Релятивистское распределение Брейта – Вигнера

редактировать

Релятивистское распределение Брейта – Вигнера (по формуле ядерного резонанса 1936 года Грегори Breit и Юджин Вигнер ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей со следующей функцией плотности вероятности ,

f (E) = k (E 2 - M 2) 2 + M 2 Γ 2, {\ displaystyle f (E) = {\ frac {k} {\ left (E ^ {2} -M ^ {2} \ right) ^ {2} + M ^ {2} \ Гамма ^ {2}}} ~,}

f (E) = \ frac {k} {\ left (E ^ 2-M ^ 2 \ right) ^ 2 + M ^ 2 \ Gamma ^ 2} ~,

где k - коэффициент пропорциональности, равный

k = 2 2 M Γ γ π M 2 + γ {\ displaystyle k = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} M \ Gamma \ gamma} {\ pi {\ sqrt {M ^ {2} + \ gamma}}}} ~~~~}

k = \ frac {2 \ sqrt {2} M \ Gamma \ gamma} {\ pi \ sqrt {M ^ 2 + \ gamma}} ~~~~

γ = M 2 ( M 2 + Γ 2). {\ displaystyle ~~~~ \ gamma = {\ sqrt {M ^ {2} \ left (M ^ {2} + \ Gamma ^ {2} \ right)}} ~.}

~~~~ \ gamma = \ sqrt {M ^ 2 \ left (M ^ 2 + \ Gamma ^ 2 \ right)} ~.

(Это уравнение записано с использованием натуральных единиц, ħ = c = 1.)

Чаще всего используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий. В этом случае E - это центр массы энергия, вызывающая резонанс, M - масса резонанса, а Γ - ширина резонанса. (или ширина распада ), связанная с его средним временем жизни согласно τ = 1 / Γ. (С учетом единиц измерения формула: τ = / Γ.)

Использование

Вероятность возникновения резонанса при заданной энергии E пропорциональна f (E), так что a График скорости образования нестабильной частицы как функции энергии показывает форму релятивистского распределения Брейта – Вигнера. Обратите внимание, что для значений E от максимума в M, таких что | E - M | = MΓ (следовательно, | E - M | = Γ / 2 для M ≫ Γ), распределение f ослабло до половины своего максимального значения, что оправдывает название для Γ, ширина на полувысоте.

В пределе исчезающей ширины, Γ → 0, частица становится устойчивой, поскольку лоренцево распределение f бесконечно обостряется до 2Mδ (E - M).

В общем, Γ также может быть функцией E; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мала по сравнению с M и необходимо учитывать зависимость ширины от фазового пространства и. (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов.) Множитель M, умножающий Γ, также следует заменить на E (или E / M и т. Д.).) при широком резонансе.

Форма релятивистского распределения Брейта – Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы, знаменатель которого имеет вид p - M + iMΓ. (Здесь p - квадрат четырехимпульса, переносимого этой частицей на рассматриваемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Тогда пропагатор в его системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде для распада, используемого для восстановления этого резонанса,

k (E 2 - M 2) + i M Γ. {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {k}} {\ left (E ^ {2} -M ^ {2} \ right) + iM \ Gamma}} ~.}

\ frac {\ sqrt {k}} {\ left (E ^ 2-M ^ 2 \ right) + iM \ Gamma} ~.

Полученное распределение вероятностей пропорционально абсолютный квадрат амплитуды, то есть вышеупомянутое релятивистское распределение Брейта – Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения аналогична амплитуде решения классического уравнения движения для управляемого гармонического осциллятора, затухающего и управляемого синусоидальной внешней силой.. Оно имеет стандартную резонансную форму Лоренца или распределение Коши, но включает релятивистские переменные s = p, здесь = E. Распределение является решением дифференциального уравнения для амплитуды в квадрате по энергия энергии (частота) в таком классическом осцилляторе с принудительной силой

f ′ (E) ((E 2 - M 2) 2 + Γ 2 M 2) - 4 E f (E) (M - E) ( E + M) знак равно 0, {\ displaystyle f '({\ text {E}}) \ left (\ left ({\ text {E}} ^ {2} -M ^ {2} \ right) ^ {2 } + \ Gamma ^ {2} M ^ {2} \ right) -4 {\ text {E}} f ({\ text {E}}) (M - {\ text {E}}) ({\ text {E}} + M) = 0,}

f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,

f (M) = k Γ 2 M 2. {\ displaystyle f (M) = {\ frac {k} {\ Gamma ^ {2} M ^ {2}}}. ~}

{\ displaystyle f (M) = {\ frac {k} {\ Gamma ^ {2} M ^ {2}}}. ~ }

Гауссово уширение

В эксперименте падающий луч, который производит резонанс всегда имеет некоторый разброс энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово / нормальное распределение. Результирующая форма резонанса в этом случае задается сверткой Брейта-Вигнера и распределением Гаусса,

V 2 (E; M, Γ, k, σ) = ∫ - ∞ ∞ k (E ′ 2 - M 2) 2 + (M Γ) 2 1 σ 2 π e - (E ′ - E) 2 2 σ 2 d E ′. {\ Displaystyle V_ {2} (E; M, \ Gamma, k, \ sigma) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {k} {(E '^ {2} -M ^ {2}) ^ {2} + (M \ Gamma) ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {( E'-E) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} dE '.}

V_{2}(E;M,\Gamma,k,\sigma)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma)^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.

Эту функцию можно упростить, введя новые переменные,

t = E - E ′ 2 σ, U 1 знак равно Е - M 2 σ, U 2 знак равно E + M 2 σ, a знак равно К π 2 σ 2, {\ Displaystyle т = {\ гидроразрыва {E-E '} {{\ sqrt {2}} \ sigma }}, \ quad u_ {1} = {\ frac {EM} {{\ sqrt {2}} \ sigma}}, \ quad u_ {2} = {\ frac {E + M} {{\ sqrt {2 }} \ sigma}}, \ quad a = {\ frac {k \ pi} {2 \ sigma ^ {2}}},}

t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},

, чтобы получить

V 2 (E; M, Γ, k, σ) знак равно ЧАС 2 (a, u 1, u 2) σ 2 2 π, {\ displaystyle V_ {2} (E; M, \ Gamma, k, \ sigma) = {\ frac {H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2})} {\ sigma ^ {2} 2 {\ sqrt {\ pi}}}},}

{\ displaystyle V_ {2} (E; M, \ Gamma, k, \ sigma) = { \ гидроразрыва {H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2})} {\ sigma ^ {2} 2 {\ sqrt {\ pi}}}},}

где релятивистская функция расширения линии имеет следующее определение:

H 2 (a, u 1, u 2) = a π ∫ - ∞ ∞ e - t 2 (u 1 - t) 2 (u 2 - t) 2 + a 2 dt. {\ displaystyle H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2}) = {\ frac {a} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t ^ {2}}} {(u_ {1} -t) ^ {2} (u_ {2} -t) ^ {2} + a ^ {2}}} dt.}

{\ displaystyle H_ {2} (a, u_ {1}, u_ { 2}) = {\ frac {a} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t ^ {2}}} {(u_ {1} - t) ^ {2} (u_ {2} -t) ^ {2} + a ^ {2}}} dt.}

$H 2 {\ displaystyle H_ {2}}$ $H_ {2}$ является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии для профиля Фойгта, используемого в спектроскопии (см. Также раздел 7.19).

Ссылки

^Breit, G.; Вигнер, Э. (1936). «Захват медленных нейтронов». Физический обзор. 49 (7): 519. Bibcode : 1936PhRv... 49..519B. doi : 10.1103 / PhysRev.49.519.
^См. Pythia 6.4 Physics и руководство (стр. 98 и далее) для обсуждения ширины частиц в PYTHIA руководство. Обратите внимание, что это распределение обычно представляется как функция квадрата энергии.
^Bohm, A.; Сато, Ю. (2005). «Релятивистские резонансы: их массы, ширина, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Physical Review D. 71 (8). arXiv : hep-ph / 0412106. Bibcode : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103 / PhysRevD.71.085018.
^Браун, Л.С. (1994). Квантовая теория поля, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521469463, глава 6.3.
^ Кыча, Радослав А.; Ядах, Станислав (15.07.2018). «Релятивистский профиль Фойгта для нестабильных частиц в физике высоких энергий». Журнал математического анализа и приложений. 463 (2): 1040–1051. arXiv : 1711.09304. doi : 10.1016 / j.jmaa.2018.03.065. ISSN 0022-247X.
^Finn, G.D.; Магглстон, Д. (1965-02-01). «Таблицы функции уширения линии H (a, υ)». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 129 (2): 221–235. doi : 10.1093 / mnras / 129.2.221. ISSN 0035-8711.
^Справочник NIST по математическим функциям. Олвер, Фрэнк У. Дж., 1924 г. - Национальный институт стандартов и технологий (США). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2010. ISBN 978-0-521-19225-5. OCLC 502037224. CS1 maint: другие (ссылка )