Определитель Дьедонне

редактировать

В линейной алгебре определитель Дьедонне является обобщением определитель матрицы к матрицам по делениям и локальным кольцам. Он был введен Дьедонне (1943).

Если K - тело, то определитель Дьедонне - это гомоморфизм групп из группы GL n (K) обратимых матриц n на n над K на абелианизацию K / [K, K] мультипликативной группы K для K.

Например, определитель Дьедонне для матрицы 2 на 2 равен

det ( abcd) = {- cb, если a = 0, ad - aca - 1 b, если a ≠ 0. {\ displaystyle \ det \ left ({\ begin {array} {* {20} c} a b \\ c d \ end {array}} \ right) = \ left \ lbrace {\ begin {array} {* {20} c} -cb {\ text {if}} a = 0 \\ ad-aca ^ {- 1} b {\ text {if}} a \ neq 0 \ end {array}} \ right..}

\ det \ left ({{\ begin {array} {* {20} c} a b \\ c d \ end {array}}} \ right) = \ left \ lbrace {{\ begin {array} {* {20} c} -cb {\ text {if}} a = 0 \\ ad-aca ^ {{- 1}} b {\ text {if}} a \ neq 0 \ end {array}}} \ right..

Содержание

1 Свойства
2 Задача Таннака – Артина
3 См. Также
4 Ссылки

Свойства

Пусть R - локальное кольцо. Существует детерминантное отображение из кольца матриц GL (R) в абелинизированную единичную группу R ab со следующими свойствами:

Определитель инвариантен относительно элементарных операций со строками
Определитель тождества равно 1
Если строка умножается слева на a в R, то определитель остается умноженным на a
Определитель является мультипликативным: det (AB) = det (A) det (B)
Если две строки меняются местами, определитель умножается на −1
Если R коммутативен, то определитель инвариантен при транспонировании

Задача Таннака – Артина

Предположим, что K конечна над своим центром F. Приведенная норма дает гомоморфизм N n из GL n (K) в F. Мы также имеют гомоморфизм из GL n (K) в F, полученный составлением определителя Дьедонне из GL n (K) в K / [K, K] с приведенной нормой N 1 из GL 1 (K) = K в F посредством абелианизации.

Проблема Таннаки – Артина заключается в том, имеют ли эти две карты одно и то же ядро SL n (K). Это верно, когда F локально компактно, но ложно в целом.

См. Также

определитель Мура над алгеброй с делением

Ссылки

Дьедонне, Жан (1943), «Детерминанты» sur un corps non commutatif ", Bulletin de la Société Mathématique de France, 71 : 27–45, doi : 10.24033 / bsmf.1345, ISSN 0037-9484, MR 0012273, Zbl 0028.33904
Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и его приложения, Graduate Texts in Mathematics, 147, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94248-3, MR 1282290, Zbl 0801.19001. Errata
Серр, Жан-Пьер (2003), Trees, Springer, п. 74, ISBN 3-540-44237-5, Zbl 1013.20001
Супруненко, Д.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press