Кумулянт

В теории вероятностей и статистике кумулянты κnраспределение вероятностей - это набор величин, которые обеспечивают альтернативу моментам распределения. Моменты определяют кумулянты в том смысле, что любые два распределения вероятностей, моменты которых идентичны, также будут иметь одинаковые кумулянты, и аналогично кумулянты определяют моменты.

Первый кумулянт - это среднее, второй кумулянт - это дисперсия, а третий кумулянт такой же, как третий центральный момент. Но кумулянты четвертого и более высокого порядка не равны центральным моментам. В некоторых случаях теоретические решения проблем в терминах кумулянтов проще, чем с использованием моментов. В частности, когда две или более случайных величин статистически независимы, кумулянт n-го порядка их суммы равен сумме их кумулянтов n-го порядка. Кроме того, кумулянты третьего и более высокого порядка нормального распределения равны нулю, и это единственное распределение с этим свойством.

Так же, как и для моментов, когда совместные моменты используются для наборов случайных величин, можно определить совместные кумулянты.

• 1 Определение
  • 1.1 Альтернативное определение кумулянтной производящей функции
• 2 Использование в статистике
• 3 Кумулянты некоторых дискретных распределений вероятностей
• 4 Кумулянты некоторых непрерывных распределений вероятностей
• 5 Некоторые свойства производящей функции кумулянта
• 6 Некоторые свойства кумулянтов
  • 6.1 Инвариантность и эквивариантность
  • 6.2 Однородность
  • 6.3 Аддитивность
  • 6.4 Отрицательный результат
  • 6.5 Кумулянты и моменты
  • 6.6 Кумулянты и разбиения по множествам
  • 6.7 Кумулянты и комбинаторика
• 7 Совместные кумулянты
  • 7.1 Условные кумулянты и закон общего кумулянта
• 8 Отношение к статистической физике
• 9 История
• 10 Кумулянты в Обобщенные настройки
  • 10.1 Формальные кумулянты
  • 10.2 Белл-числа
  • 10.3 Кумулянты полиномиальной последовательности биномиального типа
  • 10.4 Свободные кумулянты
• 11 См. также
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Кумулянты случайной величины X определяются с помощью кумулянта. t-порождающая функция K (t), которая является натуральным логарифмом от порождающей функции :

$K\; (t)\; =\; log\; \; E\; \; [e\; t\; X].\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (t)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{tX\}\; \backslash \; right].\}$

Кумулянты κ n получаются из разложения в степенной ряд кумулянтная производящая функция:

$K\; (t)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \kappa \; ntnn!\; знак\; равно\; \mu \; t\; +\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (т)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{п\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{т\; ^\; \{п\}\}\; \{п!\}\}\; =\; \backslash \; му\; т\; +\; \backslash \; сигма\; ^\; \{\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Это разложение является рядом Маклорена, поэтому n-й кумулянт может быть получен путем дифференцирования вышеуказанных расширение n раз и оценка результата на нуле:

$\kappa \; n\; =\; K\; (n)\; (0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; K\; ^\; \{(n)\}\; (0).\}$

Если функция, генерирующая момент, не существует, кумулянты могут быть определены в терминах взаимосвязи между кумулянтами и обсуждаемыми моментами позже.

Альтернативное определение кумулянтной производящей функции

Некоторые авторы предпочитают определять кумулянт-генерирующую функцию как натуральный логарифм характеристической функции, которую иногда также называют вторая характеристическая функция,

$H\; (t)\; =\; log\; \; E\; \; [eit\; X]\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \kappa \; n\; (it)\; nn!\; знак\; равно\; \mu \; это\; -\; \sigma \; 2\; T\; 2\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (t)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{itX\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{(it)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \backslash \; mu\; it-\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Преимущество H (t) - в некотором смысле функция K (t), вычисляемая для чисто мнимых аргументов - состоит в том, что E [e] хорошо определено для всех действительных значений t, даже если E [e] не определен должным образом для всех реальных значений t, например, когда существует "слишком большая" вероятность того, что X имеет большую величину. Хотя функция H (t) будет хорошо определена, она, тем не менее, будет имитировать K (t) с точки зрения длины его ряда Маклорена, который может не выходить за пределы (или, в редких случаях, даже на) линейный порядок в аргументе t и, в частности, количество хорошо определенных кумулянтов не изменится. Тем не менее, даже когда H (t) не имеет длинного ряда Маклорена, его можно использовать непосредственно при анализе и, в частности, добавлении случайных величин. И распределение Коши (также называемое лоренцевым), и в более общем плане стабильные распределения (связанные с распределением Леви) являются примерами распределений, для которых разложения производящих функций в степенной ряд имеют лишь конечное число четко определенных терминов.

Работа с кумулянтами может иметь преимущество перед использованием моментов, потому что для статистически независимых случайных величин X и Y,

$KX\; +\; Y\; (t)\; =\; log\; \; E\; \; [\; et\; (X\; +\; Y)]\; =\; log\; \; (E\; \; [et\; X]\; E\; \; [et\; Y])\; =\; log\; \; E\; \; [et\; X]\; +\; log\; \; E\; \; [et\; Y]\; =\; KX\; (t)\; +\; KY\; (\; т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; K\_\; \{X\; +\; Y\}\; (t)\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{t\; (X\; +\; Y)\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [5pt\; ]\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{tX\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{tY\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \backslash \; log\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{tX\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; log\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{tY\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; K\_\; \{X\}\; (t)\; +\; K\_\; \{Y\}\; (t),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

так, чтобы каждый кумулянт суммы независимых случайных величин был суммой соответствующих кумулянтов слагаемых. То есть, когда слагаемые статистически независимы, среднее значение суммы - это сумма средних, дисперсия суммы - это сумма дисперсий, третий кумулянт (который оказывается третьим центральным моментом) суммы является суммой третьих кумулянтов и так далее для каждого порядка кумулянтов.

Распределение с заданными кумулянтами κ n можно аппроксимировать с помощью ряда Эджворта.

• Постоянные случайные величины X = μ. Кумулянтная производящая функция K (t) = μt. Первый кумулянт равен κ 1 = K '(0) = μ, а остальные кумулянты равны нулю, κ 2 = κ 3 = κ 4 =... = 0.
• Распределения Бернулли, (количество успехов в одном испытании с вероятностью успеха p). Кумулянтная производящая функция K (t) = log (1 - p + pe). Первые кумулянты: κ 1 = K '(0) = p и κ 2 = K ′ ′ (0) = p · (1 - p). Кумулянты удовлетворяют формуле рекурсии

$\kappa \; n\; +\; 1\; =\; p\; (1\; -\; p)\; d\; \kappa \; n\; d\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; p\; (1-p)\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\}\; \{dp\}\}.\}$

• геометрические распределения, ( количество неудач перед одним успехом с вероятностью успеха p в каждом испытании). Кумулянтная производящая функция K (t) = log (p / (1 + (p - 1) e)). Первые кумулянты: κ 1 = K ′ (0) = p - 1, и κ 2 = K ′ ′ (0) = κ 1 p. Подстановка p = (μ + 1) дает K (t) = −log (1 + μ (1 − e)) и κ 1 = μ.
• Распределения Пуассона . Кумулянтная производящая функция K (t) = μ (e - 1). Все кумулянты равны параметру: κ 1 = κ 2 = κ 3 =... = μ.
• биномиальные распределения, (количество успешных испытаний в n независимых испытаниях с вероятностью p успеха в каждом испытании). Частный случай n = 1 - это распределение Бернулли. Каждый кумулянт просто в n раз больше соответствующего кумулянта соответствующего распределения Бернулли. Кумулянтная производящая функция K (t) = n log (1 - p + pe). Первые кумулянты: κ 1 = K ′ (0) = np и κ 2 = K ′ ′ (0) = κ 1 (1 - p). Подстановка p = μ · n дает K '(t) = ((μ - n) · e + n) и κ 1 = μ. Предельный случай n = 0 - это распределение Пуассона.
• Отрицательные биномиальные распределения (количество неудач до r успехов с вероятностью p успеха в каждом испытании). Частный случай r = 1 - геометрическое распределение. Каждый кумулянт просто в r раз больше соответствующего кумулянта соответствующего геометрического распределения. Производная кумулянтной производящей функции равна K '(t) = r · ((1 - p) · e − 1). Первые кумулянты: κ 1 = K '(0) = r · (p − 1), и κ 2 = K' '(0) = κ 1 · стр. Подстановка p = (μ · r + 1) дает K ′ (t) = ((μ + r) e - r) и κ 1 = μ. Сравнение этих формул с формулами биномиального распределения объясняет название «отрицательное биномиальное распределение». Предельный случай r = 0 является распределением Пуассона.

Представляем отношение дисперсии к среднему

$\epsilon \; =\; \mu \; -\; 1\; \sigma \; 2\; =\; \kappa \; 1\; -\; 1\; \kappa \; 2,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\},\}$

вышеуказанные распределения вероятностей получают единую формулу для производная кумулянтной производящей функции:

$K\; \prime \; (t)\; =\; \mu \; \cdot \; (1\; +\; \epsilon \; \cdot \; (e\; -\; t\; -\; 1))\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \text{'}(t)\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; cdot\; (1+\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; cdot\; (e\; ^\; \{-\; t\}\; -1))\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

Вторая производная:

$K\; ″\; (т)\; знак\; равно\; g\; \prime \; (t)\; \cdot \; (1\; +\; et\; \cdot \; (\epsilon \; -\; 1-1))\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \text{'}\text{'}\; (t)\; =\; g\; \text{'}(t)\; \backslash \; cdot\; (1\; +\; e\; ^\; \{t\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; varepsilon\; ^\; \{-\; 1\}\; -1))\; ^\; \{-\; 1\}\}$

подтверждающий, что первый кумулянт равен κ 1 = K ′ (0) = μ, а второй кумулянт равен κ 2 = K ′ ′ (0) = με. Постоянные случайные величины X = μ имеют ε = 0. Биномиальные распределения имеют ε = 1 - p, так что 0 < ε < 1. The Poisson distributions have ε = 1. The negative binomial distributions have ε = p so that ε>1. Обратите внимание на аналогию с классификацией конических сечений по эксцентриситету : окружности ε = 0, эллипсы 0 < ε < 1, parabolas ε = 1, hyperbolas ε>1.

• Для нормального распределения с ожидаемым значением μ и дисперсией σ, кумулянтная производящая функция К (t) = μt + σt / 2. Первая и вторая производные кумулянтной производящей функции равны K '(t) = μ + σ · t и K "(t) = σ. Кумулянты равны κ 1 = μ, κ 2 = σ и κ 3 = κ 4 =... = 0. Частный случай σ = 0 - постоянная случайная величина X = μ.
• Кумулянты равномерного распределения на интервале [-1, 0] равны κ n = B n / n, где B n - n-е число Бернулли.
• Кумулянты экспоненциального распределения с параметром λ равны κ n = λ (n - 1)!.

Кумулянтная производящая функция K (t), если она существует, является бесконечно дифференцируемой и выпуклой, и проходит через Его первая производная монотонно изменяется в открытом интервале от инфимума до супремума носителя распределения вероятностей, а его вторая производная строго положительна везде, где она определена, кроме для град. спровоцировать распределение одной точечной массы. Кумулянт-производящая функция существует тогда и только тогда, когда хвосты распределения мажорируются экспоненциальным убыванием , то есть (см. нотация Big O )

$\exists \; c>0,\; F\; (x)\; =\; O\; (e\; -\; cx),\; x\; \to \; -\; \infty ;\; и\; \exists \; d>0,\; 1\; -\; F\; (x)\; =\; O\; (e\; -\; dx),\; x\; \to \; +\; \infty ;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; существует\; c>0,\; \backslash ,\; \backslash ,\; F\; (x)\; =\; O\; (e\; ^\; \{-\; cx\}),\; x\; \backslash \; to\; -\; \backslash \; infty;\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; exists\; d>0,\; \backslash ,\; \backslash ,\; 1-F\; (x)\; =\; O\; (e\; ^\; \{-\; dx\}),\; x\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty;\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- кумулятивная функция распределения. Кумулянт-генерирующая функция будет иметь вертикальную асимптоту (s) в точной нижней грани такого c, если такая нижняя грань существует, и в supremum такого d, если такая верхняя грань бывший ists, иначе он будет определен для всех действительных чисел.

Если опора случайной величины X имеет конечные верхние или нижние границы, то ее кумулянт-производящая функция y = K (t), если она существует, приближается к асимптоте (s), наклон которого равен верхнему и / или нижнему пределу опоры,

$y\; =\; (t\; +\; 1)\; inf\; supp\; \; X\; -\; \mu \; (X)\; и\; y\; =\; (t\; -\; 1)\; sup\; supp\; \; Икс\; +\; \mu \; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\; =\; (t\; +\; 1)\; \backslash \; inf\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; X-\; \backslash \; mu\; (X),\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt\; ]\; y\; =\; (t-1)\; \backslash \; sup\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; X\; +\; \backslash \; mu\; (X),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

соответственно, лежащих над обеими этими линиями всюду. (интегралы

$\int \; -\; \infty \; 0\; [t\; inf\; supp\; \; X\; -\; K\; \prime \; (t)]\; dt,\; \int \; \infty \; 0\; [t\; inf\; supp\; \; X\; -\; K\; \prime \; (t)]\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{0\}\; \backslash \; left\; [t\; \backslash \; inf\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; X-K\; \text{'}(t)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; dt,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{0\}\; \backslash \; left\; [t\; \backslash \; inf\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; X-K\; \text{'}(t)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; dt\}$

дают пересечения по оси y этих асимптот, поскольку K (0) = 0.)

Для сдвига распределения на c, $KX\; +\; c\; (t)\; =\; KX\; (t)\; +\; ct.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\; +\; c\}\; (t)\; =\; K\_\; \{X\}\; (t)\; +\; ct.\}$Для вырожденной точечной массы в точке c cgf представляет собой прямую линию $K\; c\; (\; t)\; =\; ct\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{c\}\; (t)\; =\; ct\}$и в более общем плане $KX\; +\; Y\; =\; KX\; +\; KY\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\; +\; Y\}\; =\; K\_\; \{\; X\}\; +\; K\_\; \{Y\}\}$тогда и только тогда, когда X и Y независимы и их cgfs существуют; (субзависимость и наличие вторых моментов, достаточных для обозначения независимости.)

естественное экспоненциальное семейство распределения может быть реализовано путем сдвига или преобразования K (t), и регулируя его по вертикали, чтобы он всегда проходил через начало координат: если f - это PDF-файл с cgf $K\; (t)\; =\; log\; \; M\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (t)\; =\; \backslash \; log\; M\; (t),\}$и $f\; |\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; |\; \backslash \; theta\}$- его естественное экспоненциальное семейство, тогда $f\; (x\; \mid \; \theta )\; =\; 1\; M\; (\theta )\; e\; \theta \; xf\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M\; (\backslash \; theta)\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; x\}\; f\; (x),\}$и $K\; (t\; \mid \; \theta )\; =\; К\; (t\; +\; \theta )\; -\; K\; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (t\; \backslash \; mid\; \backslash \; theta)\; =\; K\; (t\; +\; \backslash \; theta)\; -K\; (\backslash \; theta).\}$

Если K (t) конечно для диапазона t 1< Re(t) < t2, то если t 1< 0 < t2, то K (t) аналитична и бесконечно дифференцируема при t 1< Re(t) < t2. Более того, при t вещественных и t 1< t < t2K (t) строго выпукло, а K '(t) строго возрастает.

Инвариантность и эквивариантность

Первый кумулянт - сдвиг- эквивариант ; все остальные инвариантны относительно сдвига . Это означает, что если мы обозначим через κ n (X) n-й кумулянт распределения вероятностей случайной величины X, то для любой константы c:

• $\kappa \; 1\; (X\; +\; c)\; знак\; равно\; \kappa \; 1\; (Икс)\; +\; с\; и\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; (X\; +\; c)\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; (X)\; +\; c\; ~\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\}$
• $\kappa \; n\; (\; Икс\; +\; с)\; знак\; равно\; \kappa \; N\; (Икс)\; для\; п\; \ge \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; каппа\; \_\; \{n\}\; (X\; +\; c)\; =\; \backslash \; каппа\; \_\; \{n\}\; (X)\; ~\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; ~\; n\; \backslash \; geq\; 2.\}$

Другими словами, сдвиг случайной величины (добавление c) сдвигает первый кумулянт (среднее значение) и не влияет ни на один из остальных.

Однородность

n-й кумулянт однороден степени n, т.е. если c - любая константа, то

$\kappa \; n\; (c\; X)\; =\; c\; n\; \kappa \; n\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; (cX)\; =\; c\; ^\; \{n\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; (X).\}$

Аддитивность

Если X и Y независимы случайные величины, то κ n (X + Y) = κ n (X) + κ n (Y).

Отрицательный результат

Учитывая результаты для кумулянтов нормального распределения, можно надеяться найти семейства распределений, для которых κ m = κ m + 1 = ⋯ = 0 для некоторого m>3, при этом кумулянты низшего порядка (от 3 до m - 1) не равны нулю. Таких раздач нет. Основной результат здесь состоит в том, что кумулянтная производящая функция не может быть полиномом конечного порядка степени выше 2.

Кумулянты и моменты

моментная производящая функция задана по:

$M\; (t)\; =\; 1\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \mu \; n\; \prime \; tnn!\; =\; ехр\; \; (\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \kappa \; n\; t\; n\; n!)\; =\; ехр\; \; (K\; (t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (t)\; =\; 1\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; (K\; (t)).\}$

Таким образом, кумулянтная производящая функция является логарифмом производящей функции момента

$K\; (t)\; =\; log\; \; M\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (t)\; =\; \backslash \; log\; M\; (t).\}$

Первый кумулянт - это ожидаемое значение ; второй и третий кумулянты являются соответственно вторым и третьим центральными моментами (второй центральный момент - это дисперсия ); но старшие кумулянты не являются ни моментами, ни центральными моментами, а скорее более сложными полиномиальными функциями моментов.

Моменты могут быть восстановлены в терминах кумулянтов путем вычисления n-й производной от $exp\; \; (K\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (K\; (t))\}$при $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$,

$\mu \; n\; \prime \; =\; M\; (n)\; (0)\; =\; dn\; exp\; \; (K\; (t))\; dtn\; |\; т\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; M\; ^\; \{(n)\}\; (0)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; exp\; (K\; (t))\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}.\}$

Аналогичным образом, кумулянты могут быть восстановлены с точки зрения моментов, вычисляя n-ю производную от $log\; \; M\; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; M\; (t)\}$при $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$,

$\kappa \; n\; =\; K\; (n)\; (0)\; =\; dn\; log\; \; M\; (t)\; dtn\; |\; т\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; K\; ^\; \{(n)\}\; (0)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; log\; M\; (t)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}.\}$

Явное выражение для n-го момента в терминах первых n кумулянтов и наоборот может быть получено с помощью Формула Фаа ди Бруно для высших производных сложных функций. В общем,

$\mu \; n\; \prime \; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; n,\; k\; (\kappa \; 1,\dots ,\; \kappa \; n\; -\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n-k\; +\; 1\})\}$

$\kappa \; n\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; (-\; 1)\; к\; -\; 1\; (к\; -\; 1)!\; В\; N,\; К\; (\mu \; 1\; \prime ,\dots ,\; \mu \; N\; -\; K\; +\; 1\; \prime ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k-\; 1\}\; (k-1)!\; B\_\; \{n,\; k\}\; (\backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mu\text{'}\; \_\; \{n-k\; +\; 1\}),\}$

где $B\; n,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n,\; k\}\}$являются неполными (или частичными) полиномами Белла.

аналогичным образом, если среднее значение дается как $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, производящая функция центрального момента задается выражением

$C\; (t)\; =\; E\; \; [et\; (x\; -\; \mu )]\; =\; e\; -\; \mu \; t\; M\; (t)\; =\; exp\; \; (K\; (\; т)\; -\; \mu \; T),\; \{\backslash \; Displaystyle\; С\; (т)\; =\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; [е\; ^\; \{т\; (х-\; \backslash \; му)\}]\; =\; е\; ^\; \{-\; \backslash \; му\; т\}\; M\; (т)\; =\; \backslash \; ехр\; (\; K\; (t)\; -\; \backslash \; mu\; t),\}$

и n-й центральный момент получается в терминах кумулянтов как

$\mu \; n\; =\; C\; (n)\; (0)\; =\; dndtn\; exp\; \; (K\; (t)\; -\; \mu \; t)\; |\; t\; =\; 0\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; B\; n,\; k\; (0,\; \kappa \; 2,\dots ,\; \kappa \; n\; -\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; =\; C\; ^\; \{(n)\}\; (0)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{n\}\}\; \}\; \backslash \; exp\; (K\; (t)\; -\; \backslash \; mu\; t)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; B\_\; \{n,\; k\}\; (0,\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n-k\; +\; 1\}).\}$

Кроме того, для n>1 n-й кумулянт с точки зрения центральных моментов равен

$\kappa \; n\; =\; K\; (n)\; (\; 0)\; =\; dndtn\; (log\; \; C\; (t)\; +\; \mu \; t)\; |\; Т\; знак\; равно\; 0\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; (-\; 1)\; К\; -\; 1\; (К\; -\; 1)!\; B\; n,\; k\; (0,\; \mu \; 2,\dots ,\; \mu \; n\; -\; k\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; K\; ^\; \{(n)\}\; (0)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; t\; ^\; \{n\}\}\}\; (\backslash \; log\; C\; (t)\; +\; \backslash \; mu\; t)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k-1\}\; (k-1)!\; B\_\; \{n,\; k\}\; (0,\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mu\; \_\; \{n-k\; +\; 1\}).\; \backslash \; End\; \{align\}\; \}\}$

n-й момент μ′nявляется полиномом n-й степени от первых n кумулянтов. Первые несколько выражений:

$μ 1 ′ = κ 1 μ 2 ′ = κ 2 + κ 1 2 μ 3 ′ = κ 3 + 3 κ 2 κ 1 + κ 1 3 μ 4 ′ = κ 4 + 4 κ. 3 κ 1 + 3 κ 2 2 + 6 κ 2 κ 1 2 + κ 1 4 μ 5 ′ = κ 5 + 5 κ 4 κ 1 + 10 κ 3 κ 2 + 10 κ 3 κ 1 2 + 15 κ 2 2 κ 1 + 10 κ 2 κ 1 3 + κ 1 5 μ 6 ′ = κ 6 + 6 κ 5 κ 1 + 15 κ 4 κ 2 + 15 κ 4 κ 1 2 + 10 κ 3 2 + 60 κ 3 κ 2 κ 1 + 20 κ 3 κ 1 3 + 15 κ 2 3 + 45 κ 2 2 κ 1 2 + 15 κ 2 κ 1 4 + κ 1 6. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mu '_ {1} = {} \ kappa _ {1} \\ [5pt] \ mu' _ {2} = {} \ kappa _ {2} + \ каппа _ {1} ^ {2} \\ [5pt] \ mu '_ {3} = {} \ kappa _ {3} +3 \ kappa _ {2} \ kappa _ {1} + \ kappa _ { 1} ^ {3} \\ [5pt] \ mu '_ {4} = {} \ kappa _ {4} +4 \ kappa _ {3} \ kappa _ {1} +3 \ kappa _ {2} ^ {2} +6 \ kappa _ {2} \ kappa _ {1} ^ {2} + \ kappa _ {1} ^ {4} \\ [5pt] \ mu '_ {5} = {} \ каппа _ {5} +5 \ каппа _ {4} \ каппа _ {1} +10 \ каппа _ {3} \ каппа _ {2} +10 \ каппа _ {3} \ каппа _ {1} ^ {2 } +15 \ каппа _ {2} ^ {2} \ каппа _ {1} +10 \ каппа _ {2} \ каппа _ {1} ^ {3} + \ каппа _ {1} ^ {5} \\ [5pt] \ mu '_ {6} = {} \ kappa _ {6} +6 \ kappa _ {5} \ kappa _ {1} +15 \ kappa _ {4} \ kappa _ {2} +15 \ каппа _ {4} \ каппа _ {1} ^ {2} +10 \ каппа _ {3} ^ {2} +60 \ каппа _ {3} \ каппа _ {2} \ каппа _ {1} +20 \ каппа _ {3} \ каппа _ {1} ^ {3} \\ {} + 15 \ каппа _ {2} ^ {3} +45 \ каппа _ {2} ^ {2} \ каппа _ {1 } ^ {2} +15 \ kappa _ {2} \ kappa _ {1} ^ {4} + \ kappa _ {1} ^ {6}. \ End {align}}}$

«Штрих» отличает моменты μ ′ n из центральных моментов μn. Чтобы выразить центральные моменты как функции кумулянтов, просто исключите из этих многочленов все члены, в которых κ 1 появляется как множитель:

$\mu \; 1\; =\; 0\; \mu \; 2\; =\; \kappa \; 2\; \mu \; 3\; =\; \kappa \; 3\; \mu \; 4\; =\; \kappa \; 4\; +\; 3\; \kappa \; 2\; 2\; \mu \; 5\; =\; \kappa \; 5\; +\; 10\; \kappa \; 3\; \kappa \; 2\; \mu \; 6\; =\; \kappa \; 6\; +\; 15\; \kappa \; 4\; \kappa \; 2\; +\; 10\; \kappa \; 3\; 2\; +\; 15\; \kappa \; 2\; 3.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{4\}\; +3\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; mu\; \_\; \{5\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{5\}\; +10\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; mu\; \_\; \{6\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{6\}\; +15\; \backslash \; kappa\; \_\; \{4\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; +10\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +15\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; ^\; \{3\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Аналогично n-й кумулянт κ n - многочлен n-й степени от первых n нецентральных моментов. Первые несколько выражений:

$κ 1 = μ 1 ′ κ 2 = μ 2 ′ - μ 1 ′ 2 κ 3 = μ 3 ′ - 3 μ 2 ′ μ 1 ′ + 2 μ 1 ′ 3 κ 4 = μ 4 ′ - 4 μ 3 ′ μ 1 ′ - 3 μ 2 ′ 2 + 12 μ 2 ′ μ 1 ′ 2 - 6 μ 1 ′ 4 κ 5 = μ 5 ′ - 5 μ 4 ′ μ 1 ′ - 10 μ 3 ′ μ 2 ′ + 20 μ 3 ′ μ 1 ′ 2 + 30 μ 2 ′ 2 μ 1 ′ - 60 μ 2 ′ μ 1 ′ 3 + 24 μ 1 ′ 5 κ 6 = μ 6 ′ - 6 μ 5 ′ μ 1 ′ - 15 μ 4 ′ μ 2 ′ + 30 μ 4 ′ μ 1 ′ 2 - 10 μ 3 ′ 2 + 120 μ 3 ′ μ 2 ′ μ 1 ′ - 120 μ 3 ′ μ 1 ′ 3 + 30 μ 2 ′ 3 - 270 μ 2 ′ 2 μ 1 ′ 2 + 360 μ 2 ′ μ 1 ′ 4 - 120 μ 1 ′ 6 {\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa _ {1} = {} \ mu '_ {1} \\ [4pt] \ kappa _ {2} = {} \ mu '_ {2} - {\ mu' _ {1}} ^ {2} \\ [4pt] \ kappa _ {3} = {} \ mu '_ {3} -3 \ mu' _ {2} \ mu '_ {1} +2 {\ mu' _ {1}} ^{3} \\ [4pt] \ kappa _ {4} = {} \ mu '_ {4} -4 \ mu' _ {3} \ mu '_ {1} -3 {\ mu' _ {2 }} ^ {2} +12 \ mu '_ {2} {\ mu' _ {1}} ^ {2} -6 {\ mu '_ {1}} ^ {4} \\ [4pt] \ kappa _ {5} = {} \ mu '_ {5} -5 \ mu' _ {4} \ mu '_ {1} -10 \ mu' _ {3} \ mu '_ {2} +20 \ mu '_ {3} {\ mu' _ {1}} ^ {2} +30 {\ mu '_ {2}} ^ {2} \ mu' _ {1} -60 \ mu '_ {2} {\ mu '_ {1}} ^ {3} + 24 {\ mu' _ {1}} ^ {5} \\ [4pt] \ kappa _ {6} = {} \ mu '_ {6} -6 \ mu '_ {5} \ mu' _ {1} -15 \ mu '_ {4} \ mu' _ {2} +30 \ mu '_ {4} {\ mu' _ {1}} ^ {2} -10 {\ mu '_ {3}} ^ {2} +120 \ mu' _ {3} \ mu '_ {2} \ mu' _ {1} \\ {} - 120 \ mu '_ {3} {\ mu' _ {1}} ^ {3} +30 {\ mu '_ {2}} ^ {3} -270 {\ mu' _ {2}} ^ {2} { \ mu '_ {1}} ^ {2} +360 \ mu' _ {2} {\ mu '_ {1}} ^ {4} -120 {\ mu' _ {1}} ^ {6} \ end {align}}}$

Чтобы выразить кумулянты κ n для n>1 как функции центральных моментов, исключите из этих многочленов все члены, в μ '1 выступают в качестве которых множителя:

$\kappa \; 2\; =\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; k\; appa\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; му\; \_\; \{2\}\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 3\; =\; \mu \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 4\; =\; \mu \; 4\; -\; 3\; \mu \; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{4\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; -3\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 5\; =\; \mu \; 5\; -\; 10\; \mu \; 3\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{5\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{5\}\; -10\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 6\; =\; \mu \; 6\; -\; 15\; \mu \; 4\; \mu \; 2\; -\; 10\; \mu \; 3\; 2\; +\; 30\; \mu \; 2\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{6\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{6\}\; -15\; \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; -10\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{3\}\}\; ^\; \{2\}\; +30\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash ,.\}$

Чтобы выразить кумулянты κ n для n>2 как функции от стандартизованных центральных моментов, также установите μ '2 = 1 в полиномах:

$\kappa \; 3\; =\; \mu \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 4\; =\; \mu \; 4\; -\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; каппа\; \_\; \{4\}\; =\; \backslash \; му\; \_\; \{4\}\; -3\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 5\; =\; \mu \; 5\; -\; 10\; \mu \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{5\}\; =\; \backslash \; му\; \_\; \{5\}\; -10\; \backslash \; му\; \_\; \{3\}\; \backslash ,\}$

$\kappa \; 6\; =\; \mu \; 6\; -\; 15\; \mu \; 4\; -\; 10\; \mu \; 3\; 2\; +\; 30.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{6\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; 6\}\; -15\; \backslash \; mu\; \_\; \{4\}\; -10\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{3\}\}\; ^\; \{2\}\; +30\; \backslash ,.\}$

Кумулянты также связ аны с моментами следующая формулой рекурсии :

$\kappa \; n\; =\; \mu \; n\; \prime \; -\; \sum \; m\; =\; 1\; n\; -\; 1\; (n\; -\; 1\; m)\; \kappa \; m\; \mu \; n\; -\; м\; \text{'}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{n-1\; \backslash \; select\; m\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{m\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; nm\}\; \text{'}.\}$

Кумулянты и разбиения множеств

Эти многочлены имеют замечательную комбинаторную интерпретацию: коэффициенты подсчитывают превосход разбиения множеств. Общий вид этих многочленов:

$\mu \; n\; \prime \; =\; \sum \; \pi \; \in \; \Pi \; \prod \; B\; \in \; \pi \; \kappa \; |\; B\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; in\; \backslash ,\; \backslash \; Pi\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{B\; \backslash ,\; \backslash \; in\; \backslash ,\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{|\; B\; |\}\}$

, где

• π пробегает список всех разделов набора размера n;
• «B ∈ π» означает, что B является одним из «блоков», на который разбивается набор; и
• | B | - размер множества B.

Таким образом, каждый моном представляет собой постоянное произведение кумулянтов, в котором сумма индексов равна n (например, в члене κ 3κ2κ1сумма индексов составляет 3 + 2 + 2 + 1 = 8; это появляется в полиноме, который выражает 8-й момент как функцию первых восьми кумулянтов). Каждому члену соответствует раздел целого числа n. Коэффициент в каждом члене - это количество разделов набора из n элементов, которые сворачиваются в раздел с целым числом n, когда элементы набора становятся неразличимыми.

Кумулянты и комбинаторика

Дальнейшую связь между кумулянтами и комбинаторикой можно найти в работе Джан-Карло Рота, где ссылки на теорию инвариантов, симметричные функции и биномиальные параметры изучаются с помощью умбрального исчисления.

совместных кумулянтов нескольких случайныхин X 1,..., X n определяется аналогичной кумулянтной производящей функцией

$K\; (t\; 1,\; t\; 2,\dots ,\; tn)\; =\; log\; \; E\; (e\; \sum \; j\; =\; 1\; ntj\; X\; j).\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (т\_\; \{1\},\; т\_\; \{2\},\; \backslash \; точки,\; t\_\; \{п\})\; =\; \backslash \; журнал\; E\; (\backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; сумма\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; t\_\; \{j\; \}\; X\_\; \{j\}\}).\}$

Следовательно,

$\kappa \; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; \pi \; (|\; \pi \; |\; -\; 1)!\; (-\; 1)\; |\; \pi \; |\; -\; 1\; \prod \; В\; \in \; \pi \; E\; (\prod \; я\; \in \; BX\; я)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; каппа\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; точки,\; X\_\; \{п\})\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; пи\}\; (|\; \backslash \; пи\; |\; -1)!\; (-1)\; ^\; \{|\; \backslash \; пи\; |\; -1\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{B\; \backslash \; in\; \backslash \; pi\}\; E\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; B\}\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\}$

где π запускается по списку всех разбиений {1,..., n}, B проходит по списку всех блоков разбиения π, и | π | количество частей в разделе. Например,

$\kappa \; (X,\; Y,\; Z)\; =\; E\; \; (XYZ)\; -\; E\; \; (XY)\; E\; \; (Z)\; -\; E\; \; (XZ)\; E\; \; (Y)\; -\; E\; \; (YZ)\; E\; \; (\; X)\; +\; 2\; E\; \; (X)\; E\; \; (Y)\; E\; \; (Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XYZ)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XY)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (Z)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XZ)\; \backslash \; operatorname\; \{\; E\}\; (Y)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (YZ)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X)\; +2\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (Y)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (Z).\; \backslash ,\}$

Если какие-либо из этих случайных величин идентичны, например, если X = Y, то применяются формулы же, например

$\kappa \; (X,\; X,\; Z)\; =\; E\; \; (X\; 2\; Z)\; -\; 2\; E\; \; (XZ)\; E\; \; (X)\; -\; E\; \; (X\; 2)\; E\; \; (Z)\; +\; 2\; E\; (X)\; 2\; E\; \; (Z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (X,\; X,\; Z)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\; ^\; \{2\}\; Z)\; -2\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XZ)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\; ^\; \{2\})\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (Z)\; +2\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (Z),\; \backslash ,\}$

хотя для таких повторяющихся чисел есть более лаконичные формулы. Для случайных векторов с нулевым средним

$\kappa \; (X,\; Y,\; Z)\; =\; E\; \; (X\; Y\; Z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; каппа\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; (XYZ).\; \backslash ,\}$

$\kappa \; (X,\; Y,\; Z,\; W)\; =\; E\; \; (XYZW)\; -\; E\; \; (XY)\; E\; \; (ZW)\; -\; E\; \; (XZ)\; E\; \; (YW)\; -\; E\; \; (XW)\; E\; \; (YZ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (X,\; Y,\; Z,\; W)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XYZW)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XY)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (ZW)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XZ)\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; (YW)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (XW)\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (YZ).\; \backslash ,\}$

Совокупный кумулянт только одной случайной величиной является ее математическим ожиданием и величиной их двух случайных величин это ковариация. Если некоторые из случайных величин независимы от всех других, то любой кумулянт, включающий две (или более) независимых случайных величин, равенство нулю. Если все n случайных величин одинаковы, то объединенный кумулянт является n-м обычным кумулянтом.

Комбинаторный смысл выражения моментов через кумулянты легче понять, чем кумулянтов через моменты:

$E\; \; (X\; 1\; \cdots \; X\; n)\; =\; \sum \; \pi \; \prod \; B\; \in \; \pi \; \kappa \; (X\; i:\; i\; \in \; B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{B\; \backslash \; in\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; kappa\; (X\_\; \{i\}:\; i\; \backslash \; in\; B).\}$

Например:

$E\; \; (XYZ)\; =\; \kappa \; (X,\; Y,\; Z)\; +\; \kappa \; (X,\; Y)\; \kappa \; (Z)\; +\; \kappa \; (X,\; Z)\; \kappa \; (Y)\; +\; \kappa \; (\; Y,\; Z)\; \kappa \; (X)\; +\; \kappa \; (X)\; \kappa \; (Y)\; \kappa \; (Z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; (XYZ)\; =\; \backslash \; каппа\; (X,\; Y,\; Z)\; +\; \backslash \; каппа\; (X,\; Y)\; \backslash \; каппа\; (Z)\; +\; \backslash \; каппа\; (X,\; Z)\; \backslash \; каппа\; (Y)\; +\; \backslash \; каппа\; (Y,\; Z)\; \backslash \; каппа\; (X)\; +\; \backslash \; каппа\; (X)\; \backslash \; каппа\; (Y)\; \backslash \; каппа\; (Z).\; \backslash ,\}$

Еще одним важным свойством совместных кумулянтов является полилинейность:

$\kappa \; (X\; +\; Y,\; Z\; 1,\; Z\; 2,\dots )\; =\; \kappa \; (X,\; Z\; 1,\; Z\; 2,\dots )\; +\; \kappa \; (Y,\; Z\; 1,\; Z\; 2,\dots ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; каппа\; (Икс\; +\; Y,\; Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; точки)\; =\; \backslash \; каппа\; (Х,\; Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots)\; +\; \backslash \; каппа\; (Y,\; Z\_\; \{\; 1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots).\; \backslash ,\}$

Подобно тому, как второй кумулянт - это дисперсия, совместный кумулянт всего двух случайных величин - это ковариация. Знакомая сущность

$var\; \; (X\; +\; Y)\; =\; var\; \; (X)\; +\; 2\; cov\; \; (X,\; Y)\; +\; var\; \; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X\; +\; Y)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{\; var\}\; (X)\; +2\; \backslash \; operatorname\; \{cov\}\; (X,\; Y)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (Y)\; \backslash ,\}$

обобщается на кумулянты:

$\kappa \; n\; (X\; +\; Y)\; =\; \sum \; j\; =\; 0\; n\; (nj)\; \kappa \; (X,\dots ,\; X\; ⏟\; j,\; Y,\dots ,\; Y\; ⏟\; n\; -\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; (X\; +\; Y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; select\; j\}\; \backslash \; kappa\; (\backslash ,\; \backslash \; underbrace\; \{X,\; \backslash \; dots,\; X\}\; \_\; \{\; j\},\; \backslash \; underbrace\; \{Y,\; \backslash \; dots,\; Y\}\; \_\; \{nj\}\; \backslash ,).\; \backslash ,\}$

Условные кумулянты и закон общей кумулянты

Закон общего ожидания и закон полной дисперсии естественным образом обобщаются на условные кумулянты. Случай n = 3, выраженный на языке (центральных) моментов, не на языке кумулянтов, говорит, что

$\mu \; 3\; (X)\; =\; E\; \; (\mu \; 3\; (X\; \mid \; Y))\; +\; \mu \; 3\; (E\; \; (X\; \mid \; Y))\; +\; 3\; cov\; \; (E\; \; (X\; \mid \; Y),\; var\; \; (X\; \mid \; Y)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; (X)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; (X\; \backslash \; mid\; Y))\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{3\}\; (\backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\; \backslash \; mid\; Y))))\; +\; 3\; \backslash \; operatorname\; \{cov\}\; (\backslash \; operatorname\; \{E\}\; (X\; \backslash \; mid\; Y),\; \backslash \; operatorname\; \{var\}\; (X\; \backslash \; mid\; Y)).\}$

В общем,

$\kappa \; (X\; 1,\dots ,\; Икс\; N)\; знак\; равно\; \sum \; \pi \; \kappa \; (\kappa \; (Икс\; \pi \; 1\; \mid \; Y),\dots ,\; \kappa \; (X\; \pi \; b\; \mid \; Y))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; kappa\; (\backslash \; kappa\; (X\; \_\; \{\backslash \; pi\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; mid\; Y),\; \backslash \; dots,\; \backslash \; kappa\; (X\; \_\; \{\backslash \; pi\; \_\; \{b\}\}\; \backslash \; mid\; Y))\}$

где

• сумма берется по всем разбиениям π набора {1,..., n} индексов, и
• π1,..., π b - все «блоки» разбиения π; выражение κ (X πm) указывает, что совокупный кумулянт случайных величин, индексы которых находятся в этом блоке разбиения.

В статистической физике многие обширные количества - то есть количества, которые пропорциональны объему или размеру данной системы - связаны к кумулянтам случайных величин. Глубокая связь заключается в том, что в большой системе такая обширная величина, как энергия или количество частиц, может рассматриваться как сумма (скажем) энергии, связанной с рядом почти независимых областей. Тот факт, что кумулянты этих почти независимых случайных величин будут (почти) складываться, делает разумным предположение, что большие количества должны быть связаны с кумулянтами.

Система, находящаяся в равновесии с термостатом при температуре T, имеет флуктуирующую внутреннюю энергию E, которую можно рассматривать как случайную величину, взятую из распределения $E\; \sim \; p\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; sim\; p\; (E)\}$. статистическая сумма системы:

$Z\; (\beta )\; =\; ⟨exp\; \; (-\; \beta \; E)⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; beta)\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; beta\; E)\; \backslash \; rangle,\; \backslash ,\}$

где β = 1 / (kT), а k - постоянная Больцмана и запись $⟨A⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle\}$был использован вместо $E\; \; [A]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [A]\}$для математического ожидания, чтобы избежать путаницы с энергией, E. Следовательно, первый и второй кумулянты для энергии E дают среднюю энергию и теплоемкость.

$⟨E⟩\; c\; =\; \partial \; журнал\; \; Z\; \partial \; (-\; \beta )\; =\; ⟨E⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; \_\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; log\; Z\}\; \{\backslash \; partial\; (-\; \backslash \; бета)\}\}\; =\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\}$

$⟨E\; 2⟩\; c\; =\; \partial \; ⟨E⟩\; c\; \partial \; (-\; \beta )\; =\; k\; T\; 2\; \partial \; ⟨E⟩\; \partial \; T\; =\; k\; T\; 2\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; E\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \_\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\; \_\; \{c\}\}\; \{\backslash \; partial\; (-\; \backslash \; beta)\}\}\; =\; kT\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; langle\; E\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; =\; kT\; ^\; \{2\}\; C\}$

свободная энергия Гельмгольца, выраженная через

$F\; (\beta )\; =\; -\; \beta \; -\; 1\; log\; \; Z\; (\beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; beta)\; =\; -\; \backslash \; beta\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; log\; Z\; (\backslash \; beta)\; \backslash ,\}$

дополнительно связывает термодинамические величины с кумулянтной производящей функцией для энергии. Термодинамические свойства, которые являются производными от свободной энергии, такие как ее внутренняя энергия, энтропия и удельная теплоемкость, все могут быть легко выражены через эти кумулянты. Другая свободная энергия может быть функцией других переменных, таких как магнитное поле или химический потенциал $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, например

$Ом\; знак\; равно\; -\; \beta \; -\; 1\; журнал\; \; (⟨ехр\; \; (-\; \beta \; E\; -\; \beta \; \mu \; N)⟩),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; -\; \backslash \; beta\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; log\; (\backslash \; langle\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; beta\; E-\; \backslash \; beta\; \backslash \; mu\; N)\; \backslash \; rangle),\; \backslash ,\}$

где N - количество частиц, а $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- великий потенциал. Опять же, тесная взаимосвязь между определением свободной энергии и кумулянтной производящей функцией подразумевает, что различные производные этой свободной энергии могут быть записаны в терминах совместных кумулянтов E и N. История кумулянтов обсуждается Андерсом Халдом.

Кумулянты были впервые представлены Торвальдом Н. Тиле в 1889 году, который назвал их полуинвариантами. Впервые они были названы кумулянтами в статье 1932 года Рональда Фишера и Джона Уишарта. Фишеру о работе Тиле публично напомнил Нейман, который также отмечает ранее опубликованные цитаты Тиле, доведенные до сведения Фишера. Стивен Стиглер сказал, что название кумулянт было предложено Фишеру в письме от Гарольда Хотеллинга.. В статье, опубликованной в 1929 году, Фишер назвал их функциями кумулятивного момента. Статистическая сумма в статистической физике была введена Джозией Уиллардом Гиббсом в 1901 году. Свободную энергию часто называют свободной энергией Гиббса. В статистической механике кумулянты также известны как функции Урселла, относящиеся к публикации 1927 года.

Формальные кумулянты

В более общем смысле, кумулянты последовательности {m n : n = 1, 2, 3,...}, не обязательно моменты любого распределения вероятностей, по определению, являются

$1\; +\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; mntnn!\; знак\; равно\; ехр\; \; (\sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \kappa \; ntnn!),\; \{\backslash \; displaystyle\; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\; \}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; right),\}$

где значения κ n для n = 1, 2, 3,... находят формально, т. е. только с помощью алгебры, не обращая внимания на вопросы о том, сходится ли какой-либо ряд. При формальной работе все трудности «проблемы кумулянтов» отсутствуют. Самый простой пример - второй кумулянт распределения вероятностей всегда должен быть неотрицательным и равен нулю, только если все старшие кумулянты равны нулю. На формальные кумулянты такие ограничения не распространяются.

Bell-числа

В комбинаторике n-ое Bell-число - это количество разделов набора размера n. Все кумулянты последовательности чисел Белла равны 1. Числа Белла - это моменты распределения Пуассона с ожидаемым значением 1.

Кумулянты полиномиальной последовательности биномиального типа

Для любой последовательности {κ n : n = 1, 2, 3,...} скаляров в поле нулевой характеристики, считающимися формальными кумулянтами, там - соответствующая последовательность {μ ′: n = 1, 2, 3,... } формальных моментов, заданных полиномами выше. Для этих полиномов постройте последовательность полиномов следующим образом. Из полинома

$\mu \; 6\; \prime \; =\; \kappa \; 6\; +\; 6\; \kappa \; 5\; \kappa \; 1\; +\; 15\; \kappa \; 4\; \kappa \; 2\; +\; 15\; \kappa \; 4\; \kappa \; 1\; 2\; +\; 10\; \kappa \; 3\; 2\; +\; 60\; \kappa \; 3\; \kappa \; 2\; \kappa \; 1\; +\; 20\; \kappa \; 3\; \kappa \; 1\; 3\; +\; 15\; \kappa \; 2\; 3\; +\; 45\; \kappa \; 2\; 2\; \kappa \; 1\; 2\; +\; 15\; \kappa \; 2\; \kappa \; 1\; 4\; +\; \kappa \; 1\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mu\; \text{'}\_\; \{6\}\; =\; \{\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{6\}\; +6\; \backslash \; каппа\; \_\; \{5\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; +15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{4\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; +15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{4\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +10\; \backslash \; каппа\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +60\; \backslash \; каппа\; \_\; \{3\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; +20\; \backslash \; каппа\; \_\; \{3\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \{\; \}\; +\; 15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\; +45\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; ^\; \{6\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

создать новый многочлен в них плюс одна дополнительная переменная x:

$p\; 6\; (x)\; =\; \kappa \; 6\; x\; +\; (6\; \kappa \; 5\; \kappa \; 1\; +\; 15\; \kappa \; 4\; \kappa \; 2\; +\; 10\; \kappa \; 3\; 2)\; x\; 2\; +\; (15\; \kappa \; 4\; \kappa \; 1\; 2\; +\; 60\; \kappa \; 3\; \kappa \; 2\; \kappa \; 1\; +\; 15\; \kappa \; 2\; 3)\; x\; 3\; +\; (45\; \kappa \; 2\; 2\; \kappa \; 1\; 2)\; Икс\; 4\; +\; (15\; \kappa \; 2\; \kappa \; 1\; 4)\; Икс\; 5\; +\; (\kappa \; 1\; 6)\; Икс\; 6,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\_\; \{6\}\; (x)\; =\; \{\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{6\}\; \backslash ,\; х\; +\; (6\; \backslash \; каппа\; \_\; \{5\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; +15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{4\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; +10\; \backslash \; каппа\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\}\; +\; (15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{4\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +60\; \backslash \; каппа\; \_\; \{3\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; +15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{\; 2\}\; ^\; \{3\})\; \backslash ,\; x\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; (45\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; x\; ^\; \{4\}\; +\; (15\; \backslash \; каппа\; \_\; \{2\}\; \backslash \; каппа\; \_\; \{1\}\; ^\; \{4\})\; \backslash ,\; x\; ^\; \{5\}\; +\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; ^\; \{6\})\; \backslash ,\; x\; ^\; \{6\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, обобщите шаблон. Шаблон состоит в том, что количество блоков в вышеупомянутых разделах является показателем x. Каждый коэффициент является полиномом от кумулянтов; это полиномы Белла, названные в честь Эрика Темпл Белла.

. Эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип. Фактически, никаких последовательностей биномиального не существует; каждая полиномиальная последовательность биномиального типа полностью основана на своей последовательности формальных кумулянтов.

Свободные кумулянты

В приведенной выше формуле моментного кумулянта

$E\; (X\; 1\; \cdots \; X\; n)\; =\; \sum \; \pi \; \prod \; В\; \in \; \pi \; \kappa \; (Икс\; я:\; я\; \in \; В)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (X\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{B\; \backslash ,\; \backslash \; in\; \backslash ,\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; kappa\; (X\_\; \{i\}:\; i\; \backslash \; in\; B)\}$

для совместных кумулянтов, одна сумма по всем разбиениям блоков {1,..., n}. Если вместо этого суммировать только по непересекающимся разделам, то решая эти формулы для $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$в терминах моментов, получаем свободные кумулянты, а не обычные кумулянты, описанные выше. Эти свободные кумулянты были введены Роландом Спайхером и играют центральную роль в теории свободной вероятности. В этой теории вместо рассмотрения независимость случайных величин, определенных в терминах тензорных произведений алгебр случайных величин, вместо этого свободная величина случайных величин, определенных в терминах свободных произведений алгебр.

Обычные кумулянты степени выше 2 из нормального распределения равны нулю. Свободные кумулянты степени выше 2 в распределении полукругов Вигнера равны нулю. В этом отношении роли распределения Вигнера в свободной теории вероятностей аналогичной роли нормального распределения в традиционной теории вероятностей.

• Рисктропии
• Функция генерации кумулянта из мультимножества
• Расширение Корниша - Фишера
• Расширение Эджворта
• Поликей
• k-статистика несмещенная оценка с минимальной дисперсией кумулянта
• функция Урселла
• тензора полного разброса положения как приложение кумулянтов для анализа электронной волновой функции в квантовая химия.

• Вайсштейн, Эрик У. «Кумулянт». MathWorld.
• кумулянт на Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики