Динамическое трение

редактировать

В астрофизике, динамическое трение или трение Чандрасекара, иногда называемое гравитационным сопротивление - это потеря импульса и кинетической энергии движущихся тел в результате гравитационного взаимодействия с окружающей материей в космосе. Впервые это обсуждалось в подробно от Субраманяна Чандрасекара в 1943 году.

Содержание

1 Интуитивное описание
2 Формула динамического трения Чандрасекара
- 2.1 Распределение Максвелла
3 Плотность окружающей среды
4 Приложения
- 4.1 Протопланеты
- 4.2 Галактики
- 4.3 Скопления галактик
- 4.4 Фотоны
5 Примечания и ссылки

Интуитивное описание

Интуицию об эффекте можно получить, представив массивный объект, движущийся сквозь облако меньших более легких тел. Эффект гравитации заставляет легкие тела ускоряться и набирать импульс и кинетическую энергию (см. эффект рогатки ). Путем сохранения энергии и импульса мы можем заключить, что более тяжелое тело будет замедляться на определенную компенсацию. Поскольку для рассматриваемого тела происходит потеря количества движения и кинетической энергии, этот эффект называется динамическим трением.

Другой эквивалентный способ размышления об этом процессе состоит в том, что когда большой объект движется через облако меньших объектов, гравитационный эффект большего объекта притягивает к нему более мелкие объекты. Затем существует концентрация более мелких объектов позади большего тела (гравитационный след), поскольку оно уже прошло свое предыдущее положение. Эта концентрация мелких объектов за большим телом оказывает на большой объект коллективную гравитационную силу, замедляя его.

Конечно, механизм работает одинаково для всех масс взаимодействующих тел и для любых относительных скоростей между ними. Однако, хотя наиболее вероятным исходом для объекта, движущегося через облако, является потеря количества движения и энергии, как интуитивно описано выше, в общем случае это может быть либо потеря, либо прибыль. Когда рассматриваемое тело набирает импульс и энергию, тот же физический механизм называется эффектом рогатки или поддержкой силы тяжести. Этот метод иногда используется межпланетными зондами для увеличения скорости при приближении к планете.

Формула динамического трения Чандрасекара

Полная формула динамического трения Чандрасекара для изменения скорости объекта включает интегрирование по фазовой пространственной плотности поля материи и далеко не прозрачный. Формула динамического трения Чандрасекара читается как

dv M dt = - 16 π 2 ln ⁡ Λ G 2 m (M + m) 1 v M 3 ∫ 0 v M v 2 f (v) dvv M {\ displaystyle {\ гидроразрыв {d \ mathbf {v} _ {M}} {dt}} = - 16 \ pi ^ {2} \ ln \ Lambda G ^ {2} m (M + m) {\ frac {1} {v_ { M} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {v_ {M}} v ^ {2} f (v) dv \ mathbf {v} _ {M}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} _ {M}} {dt}} = - 16 \ pi ^ {2} \ ln \ Lambda G ^ {2} m (M + m) {\ frac {1} {v_ {M} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {v_ {M}} v ^ {2} f (v) dv \ mathbf {v} _ {M}}

где

$G { \ displaystyle G}$ $G$ - гравитационная постоянная
$M {\ displaystyle M}$ $M$ - рассматриваемая масса
$m {\ displaystyle m}$ $m$ - масса каждой звезды в звездном распределении.
$v M {\ displaystyle {v_ {M}}}$ ${v_ {M}}$ - скорость рассматриваемого объекта в кадре, где центр тяжести поля материи изначально находится в состоянии покоя
$ln (Λ) {\ displaystyle {\ t_dv {ln}} (\ Lambda)}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {ln }} (\ Lambda)}$ - "кулоновский логарифм "
$f (v) {\ displaystyle f (v)}$ $f (v)$ - распределение плотности звезд

Результатом уравнения является ускорение свободного падения, создаваемое на рассматриваемом объекте звездами или небесными телами. es, поскольку ускорение - это соотношение скорости и времени.

Распределение Максвелла

Обычно используется особый случай, когда в поле материи есть однородная плотность, при этом частицы вещества значительно легче, чем основная рассматриваемая частица, т. Е. $M ≫ m {\ displaystyle M \ gg m}$ ${\ displaystyle M \ gg m}$ и с распределением Максвелла для скорости частиц материи, т.е.

f (v) = N (2 π σ 2) 3 / 2 е - v 2 2 σ 2 {\ displaystyle f (v) = {\ frac {N} {(2 \ pi \ sigma ^ {2}) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {v ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

{\ displaystyle f (v) = {\ frac {N} {(2 \ pi \ sigma ^ {2}) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {v ^ {2} } {2 \ sigma ^ {2}}}}}

где $N {\ displaystyle N}$ $N$ - общее количество звезд, а $σ { \ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ - дисперсия. В этом случае формула динамического трения выглядит следующим образом:

$dv M dt = - 4 π ln ⁡ (Λ) G 2 ρ M v M 3 [erf (X) - 2 X π e - X 2] v M {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} _ {M}} {dt}} = - {\ frac {4 \ pi \ ln (\ Lambda) G ^ {2} \ rho M} {v_ {M } ^ {3}}} \ left [\ mathrm {erf} (X) - {\ frac {2X} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- X ^ {2}} \ right] \ mathbf { v} _ {M}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} _ {M}} {dt}} = - {\ frac {4 \ pi \ ln (\ Lambda) G ^ {2} \ rho M} {v_ {M} ^ {3}}} \ left [\ mathrm {erf} (X) - {\ frac {2X} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- X ^ {2}} \ right] \ mathbf {v} _ {M}}$

где

$X = v M / (2 σ) {\ displaystyle X = v_ {M} / ({\ sqrt {2}} \ sigma)}$ $X = v_ {M} / ({\ sqrt {2}} \ sigma)$ - отношение скорости рассматриваемого объекта к модальной скорости максвелловского распределения.
$erf (X) {\ displaystyle \ mathrm {erf} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {erf} (X)}$ - функция ошибок.
$ρ = m N {\ displaystyle \ rho = mN}$ ${\ displaystyle \ rho = mN}$ - плотность поля материи.

В общем, упрощенное уравнение силы от динамического трения имеет вид

$F dyn ≈ CG 2 M 2 ρ v M 2 {\ displaystyle F_ {dyn} \ приблизительно C {\ frac {G ^ {2} M ^ {2} \ rho} {v_ {M} ^ {2} }}}$ ${\ displaystyle F_ {dyn} \ приблизительно C {\ frac {G ^ {2} M ^ {2} \ rho} {v_ {M} ^ {2} }}}$

где безразмерный числовой коэффициент $C {\ displaystyle C}$ $C$ зависит от того, как $v M {\ di splaystyle v_ {M}}$ $v_ {M}$ сравнивает дисперсию скоростей окружающей материи. Но обратите внимание, что это упрощенное выражение расходится, когда $v M → 0 {\ displaystyle v_ {M} \ to 0}$ ${\ displaystyle v_ {M} \ to 0}$ ; Поэтому следует соблюдать осторожность при его использовании.

Плотность окружающей среды

Чем больше плотность окружающей среды, тем сильнее сила динамического трения. Точно так же сила пропорциональна квадрату массы объекта. Одно из этих условий связано с силой тяжести между объектом и следом. Второй член связан с тем, что чем массивнее объект, тем больше материи будет втягиваться в след. Сила также пропорциональна обратному квадрату скорости. Это означает, что доля потерь энергии быстро падает при высоких скоростях. Следовательно, динамическое трение не имеет значения для объектов, которые движутся релятивистски, например фотонов. Это можно рационализировать, понимая, что чем быстрее объект движется через среду, тем меньше времени остается для образования следа позади него.

Приложения

Динамическое трение особенно важно при образовании планетных систем и взаимодействии между галактиками.

Протопланеты

Во время формирования планетных систем динамическое трение между протопланетой и протопланетным диском вызывает передачу энергии от протопланеты к диск. Это приводит к внутренней миграции протопланеты.

Галактики

Когда галактики взаимодействуют посредством столкновений, динамическое трение между звездами заставляет материю опускаться к центру галактики, а орбиты звезд становятся случайными. Этот процесс называется насильственной релаксацией и может превратить две спиральные галактики в одну большую эллиптическую галактику.

Скопления галактик

Эффект динамического трения объясняет, почему самые яркие (более массивные) Галактика имеет тенденцию находиться около центра скопления галактик. Эффект столкновения двух тел замедляет галактику, и эффект сопротивления тем больше, чем больше масса галактики. Когда галактика теряет кинетическую энергию, она движется к центру скопления. Однако наблюдаемая дисперсия скоростей галактик внутри скопления галактик не зависит от массы галактик. Объяснение заключается в том, что скопление галактик релаксирует в результате сильной релаксации, которая устанавливает дисперсию скоростей на значение, не зависящее от массы галактики.

Фотоны

Фриц Цвикки предположил в 1929 году, что эффект гравитационного сопротивления фотонов может быть использован для объяснения космологического красного смещения как формы утомленного света. Однако его анализ имел математическую ошибку, и его приближение к величине эффекта фактически должно было быть нулевым, как указал в том же году Артур Стэнли Эддингтон. Цвикки сразу же признал исправление, хотя он продолжал надеяться, что полное лечение сможет показать эффект.

Теперь известно, что эффект динамического трения на фотоны или другие частицы, движущиеся с релятивистскими скоростями, незначителен, так как величина сопротивления обратно пропорциональна квадрату скорости. Космологическое красное смещение традиционно понимается как следствие метрического расширения пространства.