Свойство Данфорда – Петтиса

В функционале анализ, свойство Данфорд – Петтис, названное в честь Нельсона Данфорда и Б. Дж. Петтис, является свойством банахова пространства, утверждающим, что все слабо компактные операторы из этого пространства в другое банахово пространство полностью непрерывны. Этим свойством обладают многие стандартные банаховы пространства, в первую очередь пространство C (K) непрерывных функций на компакте и пространство L (μ) интегрируемых по Лебегу функций на измерить пространство. Александр Гротендик представил эту концепцию в начале 1950-х (Grothendieck 1953), после работы Данфорда и Петтиса, которые разработали более ранние результаты Шизуо Какутани, Кёсаку Ёсида и несколько других. Важные результаты были получены совсем недавно Жаном Бургеном. Тем не менее, свойство Данфорда – Петтиса до конца не изучено.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Контрпримеры
• 3 Примеры
• 4 Ссылки

Определение

Банахово пространство X обладает свойством Данфорда – Петтиса если любой непрерывный слабо компактный оператор T: X → Y из X в другое банахово пространство Y переводит слабо компактные множества в X в нормальные компактные множества в Y (такие операторы называются вполне непрерывными ). Важным эквивалентным определением является то, что для любых слабо сходящихся последовательностей (xn) X и (f n) двойного пространства X сходящиеся (слабо) к x и f последовательность f n(xn) сходится к f (x).

Контрпримеры

• Второе определение может поначалу показаться нелогичным, но рассмотрим ортонормированный базис e n бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства H. Тогда e n → 0 слабо, но для всех n,

$⟨en,\; en⟩\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; e\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; 1.\}$

Таким образом, разделимые бесконечномерные Гильбертовы пространства не могут обладать свойством Данфорда – Петтиса.

• Рассмотрим в качестве другого примера пространство L (−π, π), где 1

$⟨f\; n,\; x\; n⟩\; =\; \int \; -\; \pi \; \pi \; 1\; d\; x\; =\; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{n\},\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; 1\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\; =\; 2\; \backslash \; pi.\}$

• Вообще говоря, никакое бесконечномерное рефлексивное банахово пространство не может обладать свойством Данфорда – Петтиса. В частности, бесконечномерное гильбертово пространство и, в более общем смысле, пространства Lp с 1 < p < ∞ do not possess this property.

Примеры

• Если X является компактным хаусдорфовым пространством, то банахово пространство C (X) непрерывных функций с равномерной нормой обладает свойством Данфорда – Петтиса.

Ссылки

• Bourgain, Jean (1981), «О свойстве Данфорда – Петтиса», Труды Американского математического общества, 81 (2): 265–272, doi : 10.2307 / 2044207, JSTOR 2044207
• Гротендик, Александр (1953), "Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C (K)", Canadian Journal of Mathematics, 5 : 129–173, doi : 10.4153 / CJM-1953-017-4
• JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Лин, Пей-Ки (2004), Функциональные пространства Кёте-Бохнера, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3521 -1, OCLC 226084233
• Randrianantoanina, Narcisse (1997), «Некоторые замечания по t собственность Данфорда-Петтиса " (PDF), Rocky Mountain Journal of Mathematics, 27(4)