Формула дискриминанта проводника

редактировать

В математике, формула дискриминант-проводник или Führerdiskriminantenproduktformel, введенная Hasse (1926, 1930) для абелевых расширений и Артином (1931) для расширений Галуа, представляет собой формулу, вычисляющую относительный дискриминант конечного расширения Галуа $L / K {\ displaystyle L / K}$ $L / K$ локальных или глобальных полей из проводников Артина несводимые символы $I rr (G) {\ displaystyle \ mathrm {Irr} (G)}$ $\ mathrm {Irr} (G)$ из группы Галуа $G = G (L / K) {\ displaystyle G = G (L / K)}$ $G = G (L / K)$ .

Содержание

1 Заявление
2 Пример
3 Примечания
4 Ссылки

Заявление

Пусть $L / K {\ displaystyle L / K}$ $L / K$ будет конечным расширением Галуа глобальных полей с группой Галуа $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Тогда дискриминант равен

d L / K = ∏ χ ∈ I rr (G) f (χ) χ (1), {\ displaystyle {\ mathfrak {d}} _ {L / K } = \ prod _ {\ chi \ in \ mathrm {Irr} (G)} {\ mathfrak {f}} (\ chi) ^ {\ chi (1)},}

\ mathfrak {d} _ {L / K} = \ prod _ {\ chi \ in \ mathrm {Irr} (G)} \ mathfrak {f} (\ chi) ^ {\ chi (1)},

где $f (χ) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ chi)}$ $\ mathfrak {f} (\ chi)$ равно глобальному проводнику Артина из $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ .

Пример

Пусть $L = Q (ζ pn) / Q {\ displaystyle L = \ mathbf {Q} (\ zeta _ {p ^ {n}}) / \ mathbf {Q}}$ $L = \ mathbf {Q} (\ zeta_ {p ^ n}) / \ mathbf {Q}$ быть циклотомическим расширением рациональных чисел. Группа Галуа $G {\ displaystyle G}$ $G$ равна $(Z / pn) × {\ displaystyle (\ mathbf {Z} / p ^ {n}) ^ {\ times}}$ $(\ mathbf {Z} / p ^ n) ^ \ times$ . Поскольку $(p) {\ displaystyle (p)}$ $(p)$ является единственным конечным простым разветвленным числом, глобальный проводник Артина $f (χ) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ chi)}$ $\ mathfrak {f} (\ chi)$ равно локальному $f (p) (χ) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {(p)} (\ chi)}$ $\ mathfrak {f} _ {(p)} (\ chi)$ . Поскольку $G {\ displaystyle G}$ $G$ абелев, любой нетривиальный неприводимый символ $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ имеет степень $1 = χ (1) {\ displaystyle 1 = \ chi (1)}$ $1 = \ chi (1)$ . Тогда местный проводник Артина $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ равен проводнику $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ - адическое завершение $L χ = L ker (χ) / Q {\ displaystyle L ^ {\ chi} = L ^ {\ mathrm {ker} (\ chi)} / \ mathbf {Q}}$ $L ^ \ chi = L ^ {\ mathrm {ker} (\ chi)} / \ mathbf {Q}$ , т.е. $(p) np {\ displaystyle (p) ^ {n_ {p}}}$ $(p) ^ {n_p}$ , где $np {\ displaystyle n_ {p}}$ $n_p$ - наименьшее натуральное число такое, что $UQ p (np) ⊆ NL p χ / Q p (UL p χ) {\ displaystyle U _ {\ mathbf {Q} _ {p}} ^ {(n_ {p})} \ substeq N_ {L _ {\ mathfrak {p}} ^ {\ chi} / \ mathbf {Q} _ {p}} (U_ {L _ {\ mathfrak {p}} ^ {\ chi}})}$ $U _ {\ mathbf {Q} _p} ^ {(n_p)} \ substeq N_ {L ^ \ chi_ \ mathfrak {p} / \ mathbf {Q} _p} (U_ {L ^ \ chi_ \ mathfrak {p}})$ . Если $p>2 {\ displaystyle p>2}$ $p>2$ , группа Галуа $G (L p / Q p) = G (L / Q p) = (Z / pn) × {\ displaystyle G (L _ {\ mathfrak {p}} / \ mathbf {Q} _ {p}) = G (L / \ mathbf {Q} _ {p}) = (\ mathbf {Z} / p ^ {n}) ^ {\ times} }$ $G (L_ \ mathfrak {p} / \ mathbf {Q} _p) = G (L / \ mathbf {Q} _p) = (\ mathbf {Z} / p ^ n) ^ \ times$ является циклическим порядка $φ (pn) {\ displaystyle \ varphi (p ^ {n})}$ $\ varphi (p ^ n)$ , а по теории поля локальных классов и используя это $UQ p / UQ p (k) = (Z / pk) × {\ displaystyle U _ {\ mathbf {Q} _ {p}} / U _ {\ mathbf {Q} _ {p}} ^ {(k)} = (\ mathbf {Z} / p ^ {k}) ^ {\ times}}$ $U _ {\ mathbf {Q} _p} / U ^ {(k)} _ { \ mathbf {Q} _p} = (\ mathbf {Z} / p ^ k) ^ \ times$ легко видеть, что $f (p) (χ) = (p φ ( пн) (п - 1 / (п - 1))) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {(p)} (\ chi) = (p ^ {\ varphi (p ^ {n}) (n -1 / (p-1))})}$ $\ mathfrak {f} _ {(p)} (\ chi) = (p ^ {\ varphi (p ^ n) (n - 1 / (p-1))})$ : показатель степени равен