Ядро (теория игр)

редактировать

В теории игр ядро ​​- это набор из возможных распределений, которые не могут быть улучшены подмножеством (коалицией) агентов экономики. Говорят, что коалиция улучшает или блокирует возможное распределение, если членам этой коалиции лучше при другом возможном распределении, которое идентично первому, за исключением того, что каждый член коалиции имеет другой набор потребления, который является частью совокупного потребления. пакет, который может быть построен из общедоступных технологий и начальных ресурсов каждого потребителя в коалиции.

Говорят, что у распределения есть основное свойство, если нет коалиции, которая могла бы его улучшить. Ядро - это набор всех возможных распределений со свойством ядра.

Содержание

  • 1 Источник
  • 2 Определение
  • 3 Свойства
  • 4 Пример
    • 4.1 Пример 1: Шахтеры
    • 4.2 Пример 2: Перчатки
    • 4.3 Пример 3: Обувь
  • 5 Ядро теории общего равновесия
  • 6 Ядро теории голосования
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература

Источник

Идея ядра уже появилась в трудах Эджворта (1881) harvtxt error: no target: CITEREFEdgeworth1881 (help ), в то время называемая кривой контракта. Даже если фон Нейман и Моргенштерн считали это интересной концепцией, они работали только с играми с нулевой суммой, где ядро ​​всегда пусто. Современное определение ядра связано с Gillies.

Definition

Рассмотрим переносимую полезность кооперативную игру (N, v) { \ displaystyle (N, v)}(N, v) где N {\ displaystyle N}N обозначает набор игроков, а v {\ displaystyle v}v - характеристическая функция. imputation x ∈ RN {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {N}}x \ in {\ mathbb {R}} ^ {N} доминирует другое вменение y {\ displaystyle y}y если существует коалиция C {\ displaystyle C}C , такая, что каждый игрок в C {\ displaystyle C}C предпочитает y {\ displaystyle y}y , формально: xi ≤ yi {\ displaystyle x_ {i} \ leq y_ {i}}x_ {i} \ leq y_ {i} для всех i ∈ C {\ displaystyle i \ in C}i \ in C и существует i ∈ C {\ displaystyle i \ in C}i \ in C такое, что xi < y i {\displaystyle x_{i}x_{i}<y_{i}и C {\ displaystyle C}C может применять y {\ displaystyle y}y (угрожая покинуть большую коалицию, чтобы сформировать C {\ displaystyle C}C ), формально: ∑ i ∈ C yi ≤ v (C) {\ displaystyle \ sum _ {i \ in C} y_ {i} \ leq v ( C)}{\ displaystyle \ sum _ {i \ in C} y_ {i} \ leq v (C)} . Вменение x {\ displaystyle x}x является доминирующим, если существует доминирующее вменение y {\ displaystyle y}y .

ядро ​​- это набор вменений, которые не доминируют.

Свойства

  • В другом определении, эквивалентном приведенному выше, говорится что ядро ​​представляет собой набор распределений выплат x ∈ RN {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {N}}x \ in {\ mathbb {R}} ^ {N} , удовлетворяющих
  1. эффективности: ∑ i ∈ N xi знак равно v (N) {\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} x_ {i} = v (N)}\ sum _ {{i \ in N}} x_ {i} = v (N) ,
  2. Коалиционная рациональность: ∑ i ∈ C xi ≥ v (C) {\ displaystyle \ sum _ {i \ in C} x_ {i} \ geq v (C)}\ sum _ {{i \ in C}} x_ {i} \ geq v (C) для всех подмножеств (коалиций) C ⊆ N {\ displaystyle C \ substeq N}C \ substeq N .
  • Ядро всегда четко определено, но может быть пустым.
  • Ядро - это набор, который удовлетворяет системе слабых линейных неравенств. Следовательно, ядро ​​замкнутое и выпуклое.
  • . Теорема Бондаревой – Шепли : ядро ​​игры непусто тогда и только тогда, когда игра является «сбалансированным».
  • Каждое вальрасианское равновесие обладает основным свойством, но не наоборот. Гипотеза Эджворта утверждает, что с учетом дополнительных предположений предел ядра по мере того, как количество потребителей стремится к бесконечности, представляет собой набор вальрасовских равновесий.
  • Пусть имеется n игроков, где n странно. Игра, в которой предлагается разделить одну единицу товара между коалицией, состоящей как минимум из (n + 1) / 2 членов, имеет пустое ядро. То есть стабильной коалиции не существует.

Пример

Пример 1: Шахтеры

Рассмотрим группу из n горняков, которые обнаружили большие слитки золота. Если два шахтера могут нести один кусок золота, то выигрыш коалиции S составит

v (S) = {| S | / 2, если | S | даже ; (| S | - 1) / 2, если | S | странно. {\ Displaystyle v (S) = {\ begin {cases} | S | / 2, {\ text {if}} | S | {\ text {четно}}; \\ (| S | -1) / 2, {\ text {if}} | S | {\ text {is odd}}. \ End {cases}}}v (S) = {\ begin {cases} | S | / 2, {\ text {if}} | S | {\ text {четно}}; \\ (| S | -1) / 2, {\ text {if}} | S | {\ text {is odd}}. \ End {cases}}

Если майнеров больше двух и есть четное число, то Ядро состоит из единственной выплаты, где каждый майнер получает 1/2. Если количество майнеров нечетное, то ядро ​​пусто.

Пример 2: перчатки

Мистер А и мистер Б - вязальные перчатки. Перчатки универсальны, а две перчатки составляют пару, которую они продают за 5 евро. Каждый из них сделал по три перчатки. Как разделить выручку от продажи? Проблему можно описать с помощью функции , образующей, со следующей характеристической функцией: у каждого человека есть три перчатки, то есть одна пара с рыночной стоимостью 5 евро. Вместе у них 6 перчаток или 3 пары, рыночная стоимость которых составляет 15 евро. Поскольку одноэлементные коалиции (состоящие из одного человека) являются единственными нетривиальными коалициями в игре, все возможные распределения этой суммы принадлежат ядру, при условии, что оба мужчины получают не менее 5 евро, сумму, которую они могут достичь самостоятельно. Например, (7.5, 7.5) принадлежит ядру, но также (5, 10) или (9, 6).

Пример 3: Обувь

На данный момент игнорируйте размеры обуви: пара состоит из левого и правого ботинка, которые затем можно продать за 10 евро. Рассмотрим игру с 2001 игроками: 1000 из них имеют 1 левый ботинок, 1001 - 1 правый ботинок. Суть этой игры несколько удивительна: она состоит из единственного вменения, которое дает 10 тем, у кого (дефицитный) левый ботинок, и 0 тем, кто владеет (избыточным) правым ботинком. Ни одна коалиция не может заблокировать этот результат, потому что ни один левый владелец обуви не примет менее 10, и любое вменение, которое выплачивает положительную сумму любому правому владельцу обуви, должно заплатить меньше 10000 в общей сложности другим игрокам, которые могут получить 10000 самостоятельно.. Итак, в ядре всего одно вменение.

Сообщение останется прежним, даже если мы увеличим числа, пока левых туфель будет меньше. Ядро критиковали за то, что оно чрезвычайно чувствительно к переизбытку одного типа игроков.

Суть теории общего равновесия

Вальрасовские равновесия экономики обмена в модели общего равновесия лежат в основе кооперационной игры между агентами. Графически и в экономике с двумя агентами (см. Вставку Эджворта) ядро ​​представляет собой набор точек на кривой контрактов (набор оптимальных по Парето распределений), лежащих между каждой из кривых безразличия агентов, определенных на начальных ресурсах.

Суть теории голосования

Когда альтернативами являются распределения (список потребительских пакетов), естественно предположить, что любые непустые подмножества индивидов могут заблокировать данное распределение. Однако, когда альтернативы являются общедоступными (например, количество определенного общественного блага), более уместно предположить, что только достаточно большие коалиции могут заблокировать данную альтернативу. Набор таких больших («выигрышных») коалиций называется простой игрой. Суть простой игры в отношении профиля предпочтений основана на идее, что только выигравшие коалиции могут отклонить альтернативу x {\ displaystyle x}x в пользу другой альтернативы y {\ displaystyle y}y . Необходимое и достаточное условие непустоты ядра для всех профилей предпочтений обеспечивается с помощью числа Накамуры для простой игры.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-05-15 12:21:13
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте