Подписаться

Формула дискриминанта проводника

Последняя правка сделана 2021-05-15 09:06:41 Править

В математике, формула дискриминант-проводник или Führerdiskriminantenproduktformel, введенная Hasse (1926, 1930) для абелевых расширений и Артином (1931) для расширений Галуа, представляет собой формулу, вычисляющую относительный дискриминант конечного расширения Галуа L / K {\ displaystyle L / K}L / K локальных или глобальных полей из проводников Артина несводимые символы I rr (G) {\ displaystyle \ mathrm {Irr} (G)}\ mathrm {Irr} (G) из группы Галуа G = G (L / K) {\ displaystyle G = G (L / K)}G = G (L / K) .

Содержание

  • 1 Заявление
  • 2 Пример
  • 3 Примечания
  • 4 Ссылки

Заявление

Пусть L / K {\ displaystyle L / K}L / K будет конечным расширением Галуа глобальных полей с группой Галуа G {\ displaystyle G}G . Тогда дискриминант равен

d L / K = ∏ χ ∈ I rr (G) f (χ) χ (1), {\ displaystyle {\ mathfrak {d}} _ {L / K } = \ prod _ {\ chi \ in \ mathrm {Irr} (G)} {\ mathfrak {f}} (\ chi) ^ {\ chi (1)},}\ mathfrak {d} _ {L / K} = \ prod _ {\ chi \ in \ mathrm {Irr} (G)} \ mathfrak {f} (\ chi) ^ {\ chi (1)},

где f (χ) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ chi)}\ mathfrak {f} (\ chi) равно глобальному проводнику Артина из χ {\ displaystyle \ chi}\ chi .

Пример

Пусть L = Q (ζ pn) / Q {\ displaystyle L = \ mathbf {Q} (\ zeta _ {p ^ {n}}) / \ mathbf {Q}}L = \ mathbf {Q} (\ zeta_ {p ^ n}) / \ mathbf {Q} быть циклотомическим расширением рациональных чисел. Группа Галуа G {\ displaystyle G}G равна (Z / pn) × {\ displaystyle (\ mathbf {Z} / p ^ {n}) ^ {\ times}}(\ mathbf {Z} / p ^ n) ^ \ times . Поскольку (p) {\ displaystyle (p)}(p) является единственным конечным простым разветвленным числом, глобальный проводник Артина f (χ) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ chi)}\ mathfrak {f} (\ chi) равно локальному f (p) (χ) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {(p)} (\ chi)}\ mathfrak {f} _ {(p)} (\ chi) . Поскольку G {\ displaystyle G}G абелев, любой нетривиальный неприводимый символ χ {\ displaystyle \ chi}\ chi имеет степень 1 = χ (1) {\ displaystyle 1 = \ chi (1)}1 = \ chi (1) . Тогда местный проводник Артина χ {\ displaystyle \ chi}\ chi равен проводнику p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}{\ mathfrak {p}} - адическое завершение L χ = L ker (χ) / Q {\ displaystyle L ^ {\ chi} = L ^ {\ mathrm {ker} (\ chi)} / \ mathbf {Q}}L ^ \ chi = L ^ {\ mathrm {ker} (\ chi)} / \ mathbf {Q} , т.е. (p) np {\ displaystyle (p) ^ {n_ {p}}}(p) ^ {n_p} , где np {\ displaystyle n_ {p}}n_p- наименьшее натуральное число такое, что UQ p (np) ⊆ NL p χ / Q p (UL p χ) {\ displaystyle U _ {\ mathbf {Q} _ {p}} ^ {(n_ {p})} \ substeq N_ {L _ {\ mathfrak {p}} ^ {\ chi} / \ mathbf {Q} _ {p}} (U_ {L _ {\ mathfrak {p}} ^ {\ chi}})}U _ {\ mathbf {Q} _p} ^ {(n_p)} \ substeq N_ {L ^ \ chi_ \ mathfrak {p} / \ mathbf {Q} _p} (U_ {L ^ \ chi_ \ mathfrak {p}}) . Если p>2 {\ displaystyle p>2}p>2 , группа Галуа G (L p / Q p) = G (L / Q p) = (Z / pn) × {\ displaystyle G (L _ {\ mathfrak {p}} / \ mathbf {Q} _ {p}) = G (L / \ mathbf {Q} _ {p}) = (\ mathbf {Z} / p ^ {n}) ^ {\ times} }G (L_ \ mathfrak {p} / \ mathbf {Q} _p) = G (L / \ mathbf {Q} _p) = (\ mathbf {Z} / p ^ n) ^ \ times является циклическим порядка φ (pn) {\ displaystyle \ varphi (p ^ {n})}\ varphi (p ^ n) , а по теории поля локальных классов и используя это UQ p / UQ p (k) = (Z / pk) × {\ displaystyle U _ {\ mathbf {Q} _ {p}} / U _ {\ mathbf {Q} _ {p}} ^ {(k)} = (\ mathbf {Z} / p ^ {k}) ^ {\ times}}U _ {\ mathbf {Q} _p} / U ^ {(k)} _ { \ mathbf {Q} _p} = (\ mathbf {Z} / p ^ k) ^ \ times легко видеть, что f (p) (χ) = (p φ ( пн) (п - 1 / (п - 1))) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {(p)} (\ chi) = (p ^ {\ varphi (p ^ {n}) (n -1 / (p-1))})}\ mathfrak {f} _ {(p)} (\ chi) = (p ^ {\ varphi (p ^ n) (n - 1 / (p-1))}) : показатель степени равен

∑ i = 0 n - 1 (φ (pn) - φ (pi)) = n φ (pn) - 1 - (п - 1) ∑ я знак равно 0 N - 2 пи знак равно N φ (pn) - рn - 1, {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п-1} (\ varphi (p ^ {n}) - \ varphi (p ^ {i})) = n \ varphi (p ^ {n}) - 1- (p-1) \ sum _ {i = 0} ^ {n-2 } p ^ {i} = n \ varphi (p ^ {n}) - p ^ {n-1}.}\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} (\ varphi (p ^ n) - \ varphi (p ^ i)) = n \ varphi (p ^ n) - 1 - (p-1) \ sum_ {i = 0} ^ {n-2} p ^ i = n \ varphi (p ^ n) - p ^ {n-1}.

Примечания

  1. ^Нойкирх 1999, VII.11.9.

Ссылки

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: mail@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте