Циклическая гомология

редактировать

В некоммутативной геометрии и родственных разделах математики циклическая гомология и циклические когомологии являются некоторыми теориями (ко) гомологий для ассоциативных алгебр, которые обобщают (ко) гомологии де Рама многообразий. Эти понятия были независимо введены (гомология) и Аленом Конном (когомологии) в 1980-х годах. Эти инварианты имеют много интересных отношений с несколькими более старыми разделами математики, включая теорию де Рама, (ко) гомологии Хохшильда, групповые когомологии и K-теорию. В развитие теории внесли вклад Макс Каруби, Юрий Л. Далецкий, Борис Фейгин, Жан-Люк Брылински, Мариуш Водзицкий, Жан-Луи Лоде, Виктор Нистор, Даниэль Куиллен, Иоахим Кунц, Рышард Гнездо, Ральф Мейер и Майкл Пушниг.

Содержание

1 Подсказки по определению
2 Случай коммутативных колец
3 Варианты циклических гомологий
4 Приложения
5 Вычисления алгебраической K-теории
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Подсказки по определению

Первое определение циклической гомологии кольца A над полем характеристики ноль, обозначенный

HCn(A) или H n (A),

осуществляется посредством явного цепного комплекса, относящегося к гомологическому комплексу Хохшильда А. Конна позже нашел более категоричный подход к циклической гомологии, используя понятие циклического объекта в абелевой категории, которое аналогично понятию симплициального объекта. Таким образом, циклические гомологии (и когомологии) можно интерпретировать как производный от функтор, который может быть явно вычислен с помощью (b, B) -бикомплекса.

Одной из поразительных особенностей циклической гомологии является существование длинной точной последовательности, соединяющей гомологию Хохшильда и циклическую гомологию. Эта длинная точная последовательность называется последовательностью периодичности.

Случай коммутативных колец

Циклические когомологии коммутативной алгебры A регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии над полем k нулевой характеристики могут быть вычислены в терминах Алгебраический комплекс де Рама Гротендика . В частности, если многообразие V = Spec A гладкое, циклические когомологии A выражаются через когомологии де Рама пространства V следующим образом:

HC n (A) ≃ Ω n A / d Ω n - 1 A ⊕ ⨁ i ≥ 1 HDR n - 2 i (V). {\ Displaystyle HC_ {n} (A) \ simeq \ Omega ^ {n} \! A / d \ Omega ^ {n-1} \! A \ oplus \ bigoplus _ {я \ geq 1} H_ {DR} ^ {n-2i} (V).}

{\ displaystyle HC_ {n} (A) \ simeq \ Omega ^ {n} \! A / d \ Omega ^ {n-1} \! A \ oplus \ bigoplus _ {i \ geq 1} H_ {DR} ^ {n-2i} (V).}

Эта формула предлагает способ определения когомологий де Рама для «некоммутативного спектра» некоммутативной алгебры A, который был широко разработан Конном.

Варианты циклической гомологии

Одним из мотивов циклической гомологии была потребность в приближении K-теории, которая определяется, в отличие от K-теории, как гомология цепной комплекс. Циклические когомологии на самом деле наделены спариванием с K-теорией, и можно надеяться, что это спаривание будет невырожденным.

Было определено несколько вариантов, цель которых - лучше соответствовать алгебрам с топологией, например алгебры Фреше, $C ∗ {\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ -алгебры и т. Д. Причина в том, что K-теория гораздо лучше ведет себя на топологических алгебрах, таких как банаховы алгебры или C * -алгебры, чем на алгебрах без дополнительных состав. Поскольку, с другой стороны, циклические гомологии вырождаются на C * -алгебрах, возникла потребность в определении модифицированных теорий. Среди них целые циклические гомологии из-за Алена Конна, аналитические циклические гомологии из-за Ральфа Мейера или асимптотические и локальные циклические гомологии из-за Майкла Пушнига. Последняя очень близка к K-теории, поскольку наделена бивариантным символом Черна из KK-теории.

Applications

Одно из Применение циклических гомологий состоит в том, чтобы найти новые доказательства и обобщения теоремы Атьи-Зингера об индексе. Среди этих обобщений - теоремы об индексе, основанные на спектральных тройках и деформационном квантовании пуассоновых структур.

эллиптический оператор D на компактном гладком многообразии определяет класс в K гомологиях. Одним из инвариантов этого класса является аналитический индекс оператора. Это рассматривается как спаривание класса [D] с элементом 1 в HC (C (M)). Циклические когомологии можно рассматривать как способ получения высших инвариантов эллиптических дифференциальных операторов не только для гладких многообразий, но и для слоений, орбифолдов и особых пространств, которые появляются в некоммутативной геометрии.

Вычисления алгебраической K-теории

Это отображение из алгебраической K-теории (например, кольца A) в циклические гомологии:

tr : K n (A) → HC n - 1 (A). {\ displaystyle tr: K_ {n} (A) \ to HC_ {n-1} (A).}

{\ displaystyle tr: K_ {n} (A) \ к HC_ {n-1} (A).}

В некоторых ситуациях эту карту можно использовать для вычисления K-теории с помощью этой карты. Новаторским результатом в этом направлении является теорема из Goodwillie (1986) : она утверждает, что отображение

K n (A, I) ⊗ Q → HC n - 1 (A, I) ⊗ Q {\ displaystyle K_ {n} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q} \ to HC_ {n-1} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q}}

{\ displaystyle K_ {n} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q} \ to HC_ {п-1} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q}}

между относительной K-теорией A относительно нильпотентного двустороннего идеала I к относительным циклическим гомологиям (измерение разницы между K-теорией или циклическими гомологиями A и A / I) является изоморфизмом для n≥1.

Хотя результат Гудвилли верен для произвольных колец, быстрое сокращение показывает, что, по сути, это всего лишь утверждение о $A ⊗ ZQ {\ displaystyle A \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf { Q}}$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q}}$ . Для колец, не содержащих Q, циклические гомологии должны быть заменены топологическими циклическими гомологиями, чтобы сохранить тесную связь с K-теорией. (Если Q содержится в A, то циклические гомологии и топологические циклические гомологии A согласуются.) Это соответствует тому факту, что (классические) гомологии Хохшильда менее хорошо себя ведут. чем топологические гомологии Хохшильда для колец, не содержащих Q. Clausen, Mathew Morrow (2018) доказали далеко идущее обобщение результата Гудвилли, заявив, что для коммутативного кольца A так, что лемма Гензеля относительно идеала I, относительная K-теория изоморфна относительным топологическим циклическим гомологиям (без тензора с Q ). Их результат также включает теорему Габбера (1992), утверждающую, что в этой ситуации относительный спектр K-теории по модулю целого числа n, обратимый в A, обращается в нуль. Джардин (1993) использовал результат Габбера и жесткость Суслина, чтобы опровергнуть вычисление Квилленом K-теории конечных полей.

См. Также

Некоммутативная геометрия

Примечания

Ссылки

Jardine, JF (1993), «К-теория конечных полей, пересмотренная», K-Theory, 7 (6): 579–595, doi : 10.1007 / BF00961219, MR 1268594
Лодэ, Жан-Луи (1998), Cyclic Homology, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 301, Springer, ISBN 978-3-540-63074-6
Габбер, Офер (1992), «K-теория гензелевых локальных колец и гензелевских пар», Алгебраическая K-теория, коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия (Santa Margherita Ligure, 1989), Contemp. Math., 126, AMS, стр. 59–70
Клаузен, Дастин; Мэтью, Ахил; Морроу, Мэтью (2018), «K-теория и топологическая циклическая гомология генселевых пар», arXiv : 1803.10897 [math.KT ]
Goodwillie, Thomas G. (1986), «Относительная алгебраическая K-теория и циклические гомологии», Annals of Mathematics, Second Series, 124 (2): 347–402, doi : 10.2307 / 1971283, JSTOR 1971283, MR 0855300
Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94248-3, MR 1282290, Zbl 0801.19001. Исправления