Теорема Ирншоу

редактировать

Теорема Ирншоу утверждает, что совокупность точечных зарядов не может поддерживаться в стабильной стационарной равновесной конфигурации только за счет электростатического взаимодействия зарядов. Впервые это было доказано британским математиком Сэмюэлем Ирншоу в 1842 году. Обычно это относится к магнитным полям, но впервые было применено к электростатическим полям.

Теорема Ирншоу применима к классическим силам закона обратных квадратов (электрическим и гравитационным ), а также к магнитным силам постоянных магнитов, если магниты жесткие (магниты не меняются по силе с внешними полями). Теорема Ирншоу запрещает магнитную левитацию во многих обычных ситуациях.

Если материалы не твердые, то расширение Браунбека показывает, что материалы с относительной магнитной проницаемостью больше единицы ( парамагнетизм ) дополнительно дестабилизируют, но материалы с проницаемостью меньше единицы ( диамагнитные материалы) допускают стабильные конфигурации.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Объяснение
  • 2 лазейки
  • 3 Влияние на физику
  • 4 Доказательства магнитных диполей
    • 4.1 Введение
    • 4.2 Предпосылки
    • 4.3 Резюме доказательств
    • 4.4 Подробные доказательства
    • 4.5 Магнитный диполь с фиксированной ориентацией
    • 4.6 Магнитный диполь, выровненный с внешними силовыми линиями
    • 4.7 Лапласиан отдельных компонент магнитного поля
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Внешние ссылки

Объяснение

Неформально случай точечного заряда в произвольном статическом электрическом поле является простым следствием закона Гаусса. Чтобы частица находилась в устойчивом равновесии, небольшие возмущения («толчки») частицы в любом направлении не должны нарушать равновесие; частица должна «упасть» в прежнее положение. Это означает, что силовые линии вокруг положения равновесия частицы должны быть направлены внутрь, к этому положению. Если все окружающие силовые линии указывают на точку равновесия, то дивергенция поля в этой точке должна быть отрицательной (т.е. эта точка действует как сток). Однако закон Гаусса гласит, что расходимость любого возможного электрического силового поля в свободном пространстве равна нулю. В математических обозначениях электрическая сила F ( r), возникающая из потенциала U ( r), всегда будет бездивергентной (удовлетворять уравнению Лапласа ):

F знак равно ( - U ) знак равно - 2 U знак равно 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot (- \ nabla U) = - \ nabla ^ {2} U = 0.}

Следовательно, в свободном пространстве нет локальных минимумов или максимумов потенциала поля, есть только седловые точки. Устойчивого равновесия частицы существовать не может, и должна быть неустойчивость в каком-то направлении. Этого аргумента может быть недостаточно, если все вторые производные от U равны нулю.

Чтобы быть полностью строгим, строго говоря, существование устойчивой точки не требует, чтобы все соседние векторы силы указывали точно в сторону устойчивой точки; например, векторы силы могут закручиваться по спирали в направлении устойчивой точки. Один из способов справиться с этим заключается в том, что, помимо расходимости, ротор любого электрического поля в свободном пространстве также равен нулю (при отсутствии каких-либо магнитных токов).

Также возможно доказать эту теорему непосредственно из уравнений силы / энергии для статических магнитных диполей (см. Ниже). Однако интуитивно кажется вероятным, что если теорема верна для одного точечного заряда, то она будет верна и для двух противоположных точечных зарядов, соединенных вместе. В частности, это будет выполняться в пределе, когда расстояние между зарядами уменьшается до нуля при сохранении дипольного момента, то есть это будет выполняться для электрического диполя. Но если теорема верна для электрического диполя, то она будет верна и для магнитного диполя, поскольку (статические) уравнения силы / энергии принимают одинаковую форму как для электрических, так и для магнитных диполей.

Как практическое следствие, эта теорема также утверждает, что не существует возможной статической конфигурации ферромагнетиков, которая может устойчиво левитировать объект против силы тяжести, даже когда магнитные силы сильнее гравитационных.

Теорема Ирншоу была даже доказана для общего случая протяженных тел, и это так, даже если они гибкие и проводящие, при условии, что они не диамагнитны, поскольку диамагнетизм представляет собой (небольшую) силу отталкивания, но не притяжение.

Однако есть несколько исключений из допущений правила, которые допускают магнитную левитацию.

Лазейки

Теорема Ирншоу не имеет исключений для неподвижных постоянных ферромагнетиков. Однако теорема Ирншоу не обязательно применима к движущимся ферромагнетикам, определенным электромагнитным системам, псевдолевитации и диамагнитным материалам. Таким образом, они могут показаться исключениями, хотя на самом деле они используют ограничения теоремы.

Спин-стабилизированная магнитная левитация : вращающиеся ферромагнетики (такие как левитрон ) могут во время вращения магнитно левитировать, используя только постоянные ферромагнетики. (Вращающийся ферромагнетик - это не «неподвижный ферромагнетик».

Переключение полярности электромагнита или системы электромагнитов может левитировать систему путем непрерывного расхода энергии. Поезда на маглеве - это одно приложение.

Псевдолевитация ограничивает движение магнитов, как правило, с помощью веревки или стены. Это работает, потому что теорема показывает только то, что есть какое-то направление, в котором будет нестабильность. Ограничение движения в этом направлении позволяет левитации с менее чем полными 3 измерениями, доступными для движения (обратите внимание, что теорема доказана для 3-х измерений, а не для 1D или 2D).

Исключение составляют диамагнитные материалы, потому что они проявляют только отталкивание против магнитного поля, тогда как теорема требует материалов, которые обладают как отталкиванием, так и притяжением. Примером этого является знаменитая левитирующая лягушка (см. Диамагнетизм ).

Влияние на физику

Конфигурации классических заряженных частиц, вращающихся друг вокруг друга, нестабильны из-за потерь энергии на электромагнитное излучение. В течение некоторого времени это привело к загадочному вопросу о том, почему материя остается вместе, поскольку было обнаружено множество доказательств того, что материя удерживается вместе электромагнитно, но статические конфигурации будут нестабильными, а электродинамические конфигурации, как ожидается, будут излучать энергию и распадаться.

Эти вопросы в конечном итоге указали путь к квантово-механическому объяснению структуры атома, где существование стационарных (неизлучающих) состояний, в которых электрон имеет ненулевой импульс (и, следовательно, на самом деле не является статическим), решает вышеупомянутую загадку на фундаментальный уровень. На более практическом уровне можно сказать, что принцип исключения Паули и существование дискретных электронных орбиталей ответственны за то, что объемная материя становится жесткой.

Доказательства магнитных диполей

Вступление

Хотя возможно более общее доказательство, здесь рассматриваются три конкретных случая. Первый случай - это магнитный диполь постоянной величины, который имеет быструю (фиксированную) ориентацию. Второй и третий случаи представляют собой магнитные диполи, где ориентация изменяется, чтобы оставаться параллельной или антипараллельной силовым линиям внешнего магнитного поля. В парамагнитных и диамагнитных материалах диполи ориентированы параллельно и антипараллельно силовым линиям соответственно.

Фон

Рассматриваемые здесь доказательства основаны на следующих принципах.

Энергия U магнитного диполя с магнитным дипольным моментом M во внешнем магнитном поле B определяется выражением

U знак равно - M B знак равно - ( M Икс B Икс + M у B у + M z B z ) . {\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}).}

Диполь будет устойчиво левитировать только в точках, где энергия минимальна. Энергия может иметь минимум только в точках, где лапласиан энергии больше нуля. То есть где

2 U знак равно 2 U Икс 2 + 2 U у 2 + 2 U z 2 gt; 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}}gt; 0.}

Наконец, поскольку и дивергенция, и ротор магнитного поля равны нулю (в отсутствие тока или изменяющегося электрического поля), лапласианы отдельных компонентов магнитного поля равны нулю. То есть,

2 B Икс знак равно 2 B у знак равно 2 B z знак равно 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = \ nabla ^ {2} B_ {y} = \ nabla ^ {2} B_ {z} = 0.}

Это доказывается в самом конце этой статьи, так как это важно для понимания общего доказательства.

Резюме доказательств

Для магнитного диполя фиксированной ориентации (и постоянной величины) энергия будет равна

U знак равно - M B знак равно - ( M Икс B Икс + M у B у + M z B z ) , {\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}),}

где M x, M y и M z постоянны. В этом случае лапласиан энергии всегда равен нулю,

2 U знак равно 0 , {\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = 0,}

поэтому у диполя не может быть ни минимума энергии, ни максимума энергии. То есть нет точки в свободном пространстве, где диполь был либо устойчив во всех направлениях, либо неустойчив во всех направлениях.

Магнитные диполи, ориентированные параллельно или антипараллельно внешнему полю с величиной диполя, пропорциональной внешнему полю, будут соответствовать парамагнитным и диамагнитным материалам соответственно. В этих случаях энергия будет выражена

U знак равно - M B знак равно - k B B знак равно - k ( B Икс 2 + B у 2 + B z 2 ) , {\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ { y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right),}

где k - постоянная больше нуля для парамагнитных материалов и меньше нуля для диамагнитных материалов.

В этом случае будет показано, что

2 ( B Икс 2 + B у 2 + B z 2 ) 0 , {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \ geq 0,}

что в сочетании с константой k показывает, что парамагнитные материалы могут иметь максимумы энергии, но не минимумы энергии, а диамагнитные материалы могут иметь минимумы энергии, но не максимумы энергии. То есть парамагнитные материалы могут быть нестабильными во всех направлениях, но не стабильными во всех направлениях, а диамагнитные материалы могут быть стабильными во всех направлениях, но не нестабильными во всех направлениях. Конечно, оба материала могут иметь седловые точки.

Наконец, магнитный диполь ферромагнитного материала (постоянного магнита), расположенный параллельно или антипараллельно магнитному полю, будет иметь вид

M знак равно k B | B | , {\ Displaystyle \ mathbf {M} = к {\ mathbf {B} \ over | \ mathbf {B} |},}

так что энергия будет отдана

U знак равно - M B знак равно - k B B | B | знак равно - k | B | 2 | B | знак равно - k ( B Икс 2 + B у 2 + B z 2 ) 1 2 ; {\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k {{\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}} \ over | \ mathbf {B} |} = - k { | \ mathbf {B} | ^ {2} \ over | \ mathbf {B} |} = - k \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}};}

но это всего лишь квадратный корень из энергии для парамагнитного и диамагнитного случая, описанного выше, и, поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает, любой минимум или максимум в парамагнитном и диамагнитном случае будет здесь также минимумом или максимумом. Однако не существует известных конфигураций постоянных магнитов, которые стабильно левитируют, поэтому могут быть другие причины, не обсуждаемые здесь, почему невозможно поддерживать постоянные магниты в ориентации, антипараллельной магнитным полям (по крайней мере, без вращения - см. Левитрон ).

Подробные доказательства

Теорема Ирншоу была первоначально сформулирована для электростатики (точечных зарядов), чтобы показать, что не существует стабильной конфигурации совокупности точечных зарядов. Доказательства, представленные здесь для отдельных диполей, должны быть обобщены на совокупность магнитных диполей, потому что они сформулированы в терминах энергии, которая является аддитивной. Однако тщательное рассмотрение этой темы в настоящее время выходит за рамки данной статьи.

Магнитный диполь с фиксированной ориентацией

Будет доказано, что во всех точках свободного пространства

( U ) знак равно 2 U знак равно 2 U Икс 2 + 2 U у 2 + 2 U z 2 знак равно 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla U) = \ nabla ^ {2} U = {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial x} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial y} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial z} ^ {2}} = 0.}

Энергия U магнитного диполя M во внешнем магнитном поле B определяется выражением

U знак равно - M B знак равно - M Икс B Икс - M у B у - M z B z . {\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -M_ {x} B_ {x} -M_ {y} B_ {y} -M_ {z} B_ {z}.}

Лапласиан будет

2 U знак равно - 2 ( M Икс B Икс + M у B у + M z B z ) Икс 2 - 2 ( M Икс B Икс + M у B у + M z B z ) у 2 - 2 ( M Икс B Икс + M у B у + M z B z ) z 2 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}) \ over { \ partial x} ^ {2}} - {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}) \ over {\ partial y} ^ {2}} - {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}) \ over {\ partial z} ^ {2}}}

Расширяя и переставляя члены (и отмечая, что диполь M постоянен), мы имеем

2 U знак равно - M Икс ( 2 B Икс Икс 2 + 2 B Икс у 2 + 2 B Икс z 2 ) - M у ( 2 B у Икс 2 + 2 B у у 2 + 2 B у z 2 ) - M z ( 2 B z Икс 2 + 2 B z у 2 + 2 B z z 2 ) знак равно - M Икс 2 B Икс - M у 2 B у - M z 2 B z {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} U amp; = - M_ {x} \ left ({\ partial ^ {2} B_ {x} \ over {\ partial x} ^ {2}} + { \ partial ^ {2} B_ {x} \ over {\ partial y} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over {\ partial z} ^ {2}} \ right) - M_ {y} \ left ({\ partial ^ {2} B_ {y} \ over {\ partial x} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {y} \ over {\ partial y} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {y} \ over {\ partial z} ^ {2}} \ right) -M_ {z} \ left ({\ partial ^ {2} B_ {z} \ over {\ partial x} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {z} \ over {\ partial y} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {z} \ over {\ partial z} ^ {2}} \ right) \\ [3pt] amp; = - M_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} -M_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} -M_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ end {выровнено}}}

но лапласианы отдельных компонентов магнитного поля равны нулю в свободном пространстве (не считая электромагнитного излучения), поэтому

2 U знак равно - M Икс 0 - M у 0 - M z 0 знак равно 0 , {\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = -M_ {x} 0-M_ {y} 0-M_ {z} 0 = 0,}

что завершает доказательство.

Магнитный диполь, выровненный с внешними силовыми линиями

Сначала рассматривается случай парамагнитного или диамагнитного диполя. Энергия дается

U знак равно - k | B | 2 знак равно - k ( B Икс 2 + B у 2 + B z 2 ) . {\ Displaystyle U = -k | \ mathbf {B} | ^ {2} = - k \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \Правильно).}

Расширение и перестановка сроков,

2 | B | 2 знак равно 2 ( B Икс 2 + B у 2 + B z 2 ) знак равно 2 ( | B Икс | 2 + | B у | 2 + | B z | 2 + B Икс 2 B Икс + B у 2 B у + B z 2 B z ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} amp; = \ nabla ^ {2} \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \\ amp; = 2 \ left (| \ nabla B_ {x} | ^ {2} + | \ nabla B_ {y} | ^ {2} + | \ nabla B_ {z} | ^ {2} + B_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ right) \ end {align}}}

но поскольку лапласиан каждой отдельной компоненты магнитного поля равен нулю,

2 | B | 2 знак равно 2 ( | B Икс | 2 + | B у | 2 + | B z | 2 ) ; {\ displaystyle \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} = 2 \ left (| \ nabla B_ {x} | ^ {2} + | \ nabla B_ {y} | ^ {2} + | \ набла B_ {z} | ^ {2} \ right);}

и поскольку квадрат величины всегда положителен,

2 | B | 2 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} \ geq 0.}

Как обсуждалось выше, это означает, что лапласиан энергии парамагнитного материала никогда не может быть положительным (отсутствие стабильной левитации), а лапласиан энергии диамагнитного материала никогда не может быть отрицательным (отсутствие нестабильности во всех направлениях).

Кроме того, поскольку энергия для диполя фиксированной величины, выровненного по внешнему полю, будет квадратным корнем из энергии, указанной выше, применим тот же анализ.

Лапласиан отдельных компонент магнитного поля

Здесь доказано, что лапласиан каждой отдельной компоненты магнитного поля равен нулю. Это показывает необходимость задействовать свойства магнитных полей, согласно которым расходимость магнитного поля всегда равна нулю, а ротор магнитного поля равен нулю в свободном пространстве. (То есть в отсутствие тока или изменяющегося электрического поля.) См. Уравнения Максвелла для более подробного обсуждения этих свойств магнитных полей.

Рассмотрим лапласиан x-компоненты магнитного поля

2 B Икс знак равно 2 B Икс Икс 2 + 2 B Икс у 2 + 2 B Икс z 2 знак равно Икс B Икс Икс + у B Икс у + z B Икс z {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} B_ {x} amp; = {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial z ^ {2}} \\ amp; = {\ partial \ over \ partial x} { \ partial B_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial \ over \ partial y} {\ partial B_ {x} \ over \ partial y} + {\ partial \ over \ partial z} {\ partial B_ { x} \ over \ partial z} \ end {выровнено}}}

Поскольку ротор B равен нулю,

B Икс у знак равно B у Икс , {\ displaystyle {\ frac {\ partial B_ {x}} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial B_ {y}} {\ partial x}},}

а также

B Икс z знак равно B z Икс , {\ displaystyle {\ frac {\ partial B_ {x}} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial B_ {z}} {\ partial x}},}

так что у нас есть

2 B Икс знак равно Икс B Икс Икс + у B у Икс + z B z Икс . {\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} {\ partial B_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial \ over \ partial y} {\ partial B_ {y} \ over \ partial x} + {\ partial \ over \ partial z} {\ partial B_ {z} \ over \ partial x}.}

Но поскольку B x непрерывен, порядок дифференцирования не имеет значения, давая

2 B Икс знак равно Икс ( B Икс Икс + B у у + B z z ) знак равно Икс ( B ) . {\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} \ left ({\ partial B_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial B_ {y} \ over \ partial y} + {\ partial B_ {z} \ over \ partial z} \ right) = {\ partial \ over \ partial x} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}).}

Дивергенция B равна нулю,

B знак равно 0 , {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0,}

так

2 B Икс знак равно Икс ( B ) знак равно 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) = 0.}

Аналогично вычисляются лапласиан y- компоненты магнитного поля B y и лапласиан z- компоненты магнитного поля B z. В качестве альтернативы можно использовать идентификатор

2 B знак равно ( B ) - × ( × B ) , {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} \ right) - \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ Правильно),}

где оба члена в скобках равны нулю.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

  • « Левитация возможна », обсуждение теоремы Ирншоу и ее последствий для левитации, а также несколько способов левитации с помощью электромагнитных полей.
Последняя правка сделана 2023-04-04 09:05:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте