Дифференциальная градуированная алгебра

редактировать

В математике, в частности абстрактной алгебре и топологии, дифференциальной градуированной алгебре - это градуированная алгебра с добавленной структурой комплексной цепочки, которая учитывает структуру алгебры.

Содержание

1 Определение
2 Примеры DG-алгебр
3 Другие факты о DG-алгебрах
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

A дифференциальная градуированная алгебра (или просто DG-алгебра ) A - это градуированная алгебра, снабженная картой $d: A → A {\ displaystyle d \ двоеточие A \ to A}$ $d \ двоеточие от A \ до A$ , которое имеет степень 1 (комплексное соглашение коцепи) или степень $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ (соглашение комплексной цепочки), удовлетворяющее двум условиям:

$d ∘ d = 0 {\ displaystyle d \ circ d = 0}$ $d \ circ d = 0$ .. Это говорит о том, что d дает A структуру цепного комплекса или коцепного комплекса (соответственно, по мере того, как дифференциал уменьшается или увеличивается степень).
$d (a ⋅ b) знак равно (да) ⋅ b + (- 1) deg ⁡ (a) a ⋅ (db) {\ displaystyle d (a \ cdot b) = (da) \ cdot b + (- 1) ^ { \ deg (a)} a \ cdot (db)}$ ${\ displaystyle d (a \ cdot b) = (da) \ cdot b + (- 1) ^ {\ deg ( a)} a \ cdot (db)}$ , где deg - степень однородных элементов.. Здесь говорится, что дифференциал d соответствует градуированному правилу Лейбница.

Более лаконичный способ сформулировать то же определение - сказать, что DG-алгебра - это моноидальный объект в моноидальной категории цепных комплексов. Морфизм DG между DG-алгебрами - это гомоморфизм градуированных алгебр, который уважает дифференциал d.

A дифференциальная градуированная расширенная алгебра (также называемая DGA-алгеброй, расширенной DG-алгеброй или просто DGA ) является DG- алгебра, снабженная морфизмом DG к основному кольцу (терминология взята из Анри Картана ).

Предупреждение: в некоторых источниках термин DG используется для обозначения DG-алгебры.

Примеры DG-алгебр

Комплекс Кошуля является DG-алгеброй.
Тензорная алгебра является DG-алгеброй с дифференциалом, подобным дифференциалу комплекса Кошуля.
сингулярные когомологии топологического пространства с коэффициентами в $Z / p Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ - это DG-алгебра: дифференциал задается гомоморфизмом Бокштейна, связанным с короткой точной последовательностью $0 → Z / p Z → Z / p 2 Z → Z / p Z → 0 {\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p ^ {2} \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to 0}$ ${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p ^ {2} \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to 0}$ , а продукт - продукт чашки.
Дифференциальные формы на многообразии вместе с внешним производным и внешним продуктом образуют DG-алгебру. См. Также когомологии де Рама.

Другие факты о DG-алгебрах

гомологии $H ∗ (A) = ker ⁡ (d) / im ⁡ (d) {\ displaystyle H _ {*} (A) = \ ker (d) / \ operatorname {im} (d)}$ $ЧАС _ * (A) = \ ker (d) / \ operatorname {im} (d)$ DG-алгебры $(A, d) {\ displaystyle (A, d)}$ $(A, d)$ - градуированная алгебра. Гомология DGA-алгебры - это расширенная алгебра.

См. Также

Гомотопическая ассоциативная алгебра
Дифференциальная градуированная категория
Дифференциальная градуированная алгебра Ли
Дифференциальная градуированная схема (которая является полученные путем склейки спектров градуированно-коммутативных дифференциальных градуированных алгебр относительно этальной топологии.)
Дифференциальный градуированный модуль

Литература

Манин, Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9, см. разделы V.3 и V.5.6