Релятивистское распределение Брейта – Вигнера (по формуле ядерного резонанса 1936 года Грегори Breit и Юджин Вигнер ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей со следующей функцией плотности вероятности ,
где k - коэффициент пропорциональности, равный
- с
(Это уравнение записано с использованием натуральных единиц, ħ = c = 1.)
Чаще всего используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий. В этом случае E - это центр массы энергия, вызывающая резонанс, M - масса резонанса, а Γ - ширина резонанса. (или ширина распада ), связанная с его средним временем жизни согласно τ = 1 / Γ. (С учетом единиц измерения формула: τ = / Γ.)
Использование
Вероятность возникновения резонанса при заданной энергии E пропорциональна f (E), так что a График скорости образования нестабильной частицы как функции энергии показывает форму релятивистского распределения Брейта – Вигнера. Обратите внимание, что для значений E от максимума в M, таких что | E - M | = MΓ (следовательно, | E - M | = Γ / 2 для M ≫ Γ), распределение f ослабло до половины своего максимального значения, что оправдывает название для Γ, ширина на полувысоте.
В пределе исчезающей ширины, Γ → 0, частица становится устойчивой, поскольку лоренцево распределение f бесконечно обостряется до 2Mδ (E - M).
В общем, Γ также может быть функцией E; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мала по сравнению с M и необходимо учитывать зависимость ширины от фазового пространства и. (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов.) Множитель M, умножающий Γ, также следует заменить на E (или E / M и т. Д.).) при широком резонансе.
Форма релятивистского распределения Брейта – Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы, знаменатель которого имеет вид p - M + iMΓ. (Здесь p - квадрат четырехимпульса, переносимого этой частицей на рассматриваемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Тогда пропагатор в его системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде для распада, используемого для восстановления этого резонанса,
Полученное распределение вероятностей пропорционально абсолютный квадрат амплитуды, то есть вышеупомянутое релятивистское распределение Брейта – Вигнера для функции плотности вероятности.
Форма этого распределения аналогична амплитуде решения классического уравнения движения для управляемого гармонического осциллятора, затухающего и управляемого синусоидальной внешней силой.. Оно имеет стандартную резонансную форму Лоренца или распределение Коши, но включает релятивистские переменные s = p, здесь = E. Распределение является решением дифференциального уравнения для амплитуды в квадрате по энергия энергии (частота) в таком классическом осцилляторе с принудительной силой
с
Гауссово уширение
В эксперименте падающий луч, который производит резонанс всегда имеет некоторый разброс энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово / нормальное распределение. Результирующая форма резонанса в этом случае задается сверткой Брейта-Вигнера и распределением Гаусса,
Эту функцию можно упростить, введя новые переменные,
, чтобы получить
где релятивистская функция расширения линии имеет следующее определение:
является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии для профиля Фойгта, используемого в спектроскопии (см. Также раздел 7.19).
Ссылки
- ^Breit, G.; Вигнер, Э. (1936). «Захват медленных нейтронов». Физический обзор. 49 (7): 519. Bibcode : 1936PhRv... 49..519B. doi : 10.1103 / PhysRev.49.519.
- ^См. Pythia 6.4 Physics и руководство (стр. 98 и далее) для обсуждения ширины частиц в PYTHIA руководство. Обратите внимание, что это распределение обычно представляется как функция квадрата энергии.
- ^Bohm, A.; Сато, Ю. (2005). «Релятивистские резонансы: их массы, ширина, время жизни, суперпозиция и причинная эволюция». Physical Review D. 71 (8). arXiv : hep-ph / 0412106. Bibcode : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103 / PhysRevD.71.085018.
- ^Браун, Л.С. (1994). Квантовая теория поля, издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521469463, глава 6.3.
- ^ Кыча, Радослав А.; Ядах, Станислав (15.07.2018). «Релятивистский профиль Фойгта для нестабильных частиц в физике высоких энергий». Журнал математического анализа и приложений. 463 (2): 1040–1051. arXiv : 1711.09304. doi : 10.1016 / j.jmaa.2018.03.065. ISSN 0022-247X.
- ^Finn, G.D.; Магглстон, Д. (1965-02-01). «Таблицы функции уширения линии H (a, υ)». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 129 (2): 221–235. doi : 10.1093 / mnras / 129.2.221. ISSN 0035-8711.
- ^Справочник NIST по математическим функциям. Олвер, Фрэнк У. Дж., 1924 г. - Национальный институт стандартов и технологий (США). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2010. ISBN 978-0-521-19225-5. OCLC 502037224. CS1 maint: другие (ссылка )