Точка DNSS

Точки DNSS, также известные как точки Скибы, возникают в задачах оптимального управления, которые демонстрируют несколько оптимальных решения. Точка DNSS $-\; \{\backslash \; displaystyle\; -\}$, названная в алфавитном порядке в честь Декерта и Нисимуры, Сетхи и Скибы $-\; \{\backslash \; displaystyle\; -\}$, является точкой безразличия в задача оптимального управления, в которой, начиная с такой точки, существует несколько различных оптимальных решений. Хорошее обсуждение таких вопросов можно найти у Грасса и др.

• 1 Определение
• 2 История
• 3 Пример
• 4 Расширения
• 5 Ссылки

Особый интерес здесь представляют проблемы дисконтированного бесконечного горизонта оптимального управления, которые являются автономными. Эти задачи можно сформулировать так:

$max\; u\; (t)\; \in \; \Omega \; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; \rho \; t\; \phi \; (x\; (t),\; u\; (t))\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; max\; \_\; \{u\; (t)\; \backslash \; in\; \backslash \; Омега\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; rho\; t\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (x\; (t),\; u\; (t)\; \backslash \; right)\; dt\}$

st

$Икс\; \dot{}\; (T)\; знак\; равно\; е\; (Икс\; (T),\; U\; (T)),\; Икс\; (0)\; =\; Икс\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; (T)\; =\; F\; \backslash \; left\; (x\; (\; t),\; u\; (t)\; \backslash \; right),\; x\; (0)\; =\; x\_\; \{0\},\}$

где $\rho >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho>0\}$- ставка скидки, $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$и $u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\}$- переменные состояния и управления, соответственно, в момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, функции $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$и $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$считаются непрерывно дифференцируемые по своим аргументам, и они не зависят явно от времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, а $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- это набор допустимых элементов управления, и он также явно не зависит от времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Кроме того, предполагается, что интеграл сходится для любых значений Возможное решение $(x\; (.),\; U\; (.))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (х\; (.),\; и\; (.)\; \backslash \; вправо)\}$. В такой задаче с одномерной переменной состояния $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$вызывается начальное состояние $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$точка DNSS, если исходящая из нее система демонстрирует несколько оптимальных решений или равновесий. Таким образом, по крайней мере в окрестности $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$, система переходит в одно состояние равновесия для $x>x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x>x\_\; \{0\; \}\}$и другому для . В этом смысле $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$является точкой безразличия, из которой система может перейти к любому из двух состояний равновесия.

Для двумерных задач оптимального управления Грасс и др. И Цейлер и др. Представляют примеры, демонстрирующие кривые DNSS.

Некоторые ссылки на применение DNSS это Колкинс и др. и Зейлер и др.

Суреш П. Сетхи впервые выявил такие точки безразличия в 1977 году. Далее Скиба, Сетхи, Декерт и Нишимура исследовали эти точки безразличия в экономических моделях. Термин DNSS (Deckert, Nishimura, Sethi, Skiba), введенный Грасом s et al., признает (в алфавитном порядке) вклад этих авторов.

Эти точки безразличия ранее в литературе назывались точками Скибы или точками DNS.

Простая проблема, демонстрирующая такое поведение, задается $\phi \; (Икс,\; U)\; знак\; равно\; XU,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (x,\; u\; \backslash \; right)\; =\; XU,\}$$f\; (x,\; u)\; =\; -\; x\; +\; u,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (x,\; u\; \backslash \; right)\; =\; -\; x\; +\; u,\}$и $\Omega \; =\; [-\; 1,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; left\; [-1,1\; \backslash \; right]\}$. Это показано в Grass et al. что $x\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; 0\}$является точкой DNSS для этой проблемы, потому что оптимальный путь $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$может иметь вид $(1\; -\; e\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; right)\}$или $(-\; 1\; +\; е\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-1\; +\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; right)\}$. Обратите внимание, что для оптимальный путь равен $x\; (t)\; =\; -\; 1\; +\; e\; -\; t\; (x\; 0\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; -\; 1\; +\; e\; ^\; \{\; -t\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\}\; +1\; \backslash \; right)\}\}$и для $x\; 0>0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}>0\}$, оптимальный путь - $x\; (\; t)\; =\; 1\; +\; e\; -\; t\; (x\; 0\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; 1\; +\; e\; ^\; \{-\; t\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\}\; -1\; \backslash \; right)\}\}$.

Для получения дополнительных сведений и расширений читатель отсылается к Grass et al.

1. ^ Deckert, DW; Nishimura, K. (1983). «Полная характеристика оптимальных путей роста в Агрегированная модель с невыогнутой производственной функцией ". Журнал экономической теории. 31 (2): 332–354. doi : 10.1016 / 0022-0531 (83) 90081-9.
2. ^ Сетхи, SP (1977). «Ближайшие возможные пути в задачах оптимального управления: теория, примеры и контрпримеры». Журнал теории оптимизации и приложений. 23 (4): 563–579. DOI : 10.1007 / BF00933297. S2CID 123705828.
3. ^ Сетхи, С.П. (1979). «Оптимальная рекламная политика с моделью заражения». Журнал теории оптимизации и приложений. 29 (4): 615–627. DOI : 10.1007 / BF00934454. S2CID 121398518.
4. ^ Сетхи, С.П., «Оптимальные карантинные программы для борьбы с распространением эпидемии», Журнал Общества операционных исследований, 29 (3), 1978, 265-268. JSTOR 3009454 SSRN 3587573
5. ^ Скиба, А.К. (1978). «Оптимальный рост с выпукло-вогнутой производственной функцией». Econometrica. 46 (3): 527–539. DOI : 10.2307 / 1914229. JSTOR 1914229.
6. ^ Grass, D.; Caulkins, J. P.; Feichtinger, G.; Tragler, G.; Беренс, Д. А. (2008). Оптимальное управление нелинейными процессами: с применением в борьбе с наркотиками, коррупцией и терроризмом. Springer. ISBN 978-3-540-77646-8.
7. ^Сетхи, С.П., Теория оптимального управления: приложения к науке управления и экономике, Третье издание, Springer Nature Switzerland AG, 2019. (565 стр. - ISBN 978-3-319-98236-6 ) Springer Link.
8. ^Sethi, SP; Томпсон, Г. Л. (2000). Теория оптимального управления: приложения к науке об управлении и экономике (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-28092-8.Слайды доступны на http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html
9. ^Zeiler, I., Колкинс, Дж., Грасс, Д., Траглер, Г. (2009). Сохранение возможностей открытыми: модель оптимального управления с траекториями, которые достигают точки DNSS в положительное время. SIAM Journal on Control and Optimization, Vol. 48, No. 6, pp. 3698-3707. doi = 10.1137 / 080719741 |
10. ^Caulkins, J. P.; Feichtinger, G.; Grass, D.; Траглер, Г. (2009). «Оптимальный контроль над терроризмом и глобальная репутация: пример с новым пороговым поведением». Письма об исследовании операций. 37 (6): 387–391. doi : 10.1016 / j.orl.2009.07.003.
11. ^I. Цайлер, Дж. П. Колкинс и Г. Траглер. Когда двое становятся одним: оптимальный контроль взаимодействующих лекарств. Рабочий документ, Венский технологический университет, Вена, Австрия