Конифолд

редактировать

В математике и теории струн конифолд является обобщение многообразия. В отличие от многообразий, конифолды могут содержать конические особенности, т.е. точки, окрестности которых выглядят как конусы над определенной базой. В физике, в частности в компактификации потока в теории струн, базой обычно является пятимерное мерное реальное многообразие, поскольку обычно рассматриваемые конифолды являются комплексными 3-мерными (действительными 6-мерными) пространствами.

Обзор

Конифолды - важные объекты в теории струн : Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 его книга Элегантная Вселенная - включая тот факт, что пространство может разрываться около конуса, а его топология может изменяться. Эта возможность была впервые замечена Candelas et al. (1988) и использованный Green Hübsch (1988) для доказательства того, что конифолды обеспечивают связь между всеми (тогда) известными компактификациями Калаби – Яу в теории струн; это частично подтверждает гипотезу Рейда (1987), согласно которой конифолды соединяют все возможные комплексные трехмерные пространства Калаби – Яу.

Хорошо известный пример конифолда получается как предел деформации квинтики, то есть a в проективном пространстве $CP 4 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$ . Пространство $CP 4 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$ имеет комплексную размерность, равную четырем, и поэтому пространство определяется уравнениями пятой степени (пятой степени):

z 1 5 + z 2 5 + z 3 5 + z 4 5 + z 5 5 - 5 ψ z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 = 0 {\ displaystyle z_ {1} ^ {5} + z_ {2} ^ {5} + z_ {3} ^ {5} + z_ {4} ^ {5} + z_ {5} ^ {5} -5 \ psi z_ {1} z_ {2} z_ {3} z_ {4 } z_ {5} = 0}

{\ displaystyle z_ {1} ^ {5} + z_ {2} ^ {5} + z_ {3} ^ {5} + z_ {4} ^ {5} + z_ {5} ^ {5 } -5 \ psi z_ {1} z_ {2} z_ {3} z_ {4} z_ {5} = 0}

в единицах однородных координат $zi {\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ на $CP 4 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ { 4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$ для любого фиксированного комплекса $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ имеет комплексное измерение три. Это семейство является наиболее известным примером многообразий Калаби – Яу. Если параметр сложной структуры $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ выбран равным единице, описанное выше многообразие становится сингулярным, поскольку производные полинома пятой степени в уравнении исчезают, когда все координаты $zi {\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ равны или их отношения - некие пятые корни единства. Окрестность этой особой точки выглядит как конус, основание которого равно топологически.

S 2 × S 3 {\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {3}}

S ^ {2} \ times S ^ {3}

В контексте теории струн можно показать, что геометрически сингулярные конифолды приводят к полностью гладкая физика струн. Расхождения «размазаны» D3-бранами, намотанными на сжимающуюся трехсферу в теории струн типа IIB и D2-бранами, намотанными на сжимающуюся сферу. две сферы в теории струн типа IIA, как первоначально указывал Строминджер (1995). Как показано Greene, Morrison Strominger (1995), это обеспечивает теоретико-строковое описание изменения топологии через конифолдный переход, первоначально описанный Candelas, Green Hübsch (1990), который также изобрел термин «конифолд» и диаграмму

для этой цели. Таким образом, показано, что два топологически различных способа сглаживания конифолда включают замену особой вершины (узла) либо 3-сферой (путем деформации сложной структуры), либо 2-сферой (посредством «малого разрешения»).). Считается, что почти все многообразия Калаби – Яу могут быть связаны посредством этих «критических переходов», что резонирует с гипотезой Рейда.

Список литературы

Канделас, Филип; Дейл, AM; Люткен, Эндрю; Шиммригк, Рольф (1988), «Многообразия Калаби-Яу с полным пересечением», Nuclear Physics B, 298 : 493, Bibcode : 1988NuPhB.298..493C, doi : 10.1016 / 0550-3213 (88) 90352-5
Рейд, Майлз (1987), «Пространство модулей 3-кратного пространства с K = 0, тем не менее, может быть неприводимым », Math. Ann., 278 : 329–334, doi : 10.1007 / bf01458074
Грин, Пол; Хюбш, Тристан (1988), «Соединяющие пространства модулей трехмерных многообразий Калаби-Яу», Связь в математической физике, 119 : 431–441, Bibcode : 1988CMaPh.119..431G, doi : 10.1007 / BF01218081
Канделас, Филип; Грин, Пол; Хюбш, Тристан (1990), «Катаясь среди Калаби-Яу Вакуа», Nuclear Physics B, 330 : 49–102, Bibcode : 1990NuPhB.330... 49C, doi : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90302-T
Hübsch, Tristan (1994), Манифольды Калаби – Яу: Бестиарий физиков, Сингапур, Нью-Йорк: World Scientific, ISBN 981-02-1927-X, OCLC 34989218, заархивировано из оригинала 13 января 2010 г., извлечено 25 февраля 2010 г.
Строминджер, Эндрю (1995), «Безмассовые черные дыры и конифолды в теории струн. ", Nuclear Physics B, 451 : 96–108, arXiv : hep-th / 9504090, Bibcode : 1995NuPhB.451... 96S, doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00287-3
Грин, Брайан; Моррисон, Дэвид; Строминджер, Эндрю (1995), «Конденсация черной дыры и объединение струнного вакуума», Nuclear Physics B, 451 : 109–120, arXiv : hep-th / 9504145, Bibcode : 1995NuPhB.451..109G, doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00371-X
Гросс, Марк (1997), «Примитивные трехмерные многообразия Калаби-Яу», Journal of Differential Geometry, 45 : 288–318, arXiv : alg-geom / 9512002, Bibcode : 1995alg.geom.12002G
Грин, Брайан (1997), Теория струн на многообразиях Калаби – Яу, arXiv : hep- th / 9702155
Грин, Брайан (2003), Элегантная вселенная, WW Norton Co., ISBN 0-393-05858-1
Хюбш, Тристан "Конифолдс и (Настоящая всемирная) паутина" "( 2009)