения, которое, возможно, облегчило их доказательства, но, как можно видеть, имеет неожиданные последствия. На рис. 13 точка x является точкой касания, которая также является точкой, в которой кривые безразличия локально разделены пунктирной линией цены; но поскольку они не разделены глобально, точка не является равновесием согласно определению Эрроу и Дебре.
Фиг. 14. Оптимум Парето, который не является «конкурентным равновесием» На рис. 14 точка x является оптимумом Парето, который не удовлетворяет определению конкурентного равновесия. Вопрос о том, установится ли экономика в такой точке, совершенно не связан с тем, удовлетворяет ли она произвольному определению равновесия; очевидно, в этом случае так и будет.
Эрроу и Дебре всегда включали выпуклость кривых безразличия в свои «предположения». К сожалению, термин «допущения» является расплывчатым и может относиться как к предпосылкам, лежащим в основе определений, так и к теоремам, или к предпосылкам, которые необходимы только для последних. Учитывая, что их определение на самом деле не является правильным, когда кривые безразличия могут быть невыпуклыми, разумно предположить, что они имели в виду предположение о выпуклости в первом смысле. Независимо от того, так это или нет, определение было широко принято без каких-либо ограничений домена.
Иногда было обнаружено, что результаты могут быть получены в соответствии с их определением, не предполагая выпуклости в доказательстве (примером является первая фундаментальная теорема экономики благосостояния). То, что такие результаты вообще имеют какое-либо значение, не является аподиктичным.
В некоторых странах не может быть равновесия, достижимого за счет заданного запаса путем обмена по единым ценам; следовательно, не существует равновесия, удовлетворяющего определению конкурентного равновесия. Семейства кривых рисунка на рис. 14 являются примером этого.
Если равновесие определяется как «конкурентное равновесие», первая фундаментальная теорема может быть доказана, даже если кривые безразличия не обязательно должны быть выпуклыми: любое конкурентное равновесие (глобально) Оптимальный по Парето. Однако доказательство уже не очевидно, и читатель отсылается к статье о Фундаментальных теоремах экономики благосостояния.
Тот же самый результат не считался бы справедливым (с невыпуклыми кривыми безразличия) при определении касания. равновесия. Точка x на фиг. 13 могла бы считаться равновесием, которое не было (глобально) оптимальным, поскольку желтая область Парето доминирует над ней.
Мы не должны предполагать, что результат усилился, так как возможность достижения равновесия была поставлена под сомнение. На рис. 13 точка x может и не быть «конкурентным равновесием», но экономика может застрять в ней, не позволяя ей достичь «истинного» (и оптимального по Парето) равновесия в желтой области.
Для первой теоремы о благосостоянии всегда считалось важным, чтобы равновесие действительно было достигнуто. Лернер интерпретировал эту теорему следующим образом: «К счастью, оптимальное распределение товаров может быть достигнуто автоматически», а Мас-Колелл и др. едва ли более осторожны, говоря нам, что:
Первая фундаментальная теорема о благосостоянии дает... формальное выражение «невидимой руки» Адама Смита... В условиях совершенной конкуренции... единственное возможное оправдание благосостояния для вмешательства в Экономия - это выполнение распределительных целей.
Однако ничто не может гарантировать, что глобальный оптимум будет достигнут. Если концепция равновесия включает локальные оптимумы, такие как x, то равновесие может быть достижимым, но неоптимальным; если такие точки исключить, то равновесие может быть оптимальным, но недостижимым.
Различия, вызванные невыпуклостью, становятся более глубокими, когда мы смотрим на вторую фундаментальную теорему. Не каждый оптимум Парето является конкурентным равновесием (хотя он все еще может быть местом отдыха для экономики). Следовательно, в теореме необходимо либо придать выпуклость предпочтений в качестве предпосылки, либо сформулировать так, чтобы «равновесие» не понималось как «конкурентное равновесие», как определено выше.
