Подписаться

Свойство Данфорда – Петтиса

Последняя правка сделана 2021-05-18 06:21:31 Править

В функционале анализ, свойство Данфорд – Петтис, названное в честь Нельсона Данфорда и Б. Дж. Петтис, является свойством банахова пространства, утверждающим, что все слабо компактные операторы из этого пространства в другое банахово пространство полностью непрерывны. Этим свойством обладают многие стандартные банаховы пространства, в первую очередь пространство C (K) непрерывных функций на компакте и пространство L (μ) интегрируемых по Лебегу функций на измерить пространство. Александр Гротендик представил эту концепцию в начале 1950-х (Grothendieck 1953), после работы Данфорда и Петтиса, которые разработали более ранние результаты Шизуо Какутани, Кёсаку Ёсида и несколько других. Важные результаты были получены совсем недавно Жаном Бургеном. Тем не менее, свойство Данфорда – Петтиса до конца не изучено.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Контрпримеры
  • 3 Примеры
  • 4 Ссылки

Определение

Банахово пространство X обладает свойством Данфорда – Петтиса если любой непрерывный слабо компактный оператор T: X → Y из X в другое банахово пространство Y переводит слабо компактные множества в X в нормальные компактные множества в Y (такие операторы называются вполне непрерывными ). Важным эквивалентным определением является то, что для любых слабо сходящихся последовательностей (xn) X и (f n) двойного пространства X сходящиеся (слабо) к x и f последовательность f n(xn) сходится к f (x).

Контрпримеры

  • Второе определение может поначалу показаться нелогичным, но рассмотрим ортонормированный базис e n бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства H. Тогда e n → 0 слабо, но для всех n,
⟨en, en⟩ = 1. {\ displaystyle \ langle e_ {n}, e_ {n} \ rangle = 1.}{\ displaystyle \ langle e_ {n}, e_ {n} \ rangle = 1.}
Таким образом, разделимые бесконечномерные Гильбертовы пространства не могут обладать свойством Данфорда – Петтиса.
  • Рассмотрим в качестве другого примера пространство L (−π, π), где 1
⟨f n, x n⟩ = ∫ - π π 1 d x = 2 π. {\ displaystyle \ langle f_ {n}, x_ {n} \ rangle = \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} 1 \, {\ rm {d}} x = 2 \ pi.}{\ displaystyle \ langle f_ {n }, x_ {n} \ rangle = \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} 1 \, {\ rm {d}} x = 2 \ pi.}

Примеры

Ссылки

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: mail@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте