Компьютер для операций с функциями

редактировать

. A компьютер для операций с (математическими) функциями (в отличие от обычного компьютера ) работает с функциями на уровне оборудования (т.е. без программирования этих операций).

Содержание

1 История
2 Позиционные коды функций с одной переменной
- 2.1 Основная идея
- 2.2 R-образный треугольный код
  - 2.2.1 Сложение одной цифры
  - 2.2.2 Вычитание одной цифры
  - 2.2.3 Деление одной цифры параметром R
  - 2.2.4 Сложение и вычитание
  - 2.2.5 Умножение
  - 2.2.6 Выведение
  - 2.2.7 Кодирование и декодирование
  - 2.2.8 Усечение
- 2.3 Масштабный коэффициент
3 Позиционный код для функций много переменных
4 См. также
5 Ссылки

История

Вычислительная машина для операций с функциями была представлена и разработана Михаилом Карцевым в 1967 году. Среди операций этой вычислительной машины были функции сложение, вычитание и умножение, сравнение функций, те же операции между функцией и числом, нахождение максимума функции, вычисление неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла от производной двух функций, производная двух функций, сдвиг функции по оси X и т. д. По своей архитектуре эта вычислительная машина была (используя современную терминологию) векторным процессором или процессором массива, центральный процессор (ЦП), который реализует набор команд, содержащий инструкции, которые работают с одномерными массивами данных, называемых векторами. В нем был использован тот факт, что многие из этих операций можно интерпретировать как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций - как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла производной двух функций - как вычисление векторного произведения двух векторов, сдвиг функции по оси X - как вращение вектора вокруг осей и т. д. В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций, то есть представление функций «единым» (для функции в целом) позиционным кодом. И поэтому указанные операции с функциями выполняются как уникальные компьютерные операции с такими кодами на «едином» арифметическом блоке.

Позиционные коды функций с одной переменной

Основная идея

Позиционный код целого числа $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это числовое обозначение цифр $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ в некотором позиционная система счисления вида

A = α 0 α 1… α k… α n {\ displaystyle A = \ alpha _ {0} \ alpha _ {1} \ dots \ alpha _ {k} \ dots \ alpha _ {n}}

A = \ alpha _ {{0}} \ alpha _ {{1}} \ dots \ alpha _ {k} \ dots \ alpha _ {{n}}

Такой код можно назвать «линейным». В отличие от него, позиционный код одной переменной $x {\ displaystyle x}$ $x$ function $F (x) {\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ имеет вид:

F (Икс) знак равно (⋯ α 22 ⋯ α 2 К ⋯ α 11 α 12 ⋯ α 1 К ⋯ α 00 α 01 α 02 ⋯ α 0 К ⋯) {\ Displaystyle F (x) = {\ begin { pmatrix} \ \ \ cdots \\\ \ \ alpha _ {22} \ cdots \ alpha _ {2k} \ cdots \\\ \ alpha _ {11} \ alpha _ {12} \ cdots \ alpha _ {1k} \ cdots \\\ alpha _ {00} \ alpha _ {01} \ alpha _ {02} \ cdots \ alpha _ {0k} \ cdots \ end {pmatrix}}}

F ( x) = {\ begin {pmatrix} \ \ \ cdots \\\ \ \ alpha _ {{22}} \ cdots \ alpha _ {{2k}} \ cdots \\\ \ alpha _ {{ 11}} \ alpha _ {{12}} \ cdots \ alpha _ {{1k}} \ cdots \\\ alpha _ {{00}} \ alpha _ {{01}} \ alpha _ {{02 }} \ cdots \ alpha _ {{0k}} \ cdots \ end {pmatrix}}

и поэтому он плоский и «треугольный», поскольку цифры в нем образуют треугольник.

Значение позиционного числа $A {\ displaystyle A}$ $A$ выше - это значение суммы

A = ∑ k = 0 n α k ρ k {\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} \ rho ^ {k}}

A = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} \ alpha _ {k} \ rho ^ {k}

где $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - основание системы счисления указанной системы счисления. Позиционный код функции с одной переменной соответствует «двойному» коду вида

F (x) = ∑ k = 0 n ∑ m = 0 k α mk R kyk - m (1 - y) m { \ Displaystyle F (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {k} \ alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {km} (1- y) ^ {m}}

F (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} \ sum _ {{m = 0}} ^ { {k}} \ alpha _ {{mk}} R ^ {k} y ^ {{km}} (1-y) ^ {m}

где $R {\ displaystyle R}$ $R$ - целое положительное число, количество принятых значений $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , а $y {\ displaystyle y}$ $y$ - некоторая функция аргумента $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Добавление позиционных кодов чисел связано с переносить переводить в старшую цифру по схеме

α k ⟶ α k + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {k} \ longrightarrow \ alpha _ {k + 1}}

\ alpha _ {{k}} \ longrightarrow \ alpha _ {{k + 1}}

Добавление позиционного коды функций одной переменной также связаны с переносом переноса в старшие разряды по схеме:

(α k + 1, m + 1 ↗ α k, m ⟶ α k + 1, m) {\ displaystyle { \ begin {pmatrix} \ \ \ alpha _ {k + 1, m + 1} \\\ \ nearrow \ \\\ alpha _ {k, m} \ longrightarrow \ alpha _ {k + 1, m} \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} \ \ \ alpha _ {{k + 1, m + 1}} \\\ \ nearrow \ \\\ alpha _ {{k, m}} \ longrightarrow \ alpha _ {{k + 1, m}} \ end {pmatrix} }

Здесь одна и та же передача выполняется одновременно для двух старших разрядов.

R-nary треугольный код

Треугольный код называется R-nary (и обозначается как $TKR {\ displaystyle TK_ {R}}$ $TK_ {R}$ ), если числа $α mk {\ displaystyle \ alpha _ {mk}}$ $\ alpha _ {{mk}}$ принимают свои значения из набора

DR = {- r 1, - r 1 + 1,…, - 1, 0, 1,…, r 2 - 1, r 2} {\ displaystyle D_ {R} = \ {- r_ {1}, - r_ {1} +1, \ dots, -1,0,1, \ точки, r_ {2} -1, r_ {2} \}}

D_ {R} = \ {- r_ {1}, - r_ {1} +1, \ dots, -1,0,1, \ dots, r_ {2} -1, r_ {2} \}

, где

r 1, r 2 ≥ 0 {\ displaystyle r_ {1}, \; r_ {2} \ geq 0}

r_ {1}, \ ; r_ {2} \ geq 0

R = r 1 + r 2 + 1 {\ displaystyle R _ {} ^ {} = r_ {1} + r_ {2} +1}

R _ {{}} ^ {{}} = r_ { 1} + r_ {2} +1

Например, a треугольный код - это троичный код $TK 3 {\ displaystyle TK_ {3}}$ $TK_ {3}$ , если $α mk ∈ (- 1, 0, 1) {\ displaystyle \ alpha _ {mk} \ in (-1,0,1)}$ $\ alpha _ {{mk}} \ in (-1,0,1)$ и четвертичный $TK 4 {\ displaystyle TK_ {4}}$ $TK_ {4}$ , если $α mk ∈ (- 2, - 1, 0, 1) {\ displaystyle \ alpha _ {mk} \ in (-2, -1,0,1)}$ $\ alpha _ {{mk}} \ in (-2, -1,0,1)$ .. Для треугольных кодов R-nary справедливы следующие равенства:

( 0 ↗ a R ⟶ 0) = (a ↗ 0 ⟶ a), (a ↗ 0 ⟶ 0) = (0 ↗ a R ⟶ - a), (0 ↗ 0 ⟶ a) = (- a ↗ a R ⟶ 0) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} \ \ a \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow a \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} \ \ a \\\ \ nearrow \ \ \ 0 \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow -a \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix } \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow a \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ -a \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \ \ aR \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ a \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow a \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} \ \ a \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow -a \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow a \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ -a \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}}

где $a {\ displaystyle a}$ $a$ - произвольное число. Существует $T K R {\ displaystyle TK_ {R}}$ $TK_ {R}$ произвольного целого действительного числа. В частности, $T K R (α) = α {\ displaystyle TK_ {R} (\ alpha) = \ alpha}$ $TK_ {R} (\ alpha) = \ alpha$ . Также существует $T K R {\ displaystyle TK_ {R}}$ $TK_ {R}$ любой функции вида $y k {\ displaystyle y ^ {k}}$ $y ^ { {k}}$ . Например, $TKR (y 2) = (0 0 1) {\ displaystyle TK_ {R} (y ^ {2}) = (0 \ 0 \ 1)}$ $TK_ {R} (y ^ {{2}}) = (0 \ 0 \ 1)$ .

Однозначное сложение

в R-ничных треугольных кодах состоит в следующем:

в заданной $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ -цифре определяется сумма $S mk {\ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$ $S _ {{mk}} ^ {{}}$ из добавляемых цифр $α mk, β mk {\ displaystyle \ alpha _ {mk}, \ \ beta _ {mk} }$ $\ alpha _ {{mk}}, \ \ beta _ {{mk }}$ и два переносят $pm, k - 1, pm - 1, k - 1 {\ displaystyle p_ {m, k-1}, \ p_ {m-1, k-1}}$ $p _ {{m, k-1}}, \ p _ {{m-1, k-1}}$ , переведено в эту цифру слева, то есть

S mk = α mk + β mk + pm, k - 1 + pm - 1, k - 1 {\ displaystyle S_ {mk} ^ { } = \ alpha _ {mk} + \ beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}

S _ {{mk}} ^ {{}} = \ alpha _ {{mk}} + \ beta _ {{mk}} + p_ {{m, k-1}} + p _ {{m-1, k-1}}

эта сумма представлена в виде $S mk = σ mk + R pmk {\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$ $S _ {{mk}} ^ {{}} = \ sigma _ {{mk}} + Rp _ {{mk}}$ , где $σ mk ∈ DR {\ displaystyle \ sigma _ {mk} \ in D_ {R}}$ $\ sigma _ {{mk}} \ in D_ {R}$ ,
$σ mk {\ displaystyle \ sigma _ {mk}}$ $\ sigma _ {{mk}}$ записывается в $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ -цифра сводного кода, и перенос $pmk {\ displaystyle p_ {mk}}$ $p _ {{ mk}}$ из данной цифры переносится в $(m, k + 1) {\ displaystyle (m, k + 1)}$ $(m, k + 1)$ -digit и $(m + 1, k + 1) {\ displaystyle (m + 1, k + 1)}$ $(m + 1, k + 1)$ - цифра.

Эта процедура описывается (как и для однозначного сложения чисел) таблицей однозначного сложения, где все значения термов $α mk ∈ DR {\ displaystyle \ alpha _ {mk} \ in D_ {R}}$ $\ alpha _ {{mk}} \ in D_ {R}$ и $β mk ∈ DR {\ displaystyle \ beta _ {mk} \ in D_ {R}}$ $\ beta _ {{mk}} \ in D_ {R }$ должны присутствовать и все значения переносов, возникающие при разложении суммы $S mk = σ mk + R pmk {\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$ $S _ {{mk}} ^ {{}} = \ sigma _ {{mk}} + Rp _ {{mk}}$ . Такую таблицу можно синтезировать для $R>2. {\ displaystyle R>2.}$ $R>2.$ . Ниже мы написали таблицу однозначного сложения для $R = 3 {\ displaystyle R = 3}$ $R = 3$ :

Smk	TK(Smk)		$σ mk {\ displaystyle \ sigma _ {mk} ^ {}}$ $\ sigma _ {{mk}} ^ {{}}$	$pmk {\ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$ $p _ {{mk}} ^ {{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(- 1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(- 1)	(-1)	(-1)

Вычитание одной цифры

в треугольных кодах R отличается от однозначного вычитания. сложение цифр только потому, что в заданном $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ -разрядное значение $S mk {\ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$ $S _ {{mk}} ^ {{}}$ определяется по формуле

S mk = α mk - β mk + pm, k - 1 + pm - 1, k - 1 {\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ alpha _ { mk} - \ beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}

S _ {{mk}} ^ {{}} = \ alpha _ {{mk}} - \ beta _ {{mk}} + p _ {{m, k-1} } + p _ {{m-1, k-1}}

Однозначное деление на th Параметр e R

в треугольных кодах R-nary основан на использовании корреляции:

(a ↗ 0 ⟶ 0) = (0 ↗ a R ⟶ - a) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix } \ \ a \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow -a \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} \ \ a \\\ \ nearrow \ \\ 0 \ longrightarrow 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ \ nearrow \ \\ aR \ longrightarrow -a \ end {pmatrix}}

из этого следует, что деление каждой цифры вызывает две младшие цифры. Следовательно, цифры, полученные в результате этой операции, представляют собой сумму частного от деления этой цифры на R и двух переносов из двух старших цифр. Таким образом, при делении на параметр R

в данной $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ -цифре определяется следующая сумма:

S mk = α mk / R - pm + 1, k / R + pm + 1, k + 1 {\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ alpha _ {mk} / R-p_ {m + 1, k} / R + p_ {m + 1, k + 1}}

S _ {{mk}} ^ {{}} = \ alpha _ {{mk}} / R-p _ {{m + 1, k}} / R + p _ {{m + 1, k + 1}}

эта сумма представлена как $S mk = σ mk + pmk / R {\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$ $S _ {{mk}} ^ {{}} = \ sigma _ {{mk}} + p _ {{mk}} / R$ , где $σ mk ∈ DR {\ displaystyle \ sigma _ {mk} \ in D_ {R}}$ $\ sigma _ {{mk}} \ in D_ {R}$ ,
$σ mk {\ displaystyle \ sigma _ {mk}}$ $\ sigma _ {{mk}}$ записывается в $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ - цифра результирующего кода и несет $pmk {\ displaystyle p_ {mk}}$ $p _ {{ mk}}$ из заданной цифры переводится в $(m - 1, k - 1) {\ displaystyle (m-1, k-1)}$ $(m-1, k -1)$ -digit и $(m - 1, k) {\ displaystyle (m-1, k)}$ $( m-1, k)$ -digit.

Эта процедура описывается таблицей однозначного деления по параметру R, где все значения терминов и все значения переносов, возникающие при разложении суммы $S m k = σ m k + p m k / R {\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$ $S _ {{mk}} ^ {{}} = \ sigma _ {{mk}} + p _ {{mk}} / R$ , должен присутствовать. Такую таблицу можно синтезировать для $R>2. {\ displaystyle R>2.}$ $R>2.$ . Ниже приведена таблица для однозначного деления параметром R для $R = 3 {\ displaystyle R = 3}$ $R = 3$ :

Smk	TK(Smk)		$σ мк {\ displaystyle \ sigma _ {mk} ^ {}}$ $\ sigma _ {{mk}} ^ {{}}$	$pmk {\ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$ $p _ {{mk}} ^ {{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(- 1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(- 1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Сложение и вычитание

R-ничных треугольных кодов состоит (как в позиционных кодах чисел) в последовательно выполняемых однозначных операциях. Помните, что однозначные операции во всех цифрах каждого столбца выполняются сим окончательно.

Умножение

R-мерных треугольных кодов. Умножение кода $TKR ′ {\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ $TK_{R}'^{{}}$ на $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ -цифра другой код $TKR ″ {\ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$ $TK_{R}''^{{}}$ состоит из $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ - сдвига код $TKR ′ {\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ $TK_{R}'^{{}}$ , т.е. его сдвиг на k столбцов влево и на m строк вверх. Умножение кодов $TKR ′ {\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ $TK_{R}'^{{}}$ и $TKR ″ {\ displaystyle TK_ {R}' '^ {}}$ $TK_{R}''^{{}}$ состоит из последующих $(mk) {\ displaystyle (mk)}$ $(mk)$ -сдвигов кода $TKR ′ {\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ $TK_{R}'^{{}}$ и добавление сдвинутого кода $TKR ′ {\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$ $TK_{R}'^{{}}$ с частичным произведением (как в позиционных кодах чисел).

Получение

R-образных треугольных кодов. Производная функции $F (x) {\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ , определенная выше, равна

∂ F (x) ∂ x = ∂ y ∂ x ∂ F (x). ∂ Y {\ Displaystyle {\ frac {\ partial F (x)} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial y} {\ partial x}} {\ frac {\ partial F (x)} {\ частичное y}}}

{\ frac {\ partial F (x)} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial y} {\ partial x}} {\ frac {\ partial F (x)} {\ partial y}}

Итак, вывод треугольных кодов функции $F (x) {\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ состоит в определении треугольного кода частной производной $∂ F (x) ∂ Y {\ displaystyle {\ frac {\ partial F (x)} {\ partial y}}}$ ${\ frac {\ partial F (x)} {\ partial y}}$ и его умножение на известный треугольный код производной $∂ у ∂ Икс {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial y} {\ partial x}}}$ $\ frac {\ partial y} {\ partial x}$ . Определение треугольного кода частной производной $∂ F (x) ∂ y {\ displaystyle {\ frac {\ partial F (x)} {\ partial y}}}$ ${\ frac {\ partial F (x)} {\ partial y}}$ основано на корреляция

∂ ∂ Икс (0 0 α mk 0 0 0) = ((k - m) α mk 0 (k - 2 m) α mk 0 0 (- m) α mk) {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ 0 \ alpha _ {mk} \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ (км) \ alpha _ {mk} \\\ 0 (k-2m) \ alpha _ {mk} \\ 0 0 (- m) \ alpha _ {mk} \ end {pmatrix}}}

{\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \\\ 0 \ alpha _ {{mk}} \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ (km) \ alpha _ {{mk}} \\\ 0 (k-2m) \ alpha _ {{mk}} \\ 0 0 (- m) \ alpha _ {{mk}} \ end {pmatrix}}

Метод вывода состоит из организации переносов из mk-разряда в (m + 1, k) -цифру и в (m-1, k) -цифру, и их суммирование в данной цифре выполняется так же, как и при сложении одной цифры.

Кодирование и декодирование

R-мерных треугольных кодов. Функция, представленная серией вида

F (x) = ∑ k = 0 n A kyk {\ displaystyle F (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} y ^ { k}}

F ( x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} A_ {k} y ^ {k}

с целыми коэффициентами $A k {\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ , может быть представлен R-образными треугольными кодами для этих коэффициентов и функций $yk {\ displaystyle y ^ {k}}$ $y ^ {k}$ имеют R-ные треугольные коды (о которых упоминалось в начале раздела). С другой стороны, R-образный треугольный код может быть представлен указанным рядом, так как любой член $α mk R kyk (1 - y) m {\ displaystyle \ alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {k} (1-y) ^ {m}}$ $\ alpha _ {{mk}} R ^ {k} y ^ {k} (1-y) ^ {m}$ в позиционном раскрытии функции (соответствующем этому коду) может быть представлен аналогичной серией.

Усечение

R-мерных треугольных кодов. Так называется операция по уменьшению количества «ненулевых» столбцов. Необходимость усечения возникает при появлении переносов за пределы цифровой сети. Усечение заключается в делении на параметр R. Все коэффициенты ряда, представленного кодом, уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Также отбрасывается первый член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций сходятся. Усечение заключается в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления по параметру R. Однозначные операции над всеми цифрами строки выполняются одновременно, а переносы из нижней строки отбрасываются.

Масштабный коэффициент

R-мерный треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным показателю степени для числа с плавающей запятой. Коэффициент M позволяет отображать все коэффициенты кодированного ряда в виде целых чисел. Фактор M умножается на R при усечении кода. Чтобы дополнительные коэффициенты M были выровнены, для этого необходимо усечь один из добавленных кодов. Для умножения множители M также умножаются.

Позиционный код для функций многих переменных

Позиционный код для функции двух переменных изображен на рисунке 1. Он соответствует «тройной» сумме вида :: $F ( x, v) = ∑ k = 0 n ∑ m 1 = 0 k ∑ m 2 = 0 k α m 1, m 2, k R kyk - m 1 (1 - y) m 1 zk - m 2 (1 - z) м 2 {\ displaystyle F (x, v) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {m1 = 0} ^ {k} \ sum _ {m2 = 0} ^ {k} \ альфа _ {m1, m2, k} R ^ {k} y ^ {k-m1} (1-y) ^ {m1} z ^ {k-m2} (1-z) ^ {m2}}$ $F (x, v) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n} } \ sum _ {{m1 = 0}} ^ {{k}} \ sum _ {{m2 = 0}} ^ { {k}} \ alpha _ {{m1, m2, k}} R ^ {k} y ^ {{k-m1}} (1-y) ^ {{m1}} z ^ {{k-m2}} (1-z) ^ {{m2}}$ ,. где $R {\ displaystyle R}$ $R$ - целое положительное число, количество значений числа $α m 1, m 2, k {\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, k}}$ $\ alpha _ {{m1, m2, k}}$ , и $y (x), z (v) {\ displaystyle y (x), ~ z (v)}$ $y (x), ~ z (v)$ - некоторые функции аргументов $x, v {\ displaystyle x, ~ v}$ $x, ~ v$ соответственно. На рисунке 1 узлы соответствуют цифрам $α m 1, m 2, k {\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, k}}$ $\ alpha _ {{m1, m2, k}}$ , а в кружках значения индексов <198 Отображаются>m 1, m 2, k {\ displaystyle {m1, m2, k}} ${m1, m2, k}$ соответствующей цифры. Позиционный код функции двух переменных называется пирамидальным. Позиционный код называется R-nary (и обозначается как $PKR {\ displaystyle PK_ {R}}$ $PK_ {R}$ ), если числа $α m 1, m 2, k {\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, k}}$ $\ alpha _ {{m1, m2, k}}$ принимает значения из набора $DR {\ displaystyle D_ {R}}$ $D_ {R}$ . При добавлении кодов $PKR {\ displaystyle PK_ {R}}$ $PK_ {R}$ перенос увеличивается до четырех цифр и, следовательно, $R ≥ 7 {\ displaystyle R \ geq 7}$ $R \ geq 7$ .

A позиционный код функции от нескольких переменных соответствует сумме вида

F (x 1,…, xi,…, xa) = ∑ k = 0 n ∑ m 1 = 0 k… ∑ ma = 0 k ( α м 1,…, ма, К р К ∏ я знак равно 1 а (yik - mi (1 - yi) mi)) {\ displaystyle F (x_ {1}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots, x_ {a}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {m_ {1} = 0} ^ {k} \ ldots \ sum _ {m_ {a} = 0} ^ {k} ( \ alpha _ {m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k} R ^ {k} \ prod _ {i = 1} ^ {a} (y_ {i} ^ {k-m_ {i}} (1-y_ {i}) ^ {m_ {i}}))}

F (x_ {1}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots, x_ {a}) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} \ sum _ {{ m_ {1} = 0}} ^ {{k}} \ ldots \ sum _ {{m_ {a} = 0}} ^ {{k}} (\ alpha _ {{m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}} R ^ {k} \ prod _ {{i = 1}} ^ {a} (y_ {i} ^ {{k-m_ {i}}} (1-y_ {i}) ^ {{m_ {i}}}))

где $R {\ displaystyle R}$ $R$ - целое положительное число, количество значений цифры $α m 1,…, ma, k {\ displaystyle \ alpha _ {m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}}$ $\ alpha _ {{m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}}$ и $yi (xi) { \ displaystyle y_ {i} (x_ {i})}$ $y_{i}(x_{i})$ определенные функции аргументов $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ . Позиционный код функции нескольких переменных называется «гиперпирамидальным». На рисунке 2 изображен, например, позиционный гиперпирамидальный код функции трех переменных. На нем узлы соответствуют цифрам $α m 1, m 2, m 3, k {\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, m3, k}}$ $\ alpha _ {{m1, m2, m3, k}}$ , а кружки содержат значения индексов $m 1, m 2, m 3, k {\ displaystyle {m1, m2, m3, k}}$ ${m1, m2, m3, k}$ соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-nary (и обозначается как $GPKR {\ displaystyle GPK_ {R}}$ $GPK_ {R}$ ), если числа $α m 1,…, ma, k { \ displaystyle \ alpha _ {m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}}$ $\ alpha _ {{m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}}$ принимает значения из набора $DR {\ displaystyle D_ {R}}$ $D_ {R}$ . При добавлении кодов $GPKR {\ displaystyle GPK_ {R}}$ $GPK_ {R}$ перенос распространяется на трехмерный куб, содержащий $2 a {\ displaystyle 2 ^ {a}}$ $2 ^ {a}$ цифр и, следовательно, $R ≥ (2 a - 1 - 1) {\ displaystyle R \ geq (2 ^ {a-1} -1)}$ $R \ geq (2 ^ {{a-1}} - 1)$ .

См. Также

Справочная информация