Дискретное уравнение Пуассона

Конечно-разностное уравнение

В математике Дискретное уравнение Пуассона является конечно-разностным аналогом уравнения Пуассона. В нем дискретный оператор Лапласа заменяет оператор Лапласа. Дискретное уравнение Пуассона часто используется в численном анализе в качестве замены непрерывного уравнения Пуассона, хотя оно также изучается как отдельная тема в дискретной математике.

• 1 На двумерной прямоугольной сетке
• 2 Пример
• 3 Способы решения
• 4 Приложения
• 5 Сноски
• 6 Ссылки

Использование численного метода конечных разностей для дискретизации 2-мерного уравнения Пуассона (предполагая равномерную пространственную дискретизацию, $\Delta \; x\; =\; \Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\; =\; \backslash \; Delta\; y\}$) на сетке m × n дает следующую формулу:

$(\nabla \; 2\; u)\; ij\; =\; 1\; \Delta \; x\; 2\; (ui\; +\; 1,\; j\; +\; ui\; -\; 1,\; j\; +\; ui,\; j\; +\; 1\; +\; ui,\; j\; -\; 1–4\; uij)\; =\; gij\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; nabla\}\; ^\; \{2\}\; u)\; \_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; (u\_\; \{i\; +\; 1,\; j\}\; +\; u\_\; \{i-1,\; j\}\; +\; u\_\; \{i,\; j\; +\; 1\}\; +\; u\_\; \{i,\; j-1\}\; -4u\_\; \{ij\})\; =\; g\_\; \{ij\}\}$

где $2\; \le \; я\; \le \; м\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; m-1\}$и $2\; \le \; j\; \le \; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; leq\; n-1\}$. Предпочтительным расположением вектора решения является использование естественного упорядочения, которое до удаления граничных элементов будет выглядеть так:

$u\; \to \; =\; [u\; 11,\; u\; 21,\dots ,\; um\; 1,\; u\; 12,\; u\; 22,\dots ,\; um\; 2,\dots ,\; umn]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{u\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\_\; \{11\},\; u\_\; \{21\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{m1\},\; u\_\; \{12\},\; u\_\; \{22\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{m2\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{mn\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$

Это приведет к линейной системе mn × mn:

$A\; u\; \to \; =\; b\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \{\backslash \; vec\; \{u\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{b\}\}\}$

где

$A\; =\; [D\; -\; I\; 0\; 0\; 0\dots \; 0\; -\; ID\; -\; I\; 0\; 0\dots \; 0\; 0\; -\; ID\; -\; I\; 0\dots \; 0\; ⋮\; \ddots \; \ddots \; \ddots \; \ddots \; \ddots \; ⋮\; 0\dots \; 0\; -\; ID\; -\; I\; 0\; 0\dots \dots \; 0\; -\; ID\; -\; I\; 0\dots \dots \dots \; 0\; -\; ID],\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; ~\; D\; -I\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; -\; I\; ~\; D\; -I\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; -I\; ~\; D\; -I\; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; -I\; ~\; D\; -I\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; -I\; ~\; D\; -I\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; -I\; ~\; D\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

$I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- это единичная матрица размера m × m , и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, также m × m, определяется следующим образом:

$D\; =\; [4\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\dots \; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\; 0\dots \; 0\; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\dots \; 0\; ⋮\; \ddots \; \ddots \; \ddots \; \ddots \; \ddots \; ⋮\; 0\dots \; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\; 0\dots \dots \; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\dots \dots \dots \; 0\; -\; 1\; 4],\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; -1\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

и $b\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{b\}\}\}$определяется как

$b\; \to \; =\; -\; \Delta \; x\; 2\; [g\; 11,\; g\; 21,\dots ,\; gm\; 1,\; g\; 12,\; g\; 22,\dots ,\; gm\; 2,\dots ,\; gmn]\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{b\}\}\; =\; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; g\_\; \{11\},\; g\_\; \{21\},\; \backslash \; ldots,\; g\_\; \{m1\},\; g\_\; \{12\},\; g\_\; \{\; 22\},\; \backslash \; ldots,\; g\_\; \{m2\},\; \backslash \; ldots,\; g\_\; \{mn\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}.\}$

Для каждого $uij\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{ij\}\}$уравнение, столбцы $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$соответствуют блоку из $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$компонентов в $u\; \{\; \backslash \; displaystyle\; u\}$:

$[u\; 1\; j,\; u\; 2\; j,\dots ,\; ui\; -\; 1,\; j,\; uij,\; ui\; +\; 1,\; j,\dots ,\; umj]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\_\; \{1j\},\; u\_\; \{2j\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{i-1,\; j\},\; u\_\; \{ij\},\; u\_\; \{i\; +\; 1,\; j\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{mj\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\; \}\}$

в то время как столбцы $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$слева и справа от $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$соответствуют другим блокам из $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$компонентов в $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$:

$[u\; 1,\; j\; -\; 1,\; u\; 2,\; j\; -\; 1,\dots ,\; ui\; -\; 1,\; j\; -\; 1,\; ui,\; j\; -\; 1,\; ui\; +\; 1,\; j\; -\; 1,\dots ,\; um,\; j\; -\; 1]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\_\; \{1,\; j-1\},\; u\_\; \{2,\; j-1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{i-1,\; j-1\},\; u\_\; \{i,\; j-1\},\; u\_\; \{i\; +\; 1,\; j-1\; \},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{m,\; j-1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$

и

$[u\; 1,\; j\; +\; 1,\; u\; 2,\; j\; +\; 1,\dots ,\; ui\; -\; 1,\; j\; +\; 1,\; ui,\; j\; +\; 1,\; ui\; +\; 1,\; j\; +\; 1,\dots ,\; um,\; j\; +\; 1]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\_\; \{1,\; j\; +\; 1\},\; u\_\; \{\; 2,\; j\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{i-1,\; j\; +\; 1\},\; u\_\; \{i,\; j\; +\; 1\},\; u\_\; \{i\; +\; 1,\; j\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{m,\; j\; +\; 1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$

соответственно.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что существуют $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$блочные столбцы $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Важно отметить, что для предписанных значений $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$(обычно лежащих на границе) соответствующие элементы будут удалены из $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$. Для общего случая, когда все узлы на границе установлены, мы имеем $2\; \le \; i\; \le \; m\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; m-1\}$и $2\; \le \; j\; \le \; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; leq\; n-1\}$, и система будет иметь размеры (m - 2) (n - 2) × (m - 2) ( n - 2), где $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$и $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$будет иметь размеры (m - 2) × (m - 2).

для 5 × 5 ($m\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 5\}$и $n\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 5\}$) со всеми заданными граничными узлами, система будет выглядеть так:

$[U]\; =\; [u\; 22,\; u\; 32,\; u\; 42,\; u\; 23,\; u\; 33,\; u\; 43,\; u\; 24,\; u\; 34,\; u\; 44]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; U\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\_\; \{22\},\; u\_\; \{32\},\; u\_\; \{42\},\; u\_\; \{23\; \},\; u\_\; \{33\},\; u\_\; \{43\},\; u\_\; \{24\},\; u\_\; \{34\},\; u\_\; \{44\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$

с

$A\; =\; [4\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 4\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 4\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 4\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 4\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 4\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 4]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; ccc\; |\; ccc\}\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; -1\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

и

$b\; \to \; =\; [-\; \Delta \; x\; 2\; g\; 22\; +\; u\; 12\; +\; u\; 21\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 32\; +\; u\; 31\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 42\; +\; u\; 52\; +\; u\; 41\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 23\; +\; u\; 13\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 33\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 43\; +\; u\; 53\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 24\; +\; u\; 14\; +\; u\; 25\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 34\; +\; u\; 35\; -\; \Delta \; x\; 2\; g\; 44\; +\; u\; 54\; +\; u\; 45].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{b\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{l\}\; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{22\}\; +\; u\_\; \{12\}\; +\; u\_\; \{21\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{32\}\; +\; u\_\; \{31\}\; ~~~~~~~~\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{42\}\; +\; u\_\; \{52\}\; +\; u\_\; \{41\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Дельта\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{23\}\; +\; u\_\; \{13\}\; ~~~~~~~~\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{33\}\; ~~~~~~~~~~~~~\; ~~~\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{43\}\; +\; u\_\; \{53\}\; ~~~~~~~~\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{24\}\; +\; u\_\; \{14\}\; +\; u\_\; \{25\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{34\}\; +\; u\_\; \{35\}\; ~~~~~~~~\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; g\_\; \{44\}\; +\; u\_\; \{54\}\; +\; u\_\; \{45\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right].\}$

Как видно, граница $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$смещена вправо -сторона уравнения. Вся система имеет размер 9 × 9, в то время как $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$и $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$имеют размер 3 × 3 и задаются следующим образом:

$D\; =\; [4-1\; 0-1\; 4-1\; 0-1\; 4]\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; ~\; 4\; -1\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; ~\; 4\; -1\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; -1\; ~\; 4\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

и

$-\; I\; =\; [-\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; -I\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -1\; ~\; 0\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; -1\; ~\; 0\; \backslash \backslash \; ~\; 0\; ~\; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Поскольку $[A]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; A\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$является трехдиагональным и разреженным блоком, было разработано множество методов решения для оптимального решения эта линейная система для $[U]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; U\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$. Среди методов - обобщенный алгоритм Томаса с результирующей вычислительной сложностью $O\; (n\; 2.5)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n\; ^\; \{2.5\})\}$, циклической редукцией, последовательное чрезмерное расслабление, которое имеет сложность $O\; (n\; 1.5)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n\; ^\; \{1.5\})\}$, и быстрое преобразование Фурье, которое является $O\; (n\; журнал\; \; (n))\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n\; \backslash \; log\; (n))\}$. Оптимальное $O\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n)\}$решение также может быть вычислено с использованием многосеточных методов.

Пуассоновская сходимость различных итерационных методов с бесконечными нормами остатков по отношению к итерациям счетчик и компьютерное время.

В вычислительной гидродинамике для решения задачи о потоке несжимаемой жидкости условие несжимаемости действует как ограничение для давления. В этом случае для давления нет явной формы из-за сильной связи полей скорости и давления. В этом условии, взяв расходимость всех членов в уравнении количества движения, можно получить уравнение Пуассона давления.

Для несжимаемого потока это ограничение задается следующим образом:

$\partial \; vx\; \partial \; x\; +\; \partial \; vy\; \partial \; y\; +\; \partial \; vz\; \partial \; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{x\}\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{y\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{z\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; 0\}$

где $vx\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{x\}\}$- скорость в направлении $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $vy\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{y\}\}$- скорость в $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $vz\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{z\}\}$- скорость в $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$направление. Принимая дивергенцию уравнения количества движения и используя ограничение несжимаемости, уравнение Пуассона давления формируется следующим образом:

$\nabla \; 2\; p\; =\; f\; (\nu ,\; V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; p\; =\; f\; (\backslash \; nu,\; V)\}$

где $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- кинематическая вязкость жидкости, а $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- вектор скорости..

Дискретное уравнение Пуассона возникает в теории цепей Маркова. Он появляется как функция относительного значения для уравнения динамического программирования в марковском процессе принятия решений и как управляющая переменная для применения в сокращении дисперсии моделирования.

• Хоффман, Джо Д., Численные методы для инженеров и ученых, 4-е изд., McGraw – Hill Inc., Нью-Йорк, 1992.
• Свит, Роланд А., SIAM Журнал численного анализа, Vol. 11, No. 3, June 1974, 506–520.
• Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 20.4. Методы Фурье и циклической редукции». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.