Непротиворечивые и непоследовательные уравнения

В математике и особенно в алгебре, a линейная или нелинейная система уравнений называется непротиворечивой, если существует хотя бы один набор значений для неизвестных, который удовлетворяет каждому уравнению в система - то есть, когда заменяется в каждое из уравнений, они делают каждое уравнение истинным как тождество. Напротив, линейная или нелинейная система уравнений называется несогласованный, если нет набора значений для неизвестные, удовлетворяющие всем уравнениям.

Если система уравнений несовместима, то можно манипулировать и комбинировать уравнения таким образом, чтобы получить противоречивую информацию, например, 2 = 1 или x + y = 5 и x + y. = 6 (что означает 5 = 6).

Оба типа системы уравнений, непротиворечивые и непоследовательные, могут быть любыми из переопределенных (имеющих больше уравнений, чем неизвестных), недоопределенных (имеющих меньше уравнений, чем неизвестных), или точно определено.

Содержание

• 1 Простые примеры
  • 1.1 Недоопределенные и непротиворечивые
  • 1.2 Недоопределенные и непоследовательные
  • 1.3 Точно определенные и непротиворечивые
  • 1.4 Точно определенные и непоследовательные
  • 1.5 Переопределенные и непротиворечивые
  • 1.6 Переопределение и непоследовательность
• 2 Критерии согласованности
  • 2.1 Линейные системы
  • 2.2 Нелинейные системы

Простые примеры

Недоопределенные и непротиворечивые

Система

$x\; +\; y\; +\; z\; =\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 3,\}$

$x\; +\; y\; +\; 2\; z\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; +\; 2z\; =\; 4\}$

имеет бесконечное количество решений, все они имеют z = 1 (что можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго), и поэтому все они имеют x + y = 2 для любых значений x и y.

Нелинейная система

$x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; =\; 10,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; =\; 10,\}$

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 5\}$

имеет бесконечное множество решений, все из которых включают $z\; =\; \pm \; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}.\}$

Поскольку каждая из этих систем имеет более одного решения, это неопределенная система.

Недоопределенная и противоречивая

Система

$x\; +\; y\; +\; z\; =\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 3,\}$

$x\; +\; y\; +\; z\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 4\}$

имеет нет решений, что можно увидеть, вычтя первое уравнение из второго, чтобы получить невозможное 0 = 1.

Нелинейная система

$x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; =\; 17,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; =\; 17,\}$

$x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; =\; 14\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; =\; 14\}$

не имеет решений, потому что если вычесть одно уравнение из другого, мы получим невозможное 0 = 3.

Точно определенная и непротиворечивая

Система

$x\; +\; y\; =\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; =\; 3,\}$

$x\; +\; 2\; y\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; 2y\; =\; 5\}$

имеет ровно одно решение: x = 1, y = 2.

Нелинейная система

$x\; +\; y\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; =\; 1,\}$

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

имеет два решения (x, y) = (1, 0) и (x, y) = (0, 1), а

$x\; 3\; +\; y\; 3\; +\; z\; 3\; =\; 10,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; +\; z\; ^\; \{3\}\; =\; 10,\}$

$x\; 3\; +\; 2\; y\; 3\; +\; z\; 3\; =\; 12,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 2y\; ^\; \{3\}\; +\; z\; ^\; \{3\}\; =\; 12,\}$

$3\; x\; 3\; +\; 5\; y\; 3\; +\; 3\; z\; 3\; =\; 34\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\; ^\; \{3\}\; +\; 5y\; ^\; \{3\}\; +\; 3z\; ^\; \{3\}\; =\; 34\}$

имеет бесконечное число решений, поскольку третье уравнение первое уравнение плюс дважды второе и, следовательно, не содержит независимой информации; таким образом, можно выбрать любое значение z и найти значения x и y, удовлетворяющие первым двум (и, следовательно, третьему) уравнениям.

Точно определенная и непоследовательная

Система

$x\; +\; y\; =\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; =\; 3,\}$

$4\; x\; +\; 4\; y\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 4x\; +\; 4y\; =\; 10\}$

не имеет решений; несоответствие можно увидеть, умножив первое уравнение на 4 и вычтя второе уравнение, чтобы получить невозможное 0 = 2.

Аналогично,

$x\; 3\; +\; y\; 3\; +\; z\; 3\; =\; 10,\; \{\backslash \; displaystyle\; х\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; +\; z\; ^\; \{3\}\; =\; 10,\}$

$x\; 3\; +\; 2\; y\; 3\; +\; z\; 3\; =\; 12,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 2y\; ^\; \{3\}\; +\; z\; ^\; \{3\}\; =\; 12,\}$

$3\; x\; 3\; +\; 5\; y\; 3\; +\; 3\; z\; 3\; =\; 32\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\; ^\; \{3\}\; +\; 5y\; ^\; \{3\}\; +\; 3z\; ^\; \{3\}\; =\; 32\}$

- несовместимая система, потому что первое уравнение плюс дважды второе минус третье содержит противоречие 0 = 2.

Сверхдетерминированная и непротиворечивая

Система

$x\; +\; y\; =\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; =\; 3,\}$

$x\; +\; 2\; y\; =\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; 2y\; =\; 7,\}$

$4\; x\; +\; 6\; y\; =\; 20\; \{\backslash \; displaystyle\; 4x\; +\; 6y\; =\; 20\}$

имеет решение x = –1, y = 4, потому что первые два уравнения не противоречат друг другу, а третье уравнение является избыточным (поскольку оно содержит ту же информацию, которая может быть получена из первых двух уравнений путем умножения каждого через 2 и суммируя их).

Система

$x\; +\; 2\; y\; =\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; 2y\; =\; 7,\}$

$3\; x\; +\; 6\; y\; =\; 21,\; \{\backslash \; displaystyle\; 3x\; +\; 6y\; =\; 21,\}$

$7\; x\; +\; 14\; y\; =\; 49\; \{\backslash \; displaystyle\; 7x\; +\; 14y\; =\; 49\}$

имеет бесконечное количество решений, поскольку все три уравнения дают одинаковую информацию друг о друге (что можно увидеть, умножив первое уравнение на 3 или 7). Любое значение y является частью решения, при этом соответствующее значение x равно 7–2y.

Нелинейная система

$x\; 2-1\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0,\}$

$y\; 2-1\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\; \}\; -1\; =\; 0,\}$

$(x\; -\; 1)\; (y\; -\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; (y-1)\; =\; 0\}$

имеет три решения (x, y) = (1, –1), (–1, 1) и (1, 1).

Переопределение и непоследовательность

Система

$x\; +\; y\; =\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; =\; 3,\}$

$x\; +\; 2\; y\; =\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; 2y\; =\; 7,\}$

$4\; x\; +\; 6\; y\; =\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; 4x\; +\; 6y\; =\; 21\}$

несовместимо, потому что последнее уравнение противоречит информации, заложенной в первых двух, как видно при умножении каждого из первые два до 2 и суммировать их.

Система

$x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1,\}$

$x\; 2\; +\; 2\; y\; 2\; =\; 2,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2y\; ^\; \{2\}\; =\; 2,\}$

$2\; x\; 2\; +\; 3\; y\; 2\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 2x\; ^\; \{2\}\; +\; 3y\; ^\; \{2\}\; =\; 4\}$

равно непоследовательно, потому что сумма первых двух уравнений противоречит третьему.

Критерии согласованности

Как видно из приведенных выше примеров, согласованность и несогласованность - это проблема, отличная от сравнения количества уравнений и неизвестных.

Линейные системы

Линейная система непротиворечива тогда и только тогда, когда ее матрица коэффициентов имеет такой же ранг, что и его расширенная матрица (матрица коэффициентов с добавленным дополнительным столбцом, этот столбец является вектором-столбцом констант).

Нелинейные системы