Модель Диксита – Стиглица

редактировать

Модель Диксита – Стиглица - это модель монополистической конкуренции, разработанная Авинашем Дикситом и Джозефом Стиглицем ( 1977). Он использовался во многих областях экономики, включая макроэкономику, экономическую географию и теорию международной торговли. Модель стремится формализовать предпочтения потребителей в отношении разнообразия продуктов с помощью типичной функции CES. Предыдущие попытки предоставить модель, которая учитывала предпочтение разнообразия (например, Harold Hotelling Location model ) были косвенными и не смогли предоставить легко интерпретируемую и удобную форму для дальнейшего изучения. Модель Диксита-Стиглица утверждает, что предпочтение разнообразия уже заложено в предположении монотонных предпочтений, поскольку потребитель с такими предпочтениями предпочитает иметь среднее значение для любых двух наборов товаров, а не крайности. Модель является стандартной для многих программ бакалавриата Промышленная организация и служит эталоном для анализа предпочтений потребителей, но из-за большого количества предположений модель имеет больше теоретических значений, чем практических.

Математический вывод

Модель Диксита-Стиглица начинается со стандартной функции полезности CES :

$u = [∑ i = 1 N xi σ - 1 σ] σ σ - 1 {\ Displaystyle и = [\ сумма _ {я = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}] ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}$ ${\ displaystyle u = [\ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac { \ sigma -1} {\ sigma}}] ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}$

где N - количество товаров на рынке, x i - товар на рынке, а σ - эластичность замещения. Установка ограничения на σ, равного σ>1, гарантирует, что предпочтения будут выпуклыми и, следовательно, монотонными для любого диапазона оптимизации. Кроме того, все функции CES являются однородными степени 1 и поэтому представляют гомотетические предпочтения.

Кроме того, у потребителя есть бюджетный набор, определяемый:

$В = {х: ∑ я = 1 N pixi ≤ M} {\ displaystyle B = \ {{\ boldsymbol {x}}: \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} x_ {i } \ leq M \}}$ ${\ displaystyle B = \ {{\ boldsymbol {x}}: \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i } x_ {i} \ leq M \}}$

Для любого рационального потребителя цель состоит в том, чтобы максимизировать свои функции полезности с учетом его бюджетного ограничения (M), которое установлено экзогенно. Такой процесс позволяет нам рассчитать потребителей Маршалловские потребности. Математически это означает, что потребитель работает над достижением:

$max {u = [∑ i = 1 N x i σ - 1 σ] σ σ - 1} s t. Икс ϵ В {\ Displaystyle \ макс \ {и = [\ сумма _ {я = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}] ^ {\ frac { \ sigma} {\ sigma -1}} \} \ st. \ {\ boldsymbol {x}} \ epsilon B}$ ${\ displaystyle \ max \ {u = [\ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}] ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}} \} \ st. \ {\ boldsymbol {x}} \ epsilon B}$

Поскольку служебные функции имеют порядковый номер, а не кардинал любое монотонное преобразование функции полезности по-прежнему представляет те же предпочтения. Следовательно, указанная выше задача оптимизации с ограничениями аналогична:

$max {u = ∑ i = 1 N x i σ - 1 σ} s t. Икс ϵ В {\ displaystyle \ max \ {u = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \} \ st. \ { \ boldsymbol {x}} \ epsilon B}$ ${\ displaystyle \ max \ {u = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} { \ sigma}} \} \ st. \ {\ boldsymbol {x}} \ epsilon B}$

, поскольку $f (u) = u σ - 1 σ {\ displaystyle f (u) = u ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma} }}$ ${\ displaystyle f (u) = u ^ {\ frac {\ sigma - 1} {\ sigma}}}$ строго убывает.

Используя множитель Лагранжа, мы можем преобразовать указанную выше прямую задачу в двойственную ниже (см. Двойственность )

$∇ = ∑ i = 1 N xi σ - 1 σ - λ [∑ я = 1 N pixi - M] {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} - \ лямбда [\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} x_ {i} -M]}$ ${\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} - \ lambda [\ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} x_ {i} -M]}$

Принятие условий первого заказа двух товаров x i и x j имеем

$∇ xi = σ - 1 σ xi - 1 σ - λ pi = 0 {\ displaystyle \ nabla x_ {i} = {\ frac {\ sigma -1} { \ sigma}} x_ {i} ^ {- {\ frac {1} {\ sigma}}} - \ lambda p_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla x_ {i} = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} x_ {i} ^ {- {\ frac {1} {\ sig ma}}} - \ lambda p_ {i} = 0}$

$∇ xj = σ - 1 σ xj - 1 σ - λ pj = 0 {\ displaystyle \ nabla x_ {j} = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} x_ {j} ^ {- {\ frac {1} {\ sigma}}} - \ lambda p_ { j} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla x_ {j} = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} x_ {j} ^ {- {\ frac {1} {\ sigma}}} - \ лямбда p_ {j} = 0}$

разделение на:

$(xixj) - 1 σ = pipj {\ displaystyle ({\ frac {x_ {i}} {x_ {j}}}) ^ {- {\ frac { 1} {\ sigma}}} = {\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}}}$ ${\ displaystyle ({\ frac {x_ {i}} {x_ {j}}}) ^ {- {\ frac {1} {\ sigma }}} = {\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}}}$

таким образом,

$pjxj = pi σ xipj σ - 1 {\ displaystyle p_ {j} x_ {j} = p_ {i} ^ {\ sigma} x_ {i} p_ {j} ^ {\ sigma -1}}$ ${\ displaystyle p_ {j} x_ {j} = p_ {i} ^ {\ sigma} x_ {i} p_ {j} ^ {\ sigma -1}}$

суммируя левую и правую части над 'j' и используя тот факт, что $∑ j = 1 N pjxj = M {\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N} p_ {j} x_ {j} = M}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N} p_ {j} x_ {j} = M}$ мы имеем

$M = pi σ xi P {\ displaystyle M = p_ {i} ^ {\ sigma} x_ {i} P}$ ${\ displaystyle M = p_ {i} ^ {\ sigma} x_ {i} P}$

, где P - индекс цен, представленный как $P = ∑ j = 1 N pj σ - 1 {\ displaystyle P = \ sum _ {j = 1} ^ {N} p_ {j} ^ {\ sigma -1}}$ ${\ displaystyle P = \ sum _ {j = 1 } ^ {N} p_ {j} ^ {\ sigma -1}}$

Следовательно, маршаллианская функция спроса равна :

$xi = MP pi - σ {\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {M} {P}} p_ {i} ^ {- \ sigma}}$ ${\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {M} {P}} p_ {i} ^ {- \ sigma}}$

При монополистической конкуренции, где товары почти идеальные заменители, цены, скорее всего, будут относительно близкими. Следовательно, предполагая $pi = p {\ displaystyle p_ {i} = p}$ ${\ displaystyle p_ {i} = p}$ , мы имеем:

$xim (p, M) = MN p {\ displaystyle x_ {i} ^ {m } ({\ mathbf {p}}, M) = {\ frac {M} {Np}}}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} ({\ mathbf {p}}, M) = {\ frac {M} {Np}}}$

Отсюда мы видим, что косвенная функция полезности будет иметь вид

$v (п, xim) знак равно (∑ я знак равно 1 N (MN p) σ - 1 σ) σ σ - 1 {\ displaystyle v ({\ mathbf {p}}, x_ {i} ^ {m}) = ( \ sum _ {i = 1} ^ {N} ({\ frac {M} {Np}}) ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}) ^ {\ frac {\ sigma} {\ сигма -1}}}$ ${\ displaystyle v ({\ mathbf {p}}, x_ {i} ^ {m}) = (\ sum _ {i = 1 } ^ {N} ({\ frac {M} {Np}}) ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}$

следовательно,

$v (p, xim) = M p N 1 σ - 1 {\ displaystyle v ({\ mathbf {p}}, x_ {i} ^ {m}) = {\ frac {M} {p}} N ^ {\ frac {1} {\ sigma -1}}}$ ${\ displaystyle v ({\ mathbf {p}}, x_ {i} ^ {m}) = {\ frac {M} {p}} N ^ {\ frac {1} {\ sigma -1}}}$

, поскольку σ>1, мы обнаруживаем, что полезность строго возрастает в N, что означает, что положение потребителей строго лучше по мере увеличения разнообразия, то есть количества предлагаемых товаров.

Ссылки

Дополнительная литература

Бракман, Стивен; Хейдра, Бен Дж., Ред. (2001). Революция монополистической конкуренции в ретроспективе. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81991-1.