Войти
Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1 и равен следовательно, конструктивное число Неформально, определяемое действительное число - это действительное число, которое может быть однозначно указано в его описании. Описание может быть выражено как конструкция или как формула формального языка. Например, положительный квадратный корень из 2, 
Различные варианты выбора формального языка или его интерпретации могут привести к различным представлениям об определимости. Конкретные разновидности определяемых чисел включают конструктивные числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа. Поскольку формальные языки могут иметь только счетное число формул, каждое понятие определимых чисел имеет не более счетного числа определимых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора, существует несчетное количество действительных чисел, поэтому почти каждое действительное число не поддается определению.
Один из способов указания действительного числа использует геометрические методы. Действительное число r является конструктивным числом, если существует метод построения линейного сегмента длиной r с использованием циркуля и линейки, начиная с фиксированного линейного сегмента длиной 1.
Каждое положительное целое число и каждое положительное число рациональное число, конструктивно. Положительный квадратный корень из 2 можно построить. Однако кубический корень из 2 невозможно построить; это связано с невозможностью удвоения куба.
Алгебраические числа на комплексной плоскости, окрашенные в градусы (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, yellow = 4) Действительное число r называется действительным алгебраическим числом, если существует многочлен p (x) только с целыми коэффициентами, так что r является корнем числа p, т. е. р (г) = 0. Каждое действительное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка на вещественных числах. Например, если многочлен q (x) имеет 5 корней, третий можно определить как уникальное r такое, что q (r) = 0 и такое, что есть два различных числа меньше r, для которых q равно нулю.
Все рациональные числа алгебраичны, и все конструктивные числа алгебраичны. Есть числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не конструктивными.
Действительные алгебраические числа образуют подполе действительных чисел. Это означает, что 0 и 1 - алгебраические числа, и, более того, если a и b - алгебраические числа, то также a + b, a − b, ab и, если b не равно нулю, a / b.
Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки подполя вещественных чисел, что для каждого положительного целого числа n и каждого действительного алгебраического числа a все корни n-й степени числа a, которые являются действительными числами, равны также алгебраический.
Существует только счетное число алгебраических чисел, но существует несчетное количество действительных чисел, поэтому в смысле мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того, что не все действительные числа являются алгебраическими, было впервые опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 года «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».
Неалгебраические числа называются трансцендентными числами. Конкретные примеры трансцендентных чисел включают π и число Эйлера e.
Действительное число - это вычислимое число, если есть алгоритм, который, учитывая натуральное число n, производит десятичное разложение для числа с точностью до n десятичных знаков. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году.
Вычислимые числа включают алгебраические числа вместе со многими трансцендентными числами, включая π и e. Как и алгебраические числа, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно получения корней n-й степени для каждого положительного n.
Не все действительные числа вычислимы. Весь набор вычислимых чисел исчисляем, поэтому большинство действительных чисел не вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Спекера и алгоритмически случайных действительных чисел, таких как числа Ω Чейтина.
Другое понятие определимости происходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано. В языке арифметики есть символы для 0, 1, операции-преемника, сложения и умножения, предназначенные для интерпретации обычным образом над натуральными числами. Поскольку никакие переменные этого языка не могут превышать действительные числа, для обращения к действительным числам требуется другой вид определимости. Действительное число a может быть определено на языке арифметики (или арифметическом ), если его вырезка Дедекинда может быть определена как предикат на этом языке; то есть, если существует формула первого порядка φ на языке арифметики с тремя свободными переменными, такая что
Здесь m, n и p изменяются по неотрицательным целым числам.
язык арифметики второго порядка такой же, как язык первого порядка, за исключением того, что переменные а кванторы могут варьироваться в наборах натуральных чисел. Действительное число, определяемое второго порядка на языке арифметики, называется аналитическим.
Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, а арифметические числа образуют подполе действительных чисел., как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное количество аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими и, следовательно, также не арифметическими.
Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число вычислимо. Например, предел последовательности Шпекера равен арифметическое число, которое не вычислимо.
Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно разделить на арифметическую иерархию и аналитическую иерархию. В общем, вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его дедекиндовое сечение находится на уровне 
Действительное число a определимо в первом порядке на языке теории множеств без параметров, если есть формула φ в язык теории множеств, с одной свободной переменной, такой, что a является единственным действительным числом такое, что φ (a) выполняется (см. Kunen 1980, p. 153). Это понятие нельзя выразить в виде формулы на языке теории множеств.
Все аналитические числа, и в частности все вычислимые числа, могут быть определены на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определяемые на языке теории множеств, включают все знакомые действительные числа, такие как 0, 1, π, e и так далее, наряду со всеми алгебраическими числами. Предполагая, что они образуют набор в модели, действительные числа, определяемые на языке теории множеств по конкретной модели ZFC, образуют поле.
Каждый набор модель M теории множеств ZFC, который содержит несчетное количество действительных чисел, должен содержать действительные числа, которые не могут быть определены в пределах M (без параметров). Это следует из того факта, что существует только счетное число формул, и поэтому только счетное число элементов M может быть определимо над M. Таким образом, если M имеет несчетное количество действительных чисел, мы можем доказать "извне" M, что не каждое действительное число из M определимо над M.
Этот аргумент становится более проблематичным, если он применяется к моделям классов ZFC, таким как вселенная фон Неймана (Hamkins 2010). Аргумент, который применяется к моделям множества, не может быть напрямую обобщен на модели классов в ZFC, поскольку свойство «действительное число x может быть определено в модели класса N» не может быть выражено в виде формулы ZFC. Точно так же вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен в виде предложения на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа, все наборы действительных чисел, функции на действительных числах и т. Д. Являются определяемыми (Hamkins, Linetsky Reitz 2013).
