Двойная решетка

В математике, особенно в геометрии, двойная решетка в ℝ - это дискретная подгруппа группы евклидовых движений, состоящая только из переводов и точечные отражения и такие, что подгруппа трансляций является решеткой. Орбита любой точки под действием двойной решетки представляет собой объединение двух решеток Браве, связанных друг с другом посредством точечного отражения. Двойная решетка в двух измерениях - это группа обоев p2 . В трех измерениях двойная решетка - это пространственная группа типа 1, как обозначено международной нотацией.

Самая известная упаковка равных по размеру правильных пятиугольников на Плоскость представляет собой структуру с двойной решеткой, которая покрывает 92,131% плоскости.

Упаковка, которую можно описать как орбита тела под действием двойной решетки, называется двойной решеткой. Во многих случаях самая высокая известная плотность упаковки для тела достигается двойной решеткой. Примеры включают правильный пятиугольник, семиугольник и неугольник и равностороннюю треугольную бипирамиду. Влодзимеж Куперберг и Грег Куперберг показал, что все выпуклые плоские тела могут упаковываться при плотности не менее √3 / 2 за счет использования двойной решетки.

В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлз и Wöden Kusner объявили доказательство того, что двойная решетчатая упаковка правильного пятиугольника (которую они называют упаковкой «пятиугольного ледяного луча» и которую они прослеживают до работы китайских мастеров в 1900 году) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок. правильных пятиугольников в плоскости. По состоянию на 2020 год их доказательства еще не рецензировались и не публиковались.