Косинус направления

редактировать

В аналитической геометрии направление косинусы (или направленные косинусы ) вектора - это косинусы углов между вектором и тремя осями координат. Эквивалентно, они являются вкладом каждого компонента базиса в единичный вектор в этом направлении. Направляющие косинусы являются аналогичным расширением обычного понятия наклон на более высокие измерения.

Содержание
  • 1 Трехмерные декартовы координаты
  • 2 Общее значение
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки
Трехмерные декартовы координаты
Вектор v в ℝ Направляющие косинусы и направляющие углы для единичного вектора v/|v|

Если v является евклидовым вектором в трехмерном евклидовом пространстве, ℝ,

v = vxex + vyey + vzez, {\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} _ { y} + v_ {z} \ mathbf {e} _ {z},}{\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \ mathbf {e} _ {z},}

где ex, ey, ez- стандартный базис в декартовой записи, тогда направляющие косинусы

α = cos ⁡ a = v ⋅ ex ‖ v ‖ = vxvx 2 + vy 2 + vz 2, β = cos ⁡ b = v ⋅ ey ‖ v ‖ = vyvx 2 + vy 2 + vz 2, γ = cos ⁡ c = v ⋅ ez ‖ V ‖ знак равно vzvx 2 + vy 2 + vz 2. {\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ alpha {} = \ cos a = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {x}} {\ Vert \ mathbf {v } \ Vert}} {} = {\ frac {v_ {x}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}} }, \\\ beta {} = \ cos b = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {y}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} {} = {\ frac {v_ {y}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}, \\\ гамма { } = \ cos c = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {z}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} {} = {\ frac {v_ {z }} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}. \ end {alignat}}}{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ alpha {} = \ cos a = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {x}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert }} {} = {\ frac {v_ {x}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}, \ \\ beta {} = \ cos b = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {y}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} {} = {\ гидроразрыв {v_ {y}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}, \\\ gamma {} = \ cos c = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {z}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} {} = {\ frac {v_ {z}} { \ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}. \ end {alignat}}}

Отсюда следует, что возведение в квадрат каждого уравнения и сложение результатов

cos 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ b + cos 2 ⁡ c = α 2 + β 2 + γ 2 = 1. {\ displaystyle \ cos ^ {2} a + \ cos ^ { 2} b + \ cos ^ {2} c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} = 1.}{\ displaystyle \ cos ^ {2} a + \ cos ^ {2} b + \ cos ^ {2} c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} = 1.}

Здесь α, β и γ - направляющие косинусы и Декартовы координаты единичного вектора v/|v|, а a, b и c - углы направления вектора v.

Направляющие углы a, b и c равны острому или тупые углы, то есть 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π и 0 ≤ c ≤ π, и они обозначают углы, образованные между v и единичными базисными векторами, ex, eyи ez.

Общее значение

В более общем смысле, направляющий косинус относится к косинус угла между любыми двумя векторами. Они полезны для формирования матриц направляющих косинусов, которые выражают один набор ортонормальных базисных векторов через другой набор, или для выражения известного вектора в другой основе.

См. Также
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-05-17 08:17:53
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте