Формула дискриминанта проводника
Последняя правка сделана 2021-05-15 09:06:41
Править
В математике, формула дискриминант-проводник или Führerdiskriminantenproduktformel, введенная Hasse (1926, 1930) для абелевых расширений и Артином (1931) для расширений Галуа, представляет собой формулу, вычисляющую относительный дискриминант конечного расширения Галуа
локальных или глобальных полей из проводников Артина несводимые символы
из группы Галуа
.
Содержание
- 1 Заявление
- 2 Пример
- 3 Примечания
- 4 Ссылки
Заявление
Пусть
будет конечным расширением Галуа глобальных полей с группой Галуа
. Тогда дискриминант равен

где
равно глобальному проводнику Артина из
.
Пример
Пусть
быть циклотомическим расширением рациональных чисел. Группа Галуа
равна
. Поскольку
является единственным конечным простым разветвленным числом, глобальный проводник Артина
равно локальному
. Поскольку
абелев, любой нетривиальный неприводимый символ
имеет степень
. Тогда местный проводник Артина
равен проводнику
- адическое завершение
, т.е.
, где
- наименьшее натуральное число такое, что
. Если
, группа Галуа
является циклическим порядка
, а по теории поля локальных классов и используя это
легко видеть, что
: показатель степени равен

Примечания
- ^Нойкирх 1999, VII.11.9.
Ссылки
- Артин, Эмиль (1931), «Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 164 : 1–11, doi : 10.1515 / crll.1931.164.1, ISSN 0075-4102, Zbl 0001.00801
- Hasse, H. (1926), "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. I: Klassenkörpertheorie.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 35 : 1–55
- Hasse, H. (1930), «Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ -Abelscher Zahlkörper. ", Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 162 : 169–184, doi : 10.1515 / crll.1930.162.169, ISSN 0075-4102
- Neukirch, Jürgen (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.