Различие

В математике Различие - это геометрический объект, представленный Александром Михайловичем Виноградов (см. Виноградов (1984a) harvtxt error: no target: CITEREFVinogradov1984a (help )), играющий ту же роль в современной теории дифференциальных уравнений в частных производных как алгебраические многообразия играют с алгебраическими уравнениями.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Пространства струй
  • 1.2 Дифференциальные уравнения
  • 1.3 Продление
  • 1.4 Распределение Картана
  • 1.5 Определение различия
• 2 Приложения
  • 2.1 Виноградов последовательность
  • 2.2 Вторичное исчисление
• 3 См. также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Определение

Чтобы определить различие, нам нужно применить геометрический подход к описанию дифференциальные уравнения и их решения. Для этого необходимы понятия струйных пространств, продолжения и распределения Картана, которые будут введены ниже. Читатель, знакомый с этими понятиями, может сразу перейти к определению.

Jet Spaces

Пусть $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$будет $m\; +\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; +\; e\}$-мерное гладкое многообразие. Два $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$-мерных подмногообразий $M,\; M\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; M,\; M\; \text{'}\}$из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, как говорят, имеют тот же $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$Jet $[M]\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; [M]\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$at $p\; \in \; M\; \cap \; M\; \prime \; \subset \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; M\; \backslash \; cap\; M\; \text{'}\backslash \; subset\; E\}$, если они касаются до порядка $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. (быть касательными до порядка $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$означает, что если локально описать подмногообразия как изображения разделов, то производные от этих разделов согласуются до порядка $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$.)

$M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $M\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \text{'}\}$имеют одну и ту же 1-струю, а $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $M\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; M\text{'}\; \text{'}\}$имеют одну и ту же 3-струю.

Можно показать, что касательная до порядка $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$является координатно-инвариантным понятием и отношением эквивалентности (s ee Saunders (1989) ошибка harvtxt: нет цели: например, CITEREFSaunders1989 (help )). Следовательно, джет - это класс эквивалентности. Мы можем использовать струи для определения струйных пространств.

Jet Space $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$определяется как набор всех струй порядка $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$из $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$-мерных подмногообразий в $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$at все точки $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, т.е. $J\; k\; (E,\; m):\; =\; \{[M]\; pk\; |\; M\; \ni \; p,\; dim\; (M)\; знак\; равно\; m,\; p\; \in \; E\}\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m):\; =\; \backslash \; \{[M]\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; ~\; |\; ~\; M\; \backslash \; ni\; p,\; ~\; \{\backslash \; text\; \{dim\}\}\; (M)\; =\; m,\; ~\; p\; \backslash \; in\; E\; \backslash \}\}$

Можно показать, что пространства струй естественно наделены структурой гладкого многообразия (см. Saunders (1989) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFSaunders1989 (help ) снова).

Замечание относительно взаимосвязи реактивных пространств и реактивных связок.

Вместо того, чтобы рассматривать струи подмногообразий, как описано выше, часто бывает достаточно определить струи секций расслоенного многообразия $\pi :\; E\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; E\; \backslash \; rightarrow\; M\}$. В этом случае можно описать те подмногообразия, которые являются горизонтальными относительно проекции $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$, как изображения секций $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$расслоенное многообразие. Тогда струя секций является классом эквивалентности секций, которые касаются до порядка $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$в некоторой точке $p\; \in \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; M\}$. Это дает начало определению Jet Bundle, который является немного менее общей конструкцией, чем Jet Space. Для получения дополнительной информации посетите страницу Википедии на связках струй.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение - это подмногообразие пространства струй, $E\; \subset \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; subset\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$.

Если определить решения, как показано ниже, то это геометрическое определение УЧП в локальных координатах приводит к выражениям, которые обычно используется для определения УЧП и их решений в математическом анализе.

Удлинение

$k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-строечное продолжение подмногообразия $M\; \subset \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; subset\; E\}$, это вложение $jk\; (M):\; M\; \to \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{k\}\; (M):\; M\; \backslash \; стрелка\; вправо\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$определяется как $jk\; (M)\; (p):\; =\; [M]\; pk.\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ^\; \{k\}\; (M)\; (p):\; =\; [M]\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\}.\}$Кроме того, скажем, что $M\; k:\; =\; im\; (jk\; (M))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{k\}:\; =\; \{\backslash \; text\; \{im\}\}\; (j\; ^\; \{k\}\; (M))\}$является продолжением подмногообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$.

Кроме того, можно определить продолжения уравнений, т.е. подмногообразий пространств Джетов. Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение $E\; \subset \; J\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; subset\; J\; ^\; \{l\}\; (E,\; m)\}$. Хочется, чтобы $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-е продолжение уравнения порядка $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$было уравнением порядка $к\; +\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; +\; l\}$, т.е. подмногообразие реактивного пространства $J\; k\; +\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\; +\; l\}\; (E,\; m)\}$. Чтобы добиться этого, сначала строят пространство струи $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\},\; m)\}$над $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$-мерные подмногообразия $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$. Поскольку $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$встроено в $J\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{l\}\; (E,\; m)\}$, всегда можно естественным образом встроить $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\},\; m)\}$в $J\; К\; (J\; l\; (E,\; m),\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (J\; ^\; \{l\}\; (E,\; m),\; m)\}$. Но поскольку последнее представляет собой пространство повторяющихся струй подмногообразий $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, всегда можно вставить $J\; k\; +\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\; +\; l\}\; (E,\; m)\}$в $J\; k\; (J\; l\; (E,\; m),\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (J\; ^\; \{l\}\; (\; E,\; m),\; m)\}$. В результате при рассмотрении как $J\; k\; +\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\; +\; l\}\; (E,\; m)\}$, и $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\},\; m)\}$как подпространства $J\; k\; (J\; l\; (E,\; m),\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (J\; ^\; \{l\}\; (E,\; m),\; m)\}$, их пересечение четко определено. Используется для определения продолжения $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$.

$k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-го продолжения дифференциала. уравнение $E\; \subset \; J\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; subset\; J\; ^\; \{l\}\; (E,\; m)\}$определяется как $Е\; К:\; знак\; равно\; J\; К\; (E,\; m)\; \cap \; J\; К\; +\; l\; (E,\; m)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{k\}:\; =\; J\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\; \},\; m)\; \backslash \; cap\; J\; ^\; \{k\; +\; l\}\; (E,\; m)\}$

Заметим, однако, что такое пересечение не обязательно снова является многообразием (т.е. не всегда существует в категории гладких многообразий). Поэтому обычно требуется, чтобы $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$был достаточно красивым, чтобы по крайней мере его первое продолжение действительно было подмногообразием $J\; k\; +\; 1\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; (E,\; m)\}$.

Также можно показать, что это определение все еще имеет смысл, даже если $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$уходит в бесконечность.

Распределение Картана

Обратите внимание, что приведенное ниже распределение не понимается в смысле обобщенных функций, но считается подгруппой касательного пучка, как это обычно делается, когда учитывая распределения в дифференциальной геометрии.

$R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-плоскость в точке $\theta \; \in \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; в\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$определяется как подпространство касательного пространства $T\; \theta \; (J\; k\; (E,\; m))\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m))\}$формы $T\; \theta \; (M\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (M\; ^\; \{k\})\}$для любого подмногообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$(продолжение которого содержит точку $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$).Размах всех $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$-плоскостей в точке $\theta \; \in \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$обозначается $C\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$. Карта $C:\; J\; К\; (E,\; m)\; \to \; TJ\; k\; (E,\; m),\; \theta \; \mapsto \; C\; \theta \; \subset \; T\; \theta \; (J\; k\; (E,\; m))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}:\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\; \backslash \; rightarrow\; TJ\; ^\; \{k\}\; (E,\; m),\; \backslash \; qquad\; \backslash \; theta\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; subset\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (J\; ^\; \{\; k\}\; (E,\; m))\}$называется распределением Картана (на $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$).

Распределение Картана важно в алгебро-геометрическом подходе к дифференциальным уравнениям, поскольку он позволяет определять обобщенные решения дифференциальных уравнений в чисто геометрических терминах.

Обобщенное решение дифференциального уравнения $E\; \subset \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; subset\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$определяется как $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$-мерное подмногообразие $S\; \subset \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$, который выполняет $T\; \theta \; S\; \subset \; C\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; S\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$для всех $\theta \; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; S\}$.

Можно также посмотреть на распределение Картана подмногообразия $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$без необходимости рассматривать его внутри $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$. Для этого нужно определить ограничение Распределения на подмногообразие $J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$следующим образом.

Если $E\; \subset \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; subset\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$, то его распределение Картана определяется как $C\; (E):\; =\; \{C\; \theta \; \cap \; T\; \theta \; (E)\; |\; \theta \; \in \; E\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}):\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; cap\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; ~\; |\; ~\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \}\}$

В этом смысле пара $(E,\; C\; (E))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{\; E\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}))\}$кодирует информацию о (обобщенных) решениях дифференциального уравнения $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$.

Определение различия

В Алгебраической геометрии основными объектами изучения являются разновидности, которые включают в себя все алгебраические следствия системы алгебраические уравнения. Например, если рассматривать нулевое геометрическое место набора многочленов, то применение алгебраических операций к этому набору (например, сложение этих многочленов друг с другом или умножение их на любой другой многочлен) приведет к тому же нулевому геометрическому объекту, то есть можно фактически рассмотрим геометрическое место нулей алгебраического идеала исходного множества многочленов.

Теперь в случае дифференциальных уравнений, помимо применения алгебраических операций, дополнительно есть возможность дифференцировать. Следовательно, дифференциальный аналог разновидности должен быть подобен дифференциальному идеалу и должен включать в себя все дифференциальные последствия. Естественный объект, который включает дифференциальные следствия уравнения $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$, является его бесконечным продолжением $E\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\; \}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$. В общем, он может быть бесконечным. Кроме того, хотелось бы обратить внимание на геометрическую структуру распределения Картана, определенную выше. Следовательно, пара $(E\; \infty ,\; C\; (E\; \infty ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}))\}$определяется как элементарная diff erential var iety или, для краткости, как элементарная diffiety .

Если $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$является дифференциальным уравнением $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-го порядка, его элементарная сложность пара $(E\; \infty ,\; C\; (E\; \infty ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}))\}$.

Обратите внимание, что при рассмотрении дифференциального уравнения $E\; \subset \; J\; k\; (E,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; subset\; J\; ^\; \{k\}\; (E,\; m)\}$, тогда можно показать, что распределение Картана $C\; (E\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\}$точно $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$-мерно, в отличие от случая конечного числа продолжений.

Элементарные многообразия - это геометрические объекты, которые играют ту же роль в теории уравнений в частных производных, что и аффинные алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Подобно тому, как разновидности или схемы составлены из неприводимых аффинных разновидностей или аффинных схем, можно также определить (неэлементарную) разность как объект, который локально выглядит как элементарное различие.

Предположим, что $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$- в общем случае бесконечномерное многообразие, снабженное гладкой функциональной алгеброй $F\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$и конечномерное распределение $C\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\; \}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$. Различие - это тройка $(O,\; F\; (O),\; C\; (O))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}),\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}))\}$, который локально имеет вид $(E\; \infty ,\; C\; \infty \; (E\; \infty ),\; C\; (E\; \infty ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\},\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}),\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{\; E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}))\}$где $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$- дифференциальное уравнение, $C\; \infty \; (E\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\})\}$обозначает класс бесконечно дифференцируемых функций на $E\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$и локально означает подходящую локализацию относительно топологии Зарисского, соответствующей алгебре $F\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$.

Карты, которые, как говорят, сохраняют распределение Картана, - это гладкие карты $\Phi :\; O\; \to \; O\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi:\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \text{'}\}$который таковы, что переход вперед $d\; \theta \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; Phi\}$в $\theta \; \in \; O\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$действует следующим образом:

$d\; \theta \; \Phi \; (v\; \in \; C\; \theta )\; \in \; C\; \Phi \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; Phi\; (v\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \_\; \{\backslash \; theta\})\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \_\; \{\backslash \; Phi\; (\backslash \; theta)\}\}$

Дифференциации вместе с отображениями, сохраняющими распределение Картана, являются объектами и морфизмами Категории дифференциальных уравнений, определенных Виноградовым. Подробное введение в тему дано в Виноградов (2001) harvtxt error: no target: CITEREFVinogradov2001 (help ).

Приложения

Последовательность Виноградова

Виноградова $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$-спектральная последовательность (или, для краткости, последовательность Виноградова) - это спектральная последовательность, связанная с распределением Картана $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$, которое изобрел Виноградов (см. Виноградов (1978) harvtxt error: no target: CITEREFVinogradov1978 (help )) для вычисления некоторых свойств формального пространства решений дифференциального уравнения. Чтобы сформулировать это, можно использовать различные варианты.

Предположим, что $(O,\; F\; (O),\; C\; (O))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\; \}),\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}))\}$- это проблема. Теперь определите

$\Omega \; (O):\; =\; \sum \; i\; \ge \; 0\; \Omega \; i\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{i\; \}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$

, чтобы быть алгеброй дифференциальных форм над $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$. Рассмотрим соответствующий комплекс де Рама:

$C\; \infty \; (O)\; ⟶\; \Omega \; 1\; (O)\; ⟶\; \Omega \; 2\; (O)\; ⟶\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; ~\; \{\backslash \; цвет\; \{Серый\}\; \backslash \; longrightarrow\}\; ~\; \backslash \; Omega\; ^\; \{1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; ~\; \{\backslash \; color\; \{Серый\}\; \backslash \; longrightarrow\}\; ~\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; ~\; \{\backslash \; color\; \{Gray\}\; \backslash \; longrightarrow\}\; ~\; \backslash \; cdots\}$

Его группы когомологий $H\; i\; (O):\; =\; ker\; (di)\; /\; im\; (di\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (\{\; \backslash \; mathcal\; \{O\}\}):\; =\; \{\backslash \; text\; \{ker\}\}\; (\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \_\; \{i\})\; /\; \{\backslash \; text\; \{im\}\}\; (\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \_\; \{i-1\; \})\}$содержат некоторую структурную информацию о PDE. Однако по лемме Пуанкаре все они локально обращаются в нуль. Таким образом, чтобы извлечь гораздо больше и даже локальную информацию, необходимо принять во внимание распределение Картана. Именно этому поможет последовательность Виноградова. Для этого пусть

$C\; \Omega \; (O)\; =\; \sum \; я\; \ge \; 0\; C\; \Omega \; i\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; я\; \backslash \; geq\; 0\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{i\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$

- подмодуль дифференциальных форм $\Omega \; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$на $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$, ограничение на распределение которого исчезает. Это означает, что

$C\; \Omega \; p\; (O)\; \ni \; w\; тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\; w\; (X\; 1,\; \cdots ,\; X\; p)\; =\; 0\; \forall \; X\; 1,\; \cdots ,\; X\; p\; \in \; C\; (O).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{p\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; ni\; w\; \{\backslash \; text\; \{iff\}\}\; w\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; X\_\; \{p\})\; =\; 0\; ~\; \backslash \; forall\; ~\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; X\_\; \{p\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}).\}$

На самом деле это так называемый дифференциальный идеал поскольку он стабилен по в дифференциал де Рама, т.е. $d\; (C\; \Omega \; i\; (O))\; \subset \; C\; \Omega \; i\; +\; 1\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{\; i\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}))\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{i\; +\; 1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$.

Теперь пусть $C\; k\; \Omega \; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Omega\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$быть его $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-й степени, т.е. линейное подпространство в $C\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\}$, порожденное $w\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; wk,\; wi\; \in \; C\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; w\_\; \{k\},\; ~\; w\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\}$. Тогда получается фильтрация

$\Omega \; (O)\; \supset \; C\; \Omega \; (O)\; \supset \; C\; 2\; \Omega \; (O)\; \supset \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; supset\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; Omega\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; supset\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Omega\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; supset\; \backslash \; cdots\}$

и поскольку все идеалы $C\; k\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Omega\}$устойчивы, эта фильтрация полностью определяет спектральную последовательность. (Для получения дополнительной информации о том, как работают спектральные последовательности, см. спектральная последовательность.) Мы обозначаем эту последовательность

$CE\; (O)\; =\; \{E\; rp,\; q,\; drp,\; q\},\; где\; E\; 0\; p,\; q\; :\; Знак\; равно\; С\; п\; Ом\; п\; +\; q\; (О)\; С\; п\; +\; 1\; Ом\; п\; +\; q\; (О)\; и\; Е\; р\; +\; 1\; п,\; д:\; =\; H\; (E\; rp,\; q,\; drp,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; E\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; =\; \backslash \; \{E\_\; \{r\}\; ^\; \{p,\; q\},\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \_\; \{r\}\; ^\; \{p,\; q\}\; \backslash \}\; \backslash \; qquad\; \{\; \backslash \; text\; \{where\}\}\; \backslash \; qquad\; E\_\; \{0\}\; ^\; \{p,\; q\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{p\; +\; q\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\; \})\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{p\; +\; 1\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{p\; +\; q\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; E\_\; \{\; r\; +\; 1\}\; ^\; \{p,\; q\}:\; =\; H\; (E\_\; \{r\}\; ^\; \{p,\; q\},\; d\_\; \{r\}\; ^\; \{p,\; q\})\}$

Фильтрация, указанная выше, конечна в каждой степени, поэтому означает

$Ом\; К\; (О)\; \supset \; С\; 1\; Ом\; К\; (О)\; \supset \; \cdots \; \supset \; С\; К\; +\; 1\; Ом\; К\; (О)\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; supset\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; supset\; \backslash \; cdots\; \backslash \; supset\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{\; k\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; =\; 0\}$

Если фильтрация конечна в этом смысле, то спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама $H\; (O)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$(различия). Таким образом, теперь можно анализировать члены спектральной последовательности по порядку. Это сделано, например, в главе 5 документа Красильщик (1999) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKrasilshchik1999 (help ). Здесь будет лишь кратко изложено, какая информация содержится в последовательности Виноградова.

1. $E\; 1\; 0,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; ^\; \{0,\; n\}\}$соответствует функционалам действия, ограниченным PDE $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \}$и для $L\; \in \; E\; 1\; 0,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; in\; E\_\; \{1\}\; ^\; \{0,\; n\}\}$, соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа: $d\; 1\; 0,\; n\; L\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{0,\; n\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; 0\}$.
2. $E\; 1\; 0,\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; ^\; \{0,\; n-1\}\}$соответствует законам сохранения для решений $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \}$.
3. $E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\}$интерпретируется как характеристические классы бордизмов решений $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$.
4. Есть еще много терминов, ожидающих интерпретации.

Замечание о вариационном бикомплексе.

Если рассматривать струйный пучок вместо струйного пространства, то вместо $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$-спектральной последовательности, получается немного менее общая вариационный бикомплекс. (Любой бикомплекс определяет две спектральные последовательности. Одна из двух спектральных последовательностей, определяемых вариационным бикомплексом, является в точности $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$-спектральной последовательностью Виноградова. вариационный бикомплекс также был разработан независимо от последовательности Виноградова.) Подобно членам спектральной последовательности, многим из ее членов можно дать физическую интерпретацию, если учесть различие (то есть, грубо говоря, пространство решений УЧП) классической теории поля. Например, можно получить классы когомологий, соответствующие функционалам действия, сохраняющимся токам, калибровочным зарядам и другим важным понятиям в единой организованной схеме. Так как статья в Википедии о вариационном бикомплексе в настоящее время довольно коротка, читатель может вместо этого обратиться к статье nLab для получения дополнительной информации.

Вторичное исчисление

Виноградов разработал теорию, известную как вторичное исчисление (см. Виноградов (1984b) harvtxt error: no target: CITEREFVinogradov1984b (help ), Виноградов (1998) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFVinogradov1998 (help ), Виноградов (2001) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFVinogradov2001 (help )), формализующая в когомологических терминах идею дифференциального исчисления на пространстве решений данной системы уравнений в частных производных, или, что примерно то же самое, на пространстве интегральных многообразий данной дифференциации. Другими словами, вторичное исчисление обеспечивает замену векторным полям, дифференциальным формам, дифференциальным операторам и т. Д. На (в общем) очень сингулярном пространстве, где эти объекты не могут быть определены обычным (гладким) способом. (Это резюме было взято из введения Vitagliano (2014) harvtxt error: no target: CITEREFVitagliano2014 (help ).)

In Vitagliano (2009)) harvtxt error: no target: CITEREFVitagliano2009 (help ) анализируется взаимосвязь между вторичным исчислением и ковариантным фазовым пространством (которое является пространством решений уравнений Эйлера-Лагранжа, связанных с Лагранжева теория поля ).

См. Также

1. Вторичное исчисление и когомологическая физика
2. Уравнения с частными производными на расслоениях струй
3. Дифференциальный идеал
4. Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Другой способ обобщения идей из алгебраической геометрии - дифференциальная алгебраическая геометрия.

Ссылки

Внешние ссылки

1. The Diffiety Institute (заморожен с 2010 года, но содержит полезные, связанные материалы)
2. The Levi-Civita Institute ( преемник вышеуказанного сайта с актуальной информацией о различных школах)
3. Геометрия дифференциальных уравнений