Интеграл Дюамеля

В теории колебаний, интеграл Дюамель является способом вычисления отклика линейных систем и структур для произвольного изменяющихся во время внешнего возмущения.

• 1 Введение
  • 1.1 Предпосылки
  • 1.2 Заключение
  • 1.3 Математическое доказательство
• 2 См. Также
• 3 ссылки
• 4 Внешние ссылки

Задний план

Отклик линейной системы с вязким демпфированием с одной степенью свободы (SDOF) на изменяющееся во времени механическое возбуждение p ( t ) дается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + c {\ frac {dx (t)} {dt}} + kx (t) = p (t)}$

где m - (эквивалентная) масса, x - амплитуда колебаний, t - время, c - коэффициент вязкого демпфирования, а k - жесткость системы или конструкции.

Если система изначально находится в положении равновесия, откуда на нее воздействует единичный импульс в момент t = 0, то есть p ( t ) в приведенном выше уравнении является дельта-функцией Дирака δ ( t ), то решая дифференциальное уравнение, можно получить фундаментальное решение (известное как функция отклика единичного импульса) ${\ textstyle x (0) = \ left. {\ frac {dx} {dt}} \ right | _ {t = 0} = 0}$

${\ displaystyle h (t) = {\ begin {case} {\ frac {1} {m \ omega _ {d}}} e ^ {- \ varsigma \ omega _ {n} t} \ sin \ omega _ { d} t, amp; tgt; 0 \\ 0, amp; t lt;0 \ end {case}}}$

где называется коэффициентом демпфирования системы, - собственная угловая частота незатухающей системы (когда c = 0) и - круговая частота с учетом демпфирующего эффекта (когда). Если импульс происходит при t = τ вместо t = 0, т. Е. Импульсная характеристика равна ${\ textstyle \ varsigma = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {км}}}}}$ ${\ textstyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ ${\ textstyle \ omega _ {d} = \ omega _ {n} {\ sqrt {1- \ varsigma ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$${\ Displaystyle р (т) = \ дельта (т- \ тау)}$

${\ displaystyle h (t- \ tau) = {\ frac {1} {m \ omega _ {d}}} e ^ {- \ varsigma \ omega _ {n} (t- \ tau)} \ sin [\ омега _ {d} (t- \ tau)]}$ ， ${\ Displaystyle т \ geq \ тау}$

Заключение

Рассматривая произвольно изменяющееся возбуждение p ( t ) как суперпозицию серии импульсов:

${\ Displaystyle п (т) \ приблизительно \ сумма _ {\ тау lt;т} {п (\ тау) \ CDOT \ Дельта \ тау \ CDOT \ дельта} (т- \ тау)}$

тогда из линейности системы известно, что общий отклик также может быть разбит на суперпозицию серии импульсных откликов:

${\ Displaystyle х (т) \ приблизительно \ сумма _ {\ тау lt;т} {п (\ тау) \ CDOT \ Дельта \ тау \ CDOT ч} (т- \ тау)}$

Допуская и заменяя суммирование интегрированием, приведенное выше уравнение строго справедливо. ${\ displaystyle \ Delta \ tau \ to 0}$

${\ Displaystyle х (т) = \ int _ {0} ^ {т} {п (\ тау) ч (т- \ тау) д \ тау}}$

Подстановка выражения h ( t - τ ) в приведенное выше уравнение приводит к общему выражению интеграла Дюамеля

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {m \ omega _ {d}}} \ int _ {0} ^ {t} {p (\ tau) e ^ {- \ varsigma \ omega _ { n} (t- \ tau)} \ sin [\ omega _ {d} (t- \ tau)] d \ tau}}$

Математическое доказательство

Приведенное выше уравнение динамического равновесия SDOF в случае p ( t ) = 0 является однородным уравнением :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + {\ bar {c}} {\ frac {dx (t)} {dt}} + {\ bar {k}} x (t) = 0}$, где ${\ displaystyle {\ bar {c}} = {\ frac {c} {m}}, {\ bar {k}} = {\ frac {k} {m}}}$

Решение этого уравнения:

${\ displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar { c}} ^ {2} -4 \ cdot {\ bar {k}}}} \ right) t} + C_ {2} \ cdot e ^ {{\ frac {1} {2}} \ left (- { \ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 \ cdot {\ bar {k}}}} \ right) t}}$

Замена: приводит к: ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar {c}} - {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k}}) }} \ right), \; B = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k}}}} \ right), \; P = {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k}}}}, \; P = BA}$

${\ displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} e ^ {- B \ cdot t} \; + \; C_ {2} e ^ {- A \ cdot t}}$

Одно частное решение неоднородного уравнения:, где, может быть получено методом Лагранжа для получения частного решения неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений. ${\ textstyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + {\ bar {c}} {\ frac {dx (t)} {dt}} + {\ bar {k}} x (t) = {\ bar {p}} (t)}$${\ textstyle {\ bar {p}} (t) = {\ frac {p (t)} {m}}}$

Это решение имеет вид:

${\ displaystyle x_ {p} (t) = {\ frac {\ int {{\ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {At} dt} \ cdot e ^ {- At} - \ int {{ \ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {Bt} dt} \ cdot e ^ {- Bt}} {P}}}$

Подставляя теперь: где является примитивным из й ( т), вычисленных при т = г, в случае г = т этого интеграл примитивных сам по себе, дает: ${\ textstyle \ left. \ int {{\ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {At} dt} \ right | _ {t = z} = Q_ {z}, \ left. \ int {{ \ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {Bt} dt} \ right | _ {t = z} = R_ {z}}$${\ textstyle \ left. \ int x (t) dt \ right | _ {t = z}}$

${\ displaystyle x_ {p} (t) = {\ frac {Q_ {t} \ cdot e ^ {- At} -R_ {t} \ cdot e ^ {- Bt}} {P}}}$

Наконец, общее решение вышеупомянутого неоднородного уравнения представляется как:

${\ displaystyle x (t) = x_ {h} (t) + x_ {p} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {- Bt} + C_ {2} \ cdot e ^ {- At} + {\ frac {Q_ {t} \ cdot e ^ {- At} -R_ {t} \ cdot e ^ {- Bt}} {P}}}$

с производной по времени:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = - Ae ^ {- At} \ cdot C_ {2} -Be ^ {- Bt} \ cdot C_ {1} + {\ frac {1} {P} } \ left [{\ dot {Q_ {t}}} \ cdot e ^ {- At} -AQ_ {t} \ cdot e ^ {- At} - {\ dot {R_ {t}}} \ cdot e ^ {-Bt} + BR_ {t} \ cdot e ^ {- Bt} \ right]}$, где ${\ displaystyle {\ dot {Q_ {t}}} = p (t) \ cdot e ^ {At}, {\ dot {R_ {t}}} = p (t) \ cdot e ^ {Bt}}$

Для нахождения неизвестных констант будут применяться нулевые начальные условия: ${\ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$

${\ displaystyle x (t) | _ {t = 0} = 0: C_ {1} + C_ {2} + {\ frac {Q_ {0} \ cdot 1-R_ {0} \ cdot 1} {P} } = 0}$ ⇒ ${\ displaystyle C_ {1} + C_ {2} = {\ frac {R_ {0} -Q_ {0}} {P}}}$

${\ displaystyle \ left. {\ frac {dx} {dt}} \ right | _ {t = 0} = 0: -A \ cdot C_ {2} -B \ cdot C_ {1} + {\ frac {1 } {P}} \ cdot [-A \ cdot Q_ {0} + B \ cdot R_ {0}] = 0}$ ⇒ ${\ Displaystyle A \ cdot C_ {2} + B \ cdot C_ {1} = {\ frac {1} {P}} \ cdot [B \ cdot R_ {0} -A \ cdot Q_ {0}]}$

Теперь, объединив оба начальных условия вместе, наблюдается следующая система уравнений:

${\ displaystyle \ left. {\ begin {alignat} {5} C_ {1} amp;amp; \; + amp;amp; \; C_ {2} amp;amp; \; = amp;amp; \; {\ frac {R_ {0} -Q_ {0} } {P}} amp; \\ B \ cdot C_ {1} amp;amp; \; + amp;amp; \; A \ cdot C_ {2} amp;amp; \; = amp;amp; \; {\ frac {1} {P}} \ cdot [B \ cdot R_ {0} -A \ cdot Q_ {0}] \ end {alignat}} \ right | {\ begin {alignat} {5} C_ {1} amp;amp; \; = amp;amp; \; {\ frac {R_ { 0}} {P}} amp; \\ C_ {2} amp;amp; \; = amp;amp; \; - {\ frac {Q_ {0}} {P}} \ end {alignat}}}$

Обратная подстановка констант и в приведенное выше выражение для x ( t) дает: ${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {Q_ {t} -Q_ {0}} {P}} \ cdot e ^ {- A \ cdot t} - {\ frac {R_ {t} -R_ {0}) }} {P}} \ cdot e ^ {- B \ cdot t}}$

Замена и (разница между примитивами при t = t и t = 0) определенными интегралами (другой переменной τ) даст общее решение с нулевыми начальными условиями, а именно: ${\ displaystyle Q_ {t} -Q_ {0}}$${\ displaystyle R_ {t} -R_ {0}}$

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {P}} \ cdot \ left [\ int _ {0} ^ {t} {{\ bar {p}} (\ tau) \ cdot e ^ { A \ tau} d \ tau} \ cdot e ^ {- At} - \ int _ {0} ^ {t} {{\ bar {p}} (\ tau) \ cdot e ^ {B \ tau} d \ tau} \ cdot e ^ {- Bt} \ right]}$

Наконец, подставив, соответственно, где ξ lt;1, получим: ${\ Displaystyle с = 2 \ хи \ омега м, \; к = \ омега ^ {2} м}$${\ displaystyle {\ bar {c}} = 2 \ xi \ omega, {\ bar {k}} = \ omega ^ {2}}$

${\ Displaystyle P = 2 \ omega _ {D} i, \; A = \ xi \ omega - \ omega _ {D} i, \; B = \ xi \ omega + \ omega _ {D} i}$, Где и я это мнимая единица. ${\ displaystyle \ omega _ {D} = \ omega \ cdot {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}$

Подстановка этих выражений в приведенное выше общее решение с нулевыми начальными условиями и использование экспоненциальной формулы Эйлера приведет к сокращению мнимых членов и обнаружит решение Дюамеля:

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ omega _ {D}}} \ int _ {0} ^ {t} {{\ bar {p}} (\ tau) e ^ {- \ xi \ omega (t- \ tau)} \ sin (\ omega _ {D} (t- \ tau)) d \ tau}}$

• Принцип Дюамеля

• Клаф Р.В., Пензиен Дж. Динамика структур, Mc-Graw Hill Inc., Нью-Йорк, 1975.
• Анил К. Чопра, Динамика конструкций - теория и приложения к инженерии землетрясений, Pearson Education Asia Limited и Tsinghua University Press, Пекин, 2001 г.
• Леонард Мейрович, Элементы анализа вибрации, Mc-Graw Hill Inc., Сингапур, 1986

• Формула Дюамеля в "Dispersive Wiki".