Задача вложения Конна

редактировать
Математическая проблема теории алгебр фон Неймана

Задача вложения Конна, сформулированная Аленом Конном в 1970-е годы, это основная проблема теории алгебры фон Неймана. За это время проблема была переформулирована в нескольких различных областях математики. Дэн Войкулеску, развивая свою теорию свободной энтропии, обнаружил, что проблема вложения Конна связана с существованием микросостояний. Некоторые результаты теории алгебр фон Неймана могут быть получены в предположении положительного решения проблемы. Проблема связана с некоторыми основными вопросами квантовой теории, которые привели к осознанию того, что она также имеет важное значение в информатике.

Задача допускает ряд эквивалентных формулировок. Примечательно, что это эквивалентно следующим давним проблемам:

  • Гипотеза Кирхберга о QWEP в C * -алгебре теория
  • проблема Цирельсона в квантовой теории информации
  • Преддвольная любой (отделимой) алгебры фон Неймана конечно представима в классе следов.

В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэн объявили о результате в квантовой теории сложности, который подразумевает отрицательное ответ на проблему внедрения Конна.

Содержание

  • 1 Утверждение
  • 2 Конференции, посвященные проблеме внедрения Конна
  • 3 Ссылки
  • 4 Дополнительная литература

Утверждение

Пусть ω {\ displaystyle \ omega}\ омега будет бесплатным ультрафильтром на натуральных числах, и пусть R будет гиперконечным типом II 1 множителем со следом τ {\ displaystyle \ tau}\ tau . Ультравысокую мощность R ω {\ displaystyle R ^ {\ omega}}{\ displaystyle R ^ {\ omega}} можно построить следующим образом: let l ∞ (R) = {(x n) n ⊆ R: sup n | | х п | | < ∞ } {\displaystyle l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}}{\ displaystyle l ^ {\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ substeq R: \ sup _ {n} || x_ {n} || <\ infty \}} - алгебра фон Неймана ограниченных по норме последовательностей, и пусть I ω = {(xn) ∈ l ∞ (R): lim n → ω τ (xn ∗ xn) 1 2 = 0} {\ Displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ in l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} x_ {n}) ^ {\ frac {1} {2}} = 0 \}}{\ displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ in l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} x_ {n}) ^ {\ frac {1} {2}} = 0 \}} . Частное l ∞ (R) / I ω {\ displaystyle l ^ {\ infty} (R) / I _ {\ omega}}{\ displaystyle l ^ {\ infty} (R) / I _ {\ omega}} оказывается II 1 коэффициент со следом τ R ω (x) = lim n → ω τ (xn + I ω) {\ displaystyle \ tau _ {R ^ {\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} + I _ {\ omega})}{\ displaystyle \ tau _ {R ^ {\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega } \ тау (x_ {n} + I _ {\ omega})} , где (xn) n {\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}} - любая репрезентативная последовательность x {\ displaystyle x}x .

. Задача Конна спрашивает, может ли каждый тип II 1 фактор в разделяемом гильбертовом пространстве быть встроены в некоторые R ω {\ displaystyle R ^ {\ omega}}{\ displaystyle R ^ {\ omega}} .

Положительное решение проблемы будет означать, что инвариантные подпространства существуют для большого класса операторов в факторах II-1 (Uffe Haagerup ); все счетные дискретные группы. Положительное решение проблемы будет подразумеваться равенством между свободной энтропией χ ∗ {\ displaystyle \ chi ^ {*}}\ chi ^ * и свободной энтропией, определяемой микросостоянием (Дэн Войкулеску ). В январе 2020 года группа исследователей заявила, что решила проблему отрицательно, т. Е. Существуют факторы типа II 1 фон Неймана, которые не включаются в ultrapower R ω {\ displaystyle R ^ {\ omega}}{\ displaystyle R ^ {\ omega}} гиперфинитного II 1 фактора.

Класс изоморфизма R ω {\ displaystyle R ^ {\ omega}}{\ displaystyle R ^ {\ omega}} не зависит от ультрафильтра тогда и только тогда, когда гипотеза континуума верна верно (Ге-Хадвин и Фара-Харт-Шерман), но такое свойство вложения не зависит от ультрафильтра, потому что алгебры фон Неймана, действующие на сепарабельных гильбертовых пространствах, грубо говоря, очень малы.

Проблема допускает ряд эквивалентных формулировок.

Конференции, посвященные проблеме вложения Конна;

  • проблеме вложения Конна и семинар по квантовой теории информации; Университет Вандербильта в Нэшвилле, Теннесси; 1-7 мая 2020 г. (отложено; TBA )
  • Многогранная проблема встраивания Конна; BIRS, Канада; 14-19 июля 2019 г.
  • Зимняя школа: проблема встраивания Конна и квантовая информация теория; Университет Осло, 7-11 января 2019 г.
  • Семинар по софическим и гиперлинейным группам и гипотезе вложения Конна; UFSC Флорианополис, Бразилия; 10-21 июня 2018 г.
  • Свойства аппроксимации в операторе Алгебры и эргодическая теория; UCLA; 30 апреля - 5 мая 2018 г.
  • Операторные алгебры и квантовая теория информации; Институт Анри Пуанкаре, Париж; декабрь 2017 г.
  • Семинар по операторным пространствам, гармоническому анализу и кванту Вероятность; ICMAT, Мадрид; 20 мая - 14 июня 2013 г.
  • Практический семинар по проблеме внедрения Конна - Университет Оттавы, 16–18 мая 2008 г.

Ссылки

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-05-15 09:48:27
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте