Производная схема

редактировать

В алгебраической геометрии производная схема представляет собой пару $(X, O) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}})}$ $(X, {\ mathcal {O}})$ , состоящий из топологического пространства X и пучка $O { \ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ mathcal {O}}$ из коммутативных кольцевых спектров на X таких, что (1) пара $(X, π 0 O) {\ displaystyle (X, \ pi _ {0} {\ mathcal {O}})}$ $(X, \ pi _ {0} {\ mathcal {O}})$ - это схема и (2) $π k O {\ displaystyle \ pi _ {k} {\ mathcal {O}}}$ $\ pi _ {k} {\ mathcal {O}}$ - квазикогерентный $π 0 O {\ displaystyle \ pi _ {0} {\ mathcal {O}}}$ $\ pi _ {0} {\ mathcal {O}}$ -модуль. Это понятие дает гомотопическое -теоретическое обобщение схемы.

A производный стек - это стековое обобщение производной схемы.

Содержание

1 Дифференциальная градуированная схема
- 1.1 Связь с дифференциальными градуированными кольцами и примерами
2 Котангенсный комплекс
- 2.1 Конструкция
- 2.2 Примеры
- 2.3 Примечания
3 Касательные комплексы
- 3.1 Полиномиальные функции
- 3.2 Коэффициенты стека
4 Производные схемы в комплексной теории Морса
- 4.1 Пример
5 Производный критический локус
- 5.1 Пример
6 Примечания
7 Ссылки

Дифференциальная градуированная схема

В поле нулевой характеристики теория эквивалентна теории дифференциальной градуированной схемы. По определению дифференциальная градуированная схема получается путем склейки аффинных дифференциальных градуированных схем относительно этальной топологии. Он был введен Максимом Концевичем «как первый подход к производной алгебраической геометрии». и был развит Михаилом Капрановым и Ионутом Чокан-Фонтанином.

Связь с дифференциально-градуированными кольцами и примерами

Так же, как аффинная алгебраическая геометрия эквивалентна (в категориальном смысле ) теории коммутативные кольца (обычно называемые коммутативной алгеброй ), аффинная производная алгебраическая геометрия над нулевой характеристикой эквивалентна теории коммутативных дифференциальных градуированных колец. Один из основных примеров производных схем происходит от производного пересечения подсхем схемы, что дает комплекс Кошуля. Например, пусть $f 1,…, fk ∈ C [x 1,…, xn] = R {\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k} \ in \ mathbb {C} [x_ { 1}, \ ldots, x_ {n}] = R}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {k} \ in \ mathbb {C} [ x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] = R}$ , тогда мы можем получить производную схему

(X, O ∙) = RS pec (R / (f 1) ⊗ RL ⋯ ⊗ RLR / (fk)) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {\ bullet}) = \ mathbf {RSpec} \ left (R / (f_ {1}) \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} \ cdots \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} R / (f_ {k}) \ right)}

{\ displaystyle (X, {\ mathcal {O} } _ {\ bullet}) = \ mathbf {RSpec} \ left (R / (f_ {1}) \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} \ cdots \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} R / (f_ {k}) \ right)}

где

RSpec: (dga C) op → DerSch {\ displaystyle {\ textbf {RSpec}}: ({\ textbf {dga}} _ {\ mathbb {C}}) ^ {op} \ to {\ textbf {DerSch}}}

{\ displaystyle {\ textbf {RSpec}}: ({\ textbf {dga}} _ {\ mathbb {C}}) ^ {op} \ to {\ textbf {DerSch}}}

- это Этальный спектр. Поскольку мы можем построить разрешение

0 → R → ⋅ fi R → 0 ↓ ↓ 0 → 0 → R / (fi) → 0 {\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 \ to R {\ xrightarrow {\ cdot f_ {i}}} R \ к 0 \\ \ downarrow \ downarrow \\ 0 \ to 0 \ to R / (f_ {i}) \ to 0 \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 \ to R {\ xrightarrow {\ cdot f_ {i}}} R \ to 0 \\ \ downarrow \ стрелка вниз \\ 0 \ к 0 \ к R / (f_ {i}) \ к 0 \ end {matrix}}}

производное кольцо $R / (f 1) ⊗ RL ⋯ ⊗ RLR / (fk) {\ displaystyle R / (f_ {1}) \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L} } \ cdots \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} R / (f_ {k})}$ ${\ displaystyle R / (f_ {1}) \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} \ cdots \ otimes _ {R} ^ {\ mathbf {L}} R / (f_ {k})}$ - комплекс Кошуля $KR (f 1,…, fk) {\ стиль отображения K_ {R} (е_ {1}, \ ldots, f_ {k})}$ ${\ displaystyle K_ {R} (f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}$ . Усечение этой производной схемы до амплитуды $[- 1, 0] {\ displaystyle [-1,0]}$ ${\ displaystyle [-1,0]}$ обеспечивает классическую модель, мотивирующую производную алгебраическую геометрию. Обратите внимание, что если у нас есть проективная схема

Proj ⁡ (Z [x 0,…, xn] (f 1,…, fk)) {\ displaystyle \ operatorname {Proj} \ left ({\ frac {\ mathbb { Z} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}} \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {Proj} \ left ({\ frac {\ mathbb {Z} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ { k})}} \ right)}

где $deg ⁡ (fi) = di {\ displaystyle \ deg (f_ {i}) = d_ {i}}$ ${\ displaystyle \ deg (f_ {i}) = d_ {i}}$ , мы можем построить производную схему $(P n, E ∙, (f 1,…, fk)) {\ displaystyle (\ mathbb {P} ^ {n}, {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet}, (f_ {1}, \ ldots, f_ {k}))}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {P} ^ {n}, {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet}, (f_ {1}, \ ldots, f_ {k}))}$ где

E ∙ = [O (- d 1) ⊕ ⋯ ⊕ O (- dk) → (⋅ f 1,…, ⋅ fk) O] {\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} = [{\ mathcal {O}} (- d_ {1}) \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathcal {O}} (- d_ {k}) {\ xrightarrow {(\ cdot f_ {1}, \ ldots, \ cdot f_ {k})}} {\ mathcal {O}}]}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} = [{\ mathcal {O}} (- d_ {1}) \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathcal {O}} (- d_ {k}) {\ xrightarrow {(\ cdot f_ {1}, \ ldots, \ cdot f_ {k})}} {\ mathcal {O}}]}

с амплитудой $[- 1, 0] {\ displaystyle [-1,0]}$ ${\ displaystyle [-1,0]}$

Комплекс котангенса

Конструкция

Пусть $(A ∙, d) {\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d)}$ ${\ displaystyle (A _ {\ bul let}, d)}$ будет фиксированной дифференциальной градуированной алгеброй, определенной над полем характеристика $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ . Тогда a $A ∙ {\ displaystyle A _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle A _ {\ bullet}}$ -дифференциальная градуированная алгебра $(R ∙, d R) {\ displaystyle (R _ {\ bullet}, d_ {R}))}$ ${\ displaystyle (R _ {\ bullet}, d_ {R})}$ называется полусвободным, если выполняются следующие условия:

лежащая в основе градуированная алгебра $R ∙ {\ displaystyle R _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle R _ {\ bullet}}$ является алгеброй многочленов над $A ∙ {\ displaystyle A _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle A _ {\ bullet}}$ , что означает, что он изоморфен $A ∙ [{xi} i ∈ I] {\ displaystyle A_ {\ bullet} [\ {x_ {i} \} _ {i \ in I}]}$ ${\ displaystyle A _ {\ bullet} [\ { x_ {i} \} _ {i \ in I}]}$
Существует фильтрация $∅ = I 0 ⊆ I 1 ⊆ ⋯ {\ displaystyle \ varnothing = I_ {0 } \ substeq I_ {1} \ substeq \ cdots}$ ${\ displaystyle \ varnothing = I_ {0} \ substeq I_ {1} \ substeq \ cdots}$ в наборе индексации $I {\ displaystyle I}$ $I$ , где $∪ n ∈ NI n = I {\ displaystyle \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} I_ {n} = I}$ ${\ displaystyle \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} I_ {n} = I}$ и $s (xi) ∈ A ∙ [{xj} j ∈ I n] {\ displaystyle s (x_ {i}) \ in A _ {\ bullet} [\ {x_ {j} \} _ {j \ in I_ {n}}]}$ ${\ displaystyle s (x_ {i}) \ in A _ {\ bullet} [\ { x_ {j} \} _ {j \ in I_ {n}}]}$ для любого $xi ∈ I n + 1 {\ displaystyle x_ {i} \ in I_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in I_ {n + 1}}$ .

Оказывается, каждые $A ∙ {\ displaystyle A _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle A _ {\ bullet}}$ дифференциальная градуированная алгебра допускает сюръективный квазиизоморфизм от полусвободной $(A ∙, d) {\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d)}$ ${\ displaystyle (A _ {\ bul let}, d)}$ дифференциальной градуированной алгебры, называется полусвободным разрешением. Они уникальны с точностью до гомотопической эквивалентности в подходящей модельной категории. (Относительный) котангенс-комплекс $(A ∙, d) {\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d)}$ ${\ displaystyle (A _ {\ bul let}, d)}$ -дифференциальная градуированная алгебра $( B ∙, d B) {\ displaystyle (B _ {\ bullet}, d_ {B})}$ ${\ displaystyle (B _ {\ bullet}, d_ {B})}$ можно построить с использованием полусвободного разрешения $(R ∙, d R) → (B ∙, d B) {\ displaystyle (R _ {\ bullet}, d_ {R}) \ to (B _ {\ bullet}, d_ {B})}$ ${\ displaystyle (R_ {\ bullet}, d_ {R}) \ to (B _ {\ bullet}, d_ {B})}$ : определяется как

LB ∙ / A ∙: = Ω R ∙ / A ∙ ⊗ R ∙ B ∙ {\ displaystyle \ mathbb {L} _ {B _ {\ bullet} / A _ {\ bullet}}: = \ Omega _ {R _ {\ bullet} / A _ {\ bullet}} \ otimes _ {R _ {\ bullet}} B _ {\ bullet}}

{\ displaystyle \ mathbb {L} _ {B _ {\ bullet} / A _ {\ bullet}}: = \ Omega _ {R _ {\ bullet} / A _ {\ bullet}} \ otimes _ {R _ {\ bullet}} B _ {\ bullet}}

Многие примеры можно построить, взяв алгебру $B {\ displaystyle B}$ $B$ представление разнообразия над полем характеристики 0, нахождение представления $R {\ displaystyle R}$ $R$ как частное от алгебры полиномов и взятие комплекса Кошуля, связанного с этим представлением. Комплекс Кошуля действует как полусвободное разрешение дифференциальной градуированной алгебры $(B ∙, 0) {\ displaystyle (B _ {\ bullet}, 0)}$ ${\ displaystyle (B _ {\ bullet}, 0)}$ где $B ∙ { \ displaystyle B _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle B _ {\ bullet}}$ - это градуированная алгебра с нетривиальной градуированной частью в степени 0.

Примеры

Котангенсный комплекс гиперповерхности $X = V (f) ⊂ AC n {\ displaystyle X = \ mathbb {V} (f) \ subset \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {V} (f) \ subset \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n}}$ может легко вычислить: поскольку у нас есть dga $KR (f) {\ displaystyle K_ {R} (f)}$ ${\ displaystyle K_ {R} (f)}$ , представляющий производное улучшение от $X {\ displaystyle X}$ $X$ , мы можем вычислить котангенсный комплекс как

0 → R ⋅ ds → Φ ⨁ i R ⋅ dxi → 0 {\ displaystyle 0 \ to R \ cdot ds {\ xrightarrow {\ Phi }} \ bigoplus _ {i} R \ cdot dx_ {i} \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ к R \ cdot ds {\ xrightarrow {\ Phi}} \ bigoplus _ {i} R \ cdot dx_ {i} \ to 0}

где $Φ (gds) = g ⋅ df {\ displaystyle \ Phi (gds) = g \ cdot df}$ ${\ displaystyle \ Phi (gds) = g \ cdot df}$ и $d {\ displaystyle d}$ $d$ - обычные универсальные производные. Если взять полное пересечение, то комплекс Кошуля

R ∙ = C [x 1,…, xn] (f 1) ⊗ C [x 1,…, xn] L ⋯ ⊗ C [x 1,…, xn] LC [x 1,…, xn] (fk) {\ displaystyle R ^ {\ bullet} = {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {( f_ {1})}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} ^ {\ mathbf {L}} \ cdots \ otimes _ {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} ^ {\ mathbf {L}} {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {k})}}}

{\ displaystyle R ^ {\ bullet} = {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1})}} \ время _ {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} ^ {\ mathbf {L}} \ cdots \ otimes _ {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} ^ {\ mathbf {L}} {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {k})}}}

квазиизоморфен комплексу

C [x 1,…, xn] (f 1,…, fk) [+ 0]. {\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}} [+ 0].}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}} [+ 0].}

Это означает, что мы можем построить котангенсный комплекс производного кольца $R ∙ {\ displaystyle R ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ bullet}}$ как тензорное произведение котангенсного комплекса выше для каждого $fi {\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ .

Замечания

Обратите внимание, что котангенсный комплекс в контексте производной геометрии отличается от котангенсного комплекса классических схем. А именно, если бы была особенность в гиперповерхности, определяемая как $f {\ displaystyle f}$ $f$ , тогда котангенсный комплекс имел бы бесконечную амплитуду. Эти наблюдения мотивируют философию скрытой гладкости производной геометрии, так как сейчас мы работаем с комплексом конечной длины.

Касательные комплексы

Полиномиальные функции

Для заданной полиномиальной функции $f: A n → A m, {\ displaystyle f: \ mathbb {A} ^ {n } \ to \ mathbb {A} ^ {m},}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {A} ^ {n} \ to \ mathbb {A} ^ {m},}$ затем рассмотрим (гомотопическую) диаграмму отката

Z → A n ↓ ↓ f {pt} → 0 A m {\ displaystyle {\ begin {matrix} Z \ to \ mathbb {A} ^ {n} \\\ downarrow \ downarrow f \\\ {pt \} {\ xrightarrow {0}} \ mathbb {A} ^ {m} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle { \ begin {matrix} Z \ to \ mathbb {A} ^ {n} \\\ downarrow \ downarrow f \\\ {pt \} {\ xrightarrow {0}} \ mathbb {A} ^ {m } \ end {matrix}}}

где нижняя стрелка - включение точки в начале координат. Тогда производная схема $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ имеет комплекс касательных в $x ∈ Z {\ displaystyle x \ in Z}$ ${\ displaystyle x \ in Z}$ задается морфизмом

T x = T x A n → dfx T 0 A m {\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = T_ {x} \ mathbb {A} ^ {n} {\ xrightarrow {df_ {x}} } T_ {0} \ mathbb {A} ^ {m}}

{\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = T_ {x} \ mathbb {A} ^ {n} {\ xrightarrow {df_ {x}}} T_ {0} \ mathbb {A} ^ {m}}

, где комплекс имеет амплитуду $[- 1, 0] {\ displaystyle [-1,0]}$ ${\ displaystyle [-1,0]}$ . Обратите внимание, что касательное пространство можно восстановить с помощью $H 0 {\ displaystyle H ^ {0}}$ ${\ displaystyle H ^ {0}}$ и $H - 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}}$ $H ^ {{- 1}}$ измеряет, насколько далеко $x ∈ Z {\ displaystyle x \ in Z}$ ${\ displaystyle x \ in Z}$ от точки плавности.

Коэффициенты стека

Для данного стека $[X / G] {\ displaystyle [X / G]}$ $[ X / G]$ есть хорошее описание касательного комплекса:

T x = gx → T x X {\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = {\ mathfrak {g}} _ {x} \ to T_ {x} X}

{\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = {\ mathfrak {g}} _ {x} \ to T_ { x} X}

Если морфизм не инъективный, $H - 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}}$ $H ^ {{- 1}}$ снова измеряет сингулярность пространства. Кроме того, эйлерова характеристика этого комплекса дает правильную (виртуальную) размерность частного стека. В частности, если мы посмотрим на стек модулей основных $G {\ displaystyle G}$ $G$ -бандлеров, то касательный комплекс равен всего $g [+ 1] {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} [+ 1]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} [+ 1]}$ .

Производные схемы в комплексной теории Морса

Производные схемы могут использоваться для анализа топологических свойств аффинных многообразий. Например, рассмотрим гладкое аффинное многообразие $M ⊂ A n {\ displaystyle M \ subset \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ displaystyle M \ subset \ mathbb {A} ^ { n}}$ . Если мы возьмем обычную функцию $f: M → C {\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {C}}$ и рассмотрим сечение $Ω M {\ displaystyle \ Omega _ {M}}$ $\ Omega_M$

{Γ df: M → Ω M x ↦ (x, df (x)) {\ displaystyle {\ begin {cases} \ Gamma _ {df}: M \ to \ Omega _ {M} \\ x \ mapsto (x, df (x)) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ Gamma _ {df}: M \ to \ Omega _ {M} \\ x \ mapsto (x, df (x)) \ end {cases}}}

Затем мы можем взять производную диаграмму отката

X → M ↓ ↓ 0 M → Γ df Ω M {\ displaystyle {\ begin {matrix} X \ to M \\\ downarrow \ downarrow 0 \\ M {\ xrightarrow {\ Gamma _ {df}}} \ Omega _ {M} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} X \ to M \\\ downarrow \ downarrow 0 \\ M {\ xrightarrow {\ Гамма _ {df}}} \ Omega _ {M} \ end {matrix}}}

где $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ - нулевое сечение, построение производного критического локуса регулярной функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ .

Пример

Рассмотрим аффинное многообразие

M = Spec ⁡ (C [x, y]) {\ displaystyle M = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x, y])}

{\ displaystyle M = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x, y])}

и обычная функция, заданная как $f (x, y) = x 2 + y 3 {\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$ ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$ . Тогда

Γ df (a, b) = (a, b, 2 a, 3 b 2) {\ displaystyle \ Gamma _ {df} (a, b) = (a, b, 2a, 3b ^ { 2})}

{\ displaystyle \ Gamma _ {df} (a, b) = (a, b, 2a, 3b ^ { 2})}

где последние две координаты обрабатываются как $dx, dy {\ displaystyle dx, dy}$ ${\ displaystyle dx, dy}$ . Производным критическим локусом будет производная схема

RSpec (C [x, y, dx, dy] (dx, dy) ⊗ C [x, y, dx, dy] LC [x, y, dx, dy] (2 х - dx, 3 y 2 - dy)) {\ displaystyle {\ textbf {RSpec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(dx, dy)}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} ^ {\ mathbf {L}} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} { (2x-dx, 3y ^ {2} -dy)}} \ right)}

{\ displaystyle {\ textbf {RSpec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(dx, dy)}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} ^ {\ mathbf {L}} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2x-dx, 3y ^ {2} -dy)}} \ right)}

Обратите внимание, что, поскольку левый член в производном пересечении является полным пересечением, мы можем вычислить комплекс, представляющий производное кольцо как

K dx, dy ∙ (C [x, y, dx, dy]) ⊗ C [x, y, dx, dy] C [x, y, dx, dy] (2 - dx, 3 y 2 - dy) { \ Displaystyle K_ {dx, dy} ^ {\ bullet} (\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]) \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2-dx, 3y ^ {2} -dy)}}}

{\ displaystyle K_ {dx, dy} ^ {\ bullet} (\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]) \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2-dx, 3y ^ {2} -dy)}}}

где $K dx, dy ∙ (C [x, y, dx, dy]) {\ displaystyle K_ {dx, dy} ^ {\ bullet} (\ mathbb {C} [x, y, dx, dy])}$ ${\ displaystyle K_ {dx, dy} ^ {\ bullet} ( \ mathbb {C} [x, y, dx, dy])}$ - комплекс Кошуля.

Производный критический локус

Рассмотрим гладкую функцию $f: M → C {\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {C}}$ где $M {\ displaystyle M}$ $M$ гладкий. Производное усиление $Крита (f) {\ displaystyle {\ text {Crit}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ text {Crit}} (е)}$ , производного критического локуса, дается с помощью дифференциальной градуированной схемы $(M, A ∙, Q) {\ displaystyle (M, {\ mathcal {A}} ^ {\ bullet}, Q)}$ ${\ displaystyle (M, {\ mathcal {A}} ^ {\ bullet}, Q)}$ где нижележащее градуированное кольцо - это поливекторные поля