Диссипативный солитон

Диссипативные солитоны (ДС) - это устойчивые уединенные локализованные структуры, возникающие в нелинейных пространственно-протяженных диссипативных системах за счет механизмов самоорганизации. Их можно рассматривать как расширение классической концепции солитона в консервативных системах. Альтернативная терминология включает автосолитоны, пятна и импульсы.

Помимо аспектов, аналогичных поведению классических частиц, таких как образование связанных состояний, ДС демонстрируют интересное поведение - например, рассеяние, создание и аннигиляция - все без ограничений, связанных с сохранением энергии или импульса. Возбуждение внутренних степеней свободы может приводить к динамически стабилизированной собственной скорости или периодическим колебаниям формы.

Содержание

• 1 Историческое развитие
  • 1.1 Происхождение концепции солитона
  • 1.2 Слабые и сильно диссипативные системы
• 2 Экспериментальные наблюдения ДС
• 3 Теоретическое описание ДС
• 4 Свойства частиц и универсальность
• 5 См. также
• 6 Ссылки
  • 6.1 Inline
  • 6.2 Книги и обзорные статьи

Историческое развитие

Происхождение концепции солитона

DS имеют экспериментально наблюдались уже давно. Гельмгольц измерил скорость распространения нервных импульсов в 1850 году. В 1902 году Леман обнаружил образование локализованных анодных пятен в длинных газоразрядных трубках. Тем не менее, термин «солитон» изначально разрабатывался в другом контексте. Отправной точкой было экспериментальное обнаружение «уединенных волн на воде» Расселом в 1834 году. Эти наблюдения положили начало теоретической работе Рэлея и Буссинеска около 1870 года, которые наконец, привело к приблизительному описанию таких волн Кортевегом и де Фризом в 1895 г.; это описание известно сегодня как (консервативное) KdV уравнение.

На этом фоне термин «солитон » был придуман Забуским и Крускал в 1965 г. Эти авторы исследовали некоторые хорошо локализованные уединенные решения уравнения КдФ и назвали эти объекты солитонами. Среди прочего они продемонстрировали, что в одномерном пространстве существуют солитоны, например в виде двух однонаправленно распространяющихся импульсов с разным размером и скоростью и демонстрирующих замечательное свойство, заключающееся в том, что количество, форма и размер одинаковы до и после столкновения.

Gardner et al. представил метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ и доказал, что это уравнение полностью интегрируемо. В 1972 году Захаров и Шабат нашли другое интегрируемое уравнение, и в конце концов выяснилось, что метод обратной задачи рассеяния может успешно применяться к целому классу уравнений (например, нелинейным уравнениям Шредингера и уравнения синус-Гордона ). С 1965 по 1975 год было достигнуто общее соглашение: оставить термин солитон для импульсных уединенных решений консервативных нелинейных уравнений в частных производных, которые могут быть решены с помощью метода обратной задачи рассеяния.

Системы с низкой и сильной диссипацией

С расширением знаний о классических солитонах появилась возможность технической применимости, наиболее многообещающей в настоящее время является передача оптических солитонов через стеклянные волокна. для передачи данных. В отличие от консервативных систем солитоны в световодах рассеивают энергию, и этим нельзя пренебрегать в промежуточных и больших временных масштабах. Тем не менее, понятие классического солитона все еще можно использовать в том смысле, что на коротком временном масштабе диссипацией энергии можно пренебречь. В промежуточном масштабе времени нужно учитывать малые потери энергии как возмущение, а на большом масштабе амплитуда солитона будет затухать и, наконец, исчезнуть.

Однако существуют различные типы систем, которые способны создания уединенных структур, в которых диссипация играет важную роль в их формировании и стабилизации. Хотя исследования некоторых типов этих ДС проводились в течение длительного времени (например, см. Исследования нервных импульсов, кульминацией которых стала работа Ходжкина и Хаксли в 1952 г.), с 1990 г. объем исследований значительно увеличилось (см., например). Возможными причинами являются усовершенствованные экспериментальные устройства и аналитические методы, а также наличие более мощных компьютеров для численных расчетов. В настоящее время для уединенных структур в сильно диссипативных системах принято использовать термин диссипативные солитоны.

Экспериментальные наблюдения DS

Сегодня DS можно найти во многих различных экспериментальных установках. Примеры включают

• газоразрядные системы : плазма, заключенные в разрядное пространство, которое часто имеет большую боковую протяженность по сравнению с основной длиной разряда. ДС возникают в виде нитей тока между электродами и были обнаружены в системах постоянного тока с высокоомным барьером, системах переменного тока с диэлектрическим барьером и в качестве анодных пятен, а также в замкнутом разряде с металлическими электродами.

• ДС наблюдались экспериментально. в планарных газоразрядных системах постоянного тока с высокоомным барьером
• 

  Распределение средней плотности тока без колебательных хвостов.

• 

  Усредненное распределение плотности тока с колебательными хвостами.

• Полупроводниковые системы: они похожи на газоразрядные; однако вместо газа полупроводниковый материал зажат между двумя плоскими или сферическими электродами. Установки включают Si и GaAs pin-диоды, n-GaAs и Si p − n − p − n, а также структуры ZnS: Mn.
• Нелинейные оптические системы : световой луч высокая интенсивность взаимодействует с нелинейной средой. Обычно среда реагирует на довольно медленных временных масштабах по сравнению со временем распространения луча. Часто выходной сигнал возвращается во входную систему через одинарную обратную связь или контур обратной связи. DS могут возникать как яркие пятна в двумерной плоскости, ортогональной направлению распространения луча; однако можно также использовать другие эффекты, такие как поляризация. DS наблюдались для насыщающихся поглотителей, вырожденных параметрических генераторов света (DOPO), жидкокристаллических световых клапанов (LCLV), систем с парами щелочных металлов, фоторефрактивных среды и полупроводниковых микрорезонаторов.
• Если учесть векторные свойства DS, то можно также наблюдать в волоконном лазере с пассивной синхронизацией мод через насыщающийся поглотитель,
• Кроме того, многоволновой диссипативный был получен солитон в волоконном лазере с полной нормальной дисперсией, пассивно синхронизирующим моды с SESAM. Подтверждено, что в зависимости от двойного лучепреломления резонатора в лазере может формироваться устойчивый одно-, двух- и трехволновый диссипативный солитон. Механизм его генерации можно проследить до природы диссипативного солитона.
• Химические системы: реализованные в виде одно- и двумерных реакторов или через каталитические поверхности, ДС проявляются как импульсы (часто как распространяющиеся импульсы) повышенной концентрация или температура. Типичными реакциями являются реакция Белоусова – Жаботинского, ферроцианид-йодат-сульфитная реакция, а также окисление водорода, CO или железа. Нервные импульсы или мигренозные волны ауры также относятся к этого класса систем.
• Вибрирующая среда: вертикально встряхиваемая гранулированная среда, коллоидные суспензии и ньютоновские жидкости создают гармонически или субгармонически колеблющиеся груды материала, которые обычно называемые осциллонами.
• Гидродинамические системы : наиболее заметной реализацией ДС являются области конвективных валков на проводящем фоновом состоянии в бинарных жидкостях. Другой пример - волочение пленки во вращающейся цилиндрической трубе, заполненной маслом.
• Электрические сети: большие одномерные или двумерные массивы связанных ячеек с нелинейной вольт-амперной характеристикой. DS характеризуются локально повышенным током через клетки.

Примечательно, что феноменологически динамика DS во многих из вышеупомянутых систем схожа, несмотря на микроскопические различия. Типичными наблюдениями являются (собственное) распространение, рассеяние, образование связанных состояний и кластеров, дрейф градиентов, взаимопроникновение, генерация и аннигиляция, а также более высокие нестабильности.

Теоретическое описание DS

Большинство систем, показывающих DS, описываются нелинейными уравнениями в частных производных. Также используются дискретно-разностные уравнения и клеточные автоматы. До сих пор моделирование, основанное на первых принципах, с последующим количественным сравнением эксперимента и теории выполнялось очень редко и иногда также представляло серьезные проблемы из-за больших расхождений между микроскопическими и макроскопическими временными и пространственными масштабами. Часто исследуются упрощенные модели-прототипы, которые отражают основные физические процессы в более широком классе экспериментальных систем. Среди них

• Реакционно-диффузионные системы, используемые для химических систем, газоразрядных и полупроводниковых материалов. Эволюция вектора состояния q(x, t), описывающего концентрацию различных реагентов, определяется диффузией, а также локальными реакциями:

$\partial \; t\; q\; =\; D\; \_\; \Delta \; q\; +\; R\; (q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; =\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{D\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; (\{\backslash \; жирный\; символ\; \{q\}\}).\}$

Часто встречающимся примером является двухкомпонентная система активатор-ингибитор типа Фитцхью – Нагумо

$(\tau \; u\; \partial \; tu\; \tau \; v\; \partial \; tv)\; =\; (du\; 2\; 0\; 0\; dv\; 2)\; (\Delta \; u\; \Delta \; v)\; +\; (\lambda \; u\; -\; u\; 3\; -\; \kappa \; 3\; v\; +\; \kappa \; 1\; u\; -\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; \backslash \; tau\; \_\; \{u\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; u\; \backslash \backslash \backslash \; tau\; \_\; \{v\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; v\; \backslash \; end\; \{\; массив\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; d\_\; \{u\}\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; d\_\; \{v\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; \backslash \; Delta\; u\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; v\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; \backslash \; lambda\; uu\; ^\; \{3\}\; -\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; v\; +\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; uv\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right).\}$

Стационарные DS образуются путем производства материала в центре DS, диффузионного переноса в хвосты и истощения материал в хвостах. Распространяющийся импульс возникает в результате образования на переднем конце и истощения на заднем конце. Среди других эффектов обнаруживаются периодические колебания ДС («дыхание»), связанных состояний и столкновений, слияние, генерация и аннигиляция.

• Системы типа Гинзбурга – Ландау для комплексного скаляра q (x, t) используется для описания нелинейных оптических систем, плазмы, конденсации Бозе-Эйнштейна, жидких кристаллов и гранулированных сред. Часто встречающимся примером является кубико-квинтическое подкритическое уравнение Гинзбурга – Ландау

$\partial \; t\; q\; =\; (d\; r\; +\; i\; d\; i)\; \Delta \; q\; +\; \ell \; r\; q\; +\; (c\; r\; +\; i\; c\; i)\; |\; q\; |\; 2\; q\; +\; (q\; r\; +\; i\; q\; i)\; |\; q\; |\; 4\; кв.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; q\; =\; (d\_\; \{r\}\; +\; id\_\; \{i\})\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; q\; +\; \backslash \; ell\; \_\; \{r\}\; q\; +\; (c\_\; \{r\}\; +\; ic\_\; \{i\})\; |\; q\; |\; ^\; \{\; 2\}\; q\; +\; (q\_\; \{r\}\; +\; iq\_\; \{i\})\; |\; q\; |\; ^\; \{4\}\; q.\}$

Чтобы понять механизмы, приводящие к образованию DS, можно рассмотреть энергию ρ = | q | для которого можно вывести уравнение неразрывности

$\partial \; t\; \rho \; +\; \nabla \; \cdot \; m\; =\; S\; =\; dr\; (q\; \Delta \; q\; \ast \; +\; q\; \ast \; \Delta \; q)\; +\; 2\; \ell \; r\; \rho \; +\; 2\; cr\; \rho \; 2\; +\; 2\; qr\; \rho \; 3\; с\; m\; =\; 2\; di\; Im\; \; (q\; \ast \; \nabla \; q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; rho\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{m\}\}\; =\; S\; =\; d\_\; \{r\}\; (q\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; q\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; +\; q\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; q)\; +2\; \backslash \; ell\; \_\; \{r\}\; \backslash \; rho\; +\; 2c\_\; \{r\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; +\; 2q\_\; \{r\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{m\}\}\; =\; 2d\_\; \{i\}\; \backslash \; operatorname\; \{Im\}\; (q\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; \backslash \; nabla\; q).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, можно показать, что энергия обычно производятся на флангах DS и транспортируются в центр и, возможно, в хвосты, где они истощаются. К динамическим явлениям относятся распространение ДС в 1d, распространение кластеров в 2d, связанные состояния и вихревые солитоны, а также «взрывающиеся ДС».

• Уравнение Свифта – Хоэнберга используется в нелинейной оптике и в гранулярной оптике. медиадинамика пламени или электроконвекции. Свифта – Хоэнберга можно рассматривать как расширение уравнения Гинзбурга – Ландау. Его можно записать как

$\partial \; t\; q\; =\; (s\; r\; +\; i\; s\; i)\; \Delta \; 2\; q\; +\; (d\; r\; +\; i\; d\; i)\; \Delta \; q\; +\; \ell \; r\; q\; +\; (c\; r\; +\; i\; c\; i)\; |\; q\; |\; 2\; q\; +\; (q\; r\; +\; i\; q\; i)\; |\; q\; |\; 4\; кв.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; q\; =\; (s\_\; \{r\}\; +\; is\_\; \{i\})\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; ^\; \{2\}\; q\; +\; (d\_\; \{r\}\; +\; id\_\; \{i\})\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; q\; +\; \backslash \; ell\; \_\; \{r\}\; q\; +\; (c\_\; \{r\}\; +\; ic\_\; \{i\})\; |\; q\; |\; ^\; \{2\}\; q\; +\; (q\_\; \{r\}\; +\; iq\_\; \{i\})\; |\; q\; |\; ^\; \{4\}\; q.\}$

Для d r>0 здесь, по сути, те же механизмы, что и в уравнении Гинзбурга – Ландау. Для d r< 0, in the real Swift–Hohenberg equation one finds bistability between homogeneous states and Turing patterns. DSs are stationary localized Turing domains on the homogeneous background. This also holds for the complex Swift–Hohenberg equations; however, propagating DSs as well as interaction phenomena are also possible, and observations include merging and interpenetration.

• Пространственно-временные графики, показывающие динамику и взаимодействие ДС как численные решения приведенных выше уравнений модели в одном пространственном измерении
• 

  Одиночная «дышащая» ДС как решение двухкомпонентной системы реакции-диффузии с активатором u (левая половина) и ингибитор v (правая половина).

• 
• 

Свойства частиц и универсальность

ДС во многих различных системах проявляют универсальные свойства частиц. Чтобы понять и описать последнее, можно попытаться вывести «уравнения частиц» для медленно меняющихся параметров порядка, таких как положение, скорость или амплитуда DS, адиабатически исключив все быстрые переменные в описании поля. Этот метод известен из линейных систем, однако математические проблемы возникают из нелинейных моделей из-за связи быстрых и медленных мод.

Подобно низкоразмерным динамическим системам, для сверхкритических бифуркаций стационарных ДС можно найти характерную нормальную формируется в основном в зависимости от симметрии системы. Например, для перехода от симметричной стационарной к собственно распространяющейся ДС можно найти нормальную форму виловых вил

$v\; \dot{}\; =\; (\sigma \; -\; \sigma \; 0)\; v\; -\; |\; v\; |\; 2\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\}\; =\; (\backslash \; sigma\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; -\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\}$

для скорости v ДС, здесь σ представляет параметр бифуркации, а σ 0 точку бифуркации. Для бифуркации к «дышащей» ДС находим нормальную форму Хопфа

$A\; \dot{}\; =\; (\sigma \; -\; \sigma \; 0)\; A\; -\; |\; А\; |\; 2\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{A\}\}\; =\; (\backslash \; sigma\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; A-\; |\; A\; |\; ^\; \{2\}\; A\}$

для амплитуды A колебаний. Также можно рассматривать «слабое взаимодействие», если перекрытие DS не слишком велико. Таким образом, упрощается сравнение эксперимента и теории. Отметим, что указанные выше проблемы не возникают для классических солитонов, поскольку теория обратной задачи рассеяния дает полные аналитические решения.

См. Также

• Солитон
• Векторный солитон
• Волоконный лазер
• Нелинейная система
• Compacton, солитон с компактной опорой
• Clapotis
• Freak waves может быть связанным явлением.
• Осциллон
• Пикон, солитон с недифференцируемым пиком.
• Q-ball нетопологический солитон
• Солитон (топологический).
• Солитон (оптика)
• Солитонная модель распространения нервного импульса
• Уединенные волны в дискретных средах [1]
• Топологическое квантовое число
• уравнение Синус-Гордона
• Графен
• Нелинейное уравнение Шредингера

Ссылки

Inline

Книги и обзорные статьи

• N. Ахмедиев, А. Анкевич, Диссипативные солитоны, Лекционные заметки по физике, Springer, Berlin (2005)
• N. Ахмедиев и А. Анкевич, Диссипативные солитоны: от оптики до биологии и медицины, конспект лекций по физике, Springer, Берлин (2008)
• Х.-Г. Purwins et al., Advances in Physics 59 (2010): 485 doi : 10.1080 / 00018732.2010.498228
• A. В. Лир: Диссипативные солитоны в реакционно-диффузионных системах. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Солитоны.