Сложная случайная величина

В теории вероятностей и статистика, сложные случайные величины являются обобщением вещественных случайных величин до комплексных чисел, то есть возможные значения, которые может принимать комплексная случайная величина, являются комплексными числами. Сложные случайные величины всегда можно рассматривать как пары реальных случайных величин: их действительную и мнимую части. Следовательно, распределение одной сложной случайной величины может быть интерпретировано как совместное распределение двух реальных случайных величин.

Некоторые концепции реальных случайных величин имеют прямое обобщение на сложные случайные величины - например, определение среднего сложной случайной величины. Другие концепции уникальны для сложных случайных величин.

Приложения сложных случайных величин можно найти в цифровой обработке сигналов, квадратурной амплитудной модуляции и теории информации.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
  • 2.1 Простой пример
  • 2.2 Равномерное распределение
  • 2.3 Комплексное нормальное распределение
• 3 Кумулятивная функция распределения
• 4 Функция плотности вероятности
• 5 Ожидание
  • 5.1 Определение
  • 5.2 Свойства
• 6 Дисперсия и псевдоверсия
  • 6.1 Определение дисперсии
  • 6.2 Свойства
  • 6.3 Определение псевдоверсия
• 7 Ковариация и псевдоковариация
  • 7.1 Определение
  • 7.2 Свойства
  • 7.3 Некоррелированность
  • 7.4 Ортогональность
• 8 Круговая симметрия
  • 8.1 Определение
  • 8.2 Свойства
• 9 Собственные комплексные случайные величины
  • 9.1 Определение
  • 9.2 Матрица ковариации действительной и мнимой частей
  • 9.3 Теорема
• 10 Неравенство Коши-Шварца
• 11 Характеристическая функция
• 12 См. Также
• 13 Ссылки

Определение

Комплекс r переменная andom $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$в вероятностном пространстве $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \},\; P)\}$- это функция $Z:\; \Omega \; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Omega\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$так что и его действительная часть $\Re \; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; \{(Z)\}\}$, и его мнимая часть $\Im \; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Im\; \{(Z)\; \}\}$- реальные случайные величины на $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; P)\}$.

Примеры

Простой пример

Рассмотрим случайную переменную, которая может принимать только три комплексных значения $1\; +\; i,\; 1\; -\; i,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; i,\; 1-i,\; 2\}$с вероятностями, указанными в таблице. Это простой пример сложной случайной величины.

Вероятность $P\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\}$	Значение $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$
$1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \}$	$1\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; i\}$
$1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}$	$1\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-i\}$
$1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$

ожидание этой случайной величины может быть просто вычислено: $E\; \; [\; Z]\; =\; 1\; 4\; (1\; +\; i)\; +\; 1\; 4\; (1\; -\; i)\; +\; 1\; 2\; 2\; =\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (1\; +\; i)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (1-i)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; 2\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}.\}$

Равномерное распределение

Другим примером сложной случайной величины является равномерное распределение по заполненной единичной окружности, т. Е. Множество $\{z\; \in \; C\; \mid \; |\; z\; |\; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; mid\; |\; z\; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}\}$. Эта случайная величина является примером сложной случайной величины, для которой определена функция плотности вероятности. Функция плотности показана в виде желтого диска и темно-синего основания на следующем рисунке.

Комплексное нормальное распределение

Сложные гауссовские случайные величины часто встречаются в приложениях. Они представляют собой прямое обобщение реальных гауссовских случайных величин. На следующем графике показан пример распределения такой переменной.

Кумулятивная функция распределения

Обобщение кумулятивной функции распределения от реальных до комплексных случайных величин неочевидно, поскольку выражения вида $P\; (Z\; \le \; 1\; +\; 3\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\; Z\; \backslash \; leq\; 1\; +\; 3i)\}$не имеет смысла. Однако выражения вида $P\; (\Re \; (Z)\; \le \; 1,\; \Im \; (Z)\; \le \; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; Re\; \{(Z)\}\; \backslash \; leq\; 1,\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}\; \backslash \; leq\; 3)\}$имеет смысл. Следовательно, мы определяем кумулятивное распределение $FZ:\; C\; \to \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{Z\}:\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; to\; [0,1]\}$комплексного случайного переменные через совместное распределение их действительной и мнимой частей:

$FZ\; (z)\; =\; F\; \Re \; (Z),\; \Im \; (Z)\; (\Re \; (z),\; \Im \; (z))\; =\; P\; (\; \Re \; (Z)\; \le \; \Re \; (z),\; \Im \; (Z)\; \le \; \Im \; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{Z\}\; (z)\; =\; F\; \_\; \{\backslash \; Re\; \{(Z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}\}\; (\; \backslash \; Re\; \{(z)\},\; \backslash \; Im\; \{(z)\})\; =\; P\; (\backslash \; Re\; \{(Z)\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; Re\; \{(z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; Im\; \{(z)\})\}$

(уравнение 1)

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности сложной случайной величины определяется как $f\; Z\; (z)\; =\; f\; \Re \; (Z),\; \Im \; (Z)\; (\Re \; (z),\; \Im \; (z))\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\_\; \{Z\}\; (z)\; =\; f\; \_\; \{\backslash \; Re\; \{(Z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}\}\; (\backslash \; Re\; \{(\; z)\},\; \backslash \; Im\; \{(z)\})\}$, т.е. значение функции плотности в точке $z\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$определяется как равное значению совместной плотности действительной и мнимой частей случайной величины, вычисленной в точке $(\Re \; (z),\; \Im \; (z))\; \{\backslash \; disp\; Laystyle\; (\backslash \; Re\; \{(z)\},\; \backslash \; Im\; \{(z)\})\}$.

Эквивалентное определение дает $f\; Z\; (z)\; =\; \partial \; 2\; \partial \; x\; \partial \; y\; P\; (\Re \; (Z)\; \le \; Икс,\; \Im \; (Z)\; \le \; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{Z\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; y\}\}\; P\; (\backslash \; Re\; \{(Z)\}\; \backslash \; leq\; x,\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}\; \backslash \; leq\; y)\}$где $x\; =\; \Re \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; Re\; \{(z)\}\}$и $y\; =\; \Im \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; Im\; \{(z)\}\}$.

Как и в реальном случае, функция плотности может не существовать.

Ожидание

Определение

Ожидание сложной случайной величины определяется на основе определения математического ожидания реальной случайной величины:

$E\; \; [Z]\; Знак\; равно\; E\; \; [\Re \; (Z)]\; +\; я\; E\; \; [\Im \; (Z)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\}]\; +\; я\; \backslash \; Operatorname\; \{\; E\}\; [\backslash \; Im\; \{(Z)\}]\}$

(Eq.2)

Обратите внимание, что ожидание сложной случайной величины не существует, если $E\; \; [\Re \; (Z)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\}]\}$или $E\; \; [\Im \; (Z)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; Im\; \{(Z)\}]\; \}$не существует.

Если сложная случайная величина $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$имеет функцию плотности вероятности $f\; Z\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{Z\}\; (z)\}$, то математическое ожидание выражается как $E\; \; [Z]\; =\; \int \; C\; z\; \cdot \; f\; Z\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; z\; \backslash \; cdot\; f\_\; \{Z\}\; (z)\; dz\}$.

Если сложная случайная величина $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$имеет функцию массы вероятности $p\; Z\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Z\}\; (z)\}$, то математическое ожидание выражается как $E\; \; [Z]\; =\; \sum \; z\; \in \; Z\; z\; \cdot \; p\; Z\; (\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; z\; \backslash \; cdot\; p\_\; \{Z\}\; (z)\}$.

Свойства

Каждый раз, когда существует ожидание сложной случайной величины, принимая математическое ожидание и комплексное сопряжение коммутируют:

$E\; \; [Z]\; ¯\; =\; E\; \; [Z\; ¯].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\}\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\{\backslash \; overline\; \{Z\}\}].\}$

Оператор ожидаемого значения $E\; \; [\cdot ]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; cdot]\}$является линейным в том смысле, что

$E\; \; [a\; Z\; +\; b\; W]\; =\; a\; E\; \; [Z]\; +\; b\; E\; \; [W]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [aZ\; +\; bW]\; =\; a\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; +\; b\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [W]\}$

для любых комплексных коэффициентов $a,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\}$, даже если $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$и $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$являются не независимый.

Дисперсия и псевдоверсия

Определение дисперсия

Дисперсия определяется как:

$Var\; \; [Z]\; =\; E\; \; [|\; Z\; -\; E\; \; [Z]\; |\; 2]\; =\; E\; \; [|\; Z\; |\; 2]\; -\; |\; E\; \; [Z]\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Z]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [|\; Z-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; |\; ^\; \{2\}]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [|\; Z\; |\; ^\; \{2\}\; ]\; -\; |\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; |\; ^\; \{2\}\}$

(Eq.3)

Свойства

Дисперсия всегда является неотрицательным действительным числом. Он равен сумме дисперсий действительной и мнимой частей комплексной случайной величины:

$Var\; \; [Z]\; =\; Var\; \; [\Re \; (Z)]\; +\; Var\; \; [\Im \; (Z)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Z]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\}]\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [\backslash \; Im\; \{(Z)\}].\}$

Дисперсия a линейную комбинацию комплексных случайных величин можно вычислить по следующей формуле:

$Var\; \; [\sum \; k\; =\; 1\; N\; ak\; Z\; k]\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; aiaj\; ¯\; Cov\; \; [Z\; i,\; Z\; j\; ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{k\}\; Z\_\; \{k\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{i\}\; \{\backslash \; overline\; \{a\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z\_\; \{i\},\; Z\_\; \{j\}].\}$

Псевдоверсия определения

Псевдоверсия является частным случаем псевдоковариации и задается как

$JZZ\; =\; E\; \; [(Z\; -\; E\; \; [Z])\; 2]\; =\; E\; \; [\; Z\; 2]\; -\; (Е\; \; [Z])\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{J\}\; \_\; \{ZZ\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [(Z-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z])\; ^\; \{2\}]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z\; ^\; \{2\}]\; -\; (\backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z])\; ^\; \{2\}\}$

(Eq.4)

В отличие от дисперсии $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \}$, который всегда действительный и положительный, псевдодисперсия $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$в целом сложна.

Ковариация и псевдоковариация

Определение

ковариация между двумя комплексными случайными величинами $Z,\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; Z,\; W\}$определяется как

$KZW\; =\; Cov\; \; [Z,\; W]\; =\; E\; \; [(Z\; -\; E\; \; [Z])\; (W\; -\; E\; \; [W])\; ¯]\; =\; E\; \; [ZW\; ¯]\; -\; E\; \; [Z]\; E\; \; [W\; ¯]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{K\}\; \_\; \{ZW\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; W]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [(Z-\; \backslash \; operatorname\; \{\; E\}\; [Z])\; \{\backslash \; overline\; \{(W-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [W])\}\}]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z\; \{\backslash \; overline\; \{W\}\}]\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\{\backslash \; overline\; \{W\}\}]\}$

(Eq.5)

Обратите внимание на комплексное сопряжение второго фактора в определении. В отличие от реальных случайных величин, мы также определяем псевдоковариацию (также называемую дополнительной дисперсией):

$JZW\; =\; Cov\; \; [Z,\; W\; ¯]\; =\; E\; \; [(Z\; -\; E\; \; [\; Z])\; (W\; -\; E\; \; [W])]\; =\; E\; \; [ZW]\; -\; E\; \; [Z]\; E\; \; [W]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{J\}\; \_\; \{ZW\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; \{\backslash \; overline\; \{W\}\}]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [(Z-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z])\; (W-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [W])]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [ZW]\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [W]\}$

(Eq.6)

Статистика второго порядка полностью характеризуется ковариацией и псевдоковариантностью.

Свойства

Ковариация имеет следующие свойства:

• $Cov\; \; [Z,\; W]\; =\; Cov\; \; [W,\; Z]\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; W]\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [W,\; Z]\}\}\}$(Сопряженная симметрия)
• $Cov\; \; [\alpha \; Z,\; W]\; =\; \alpha \; Cov\; \; [Z,\; W]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [\backslash \; alpha\; Z,\; W]\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; W]\}$(полуторалинейность)
• $Cov\; \; [Z,\; \alpha \; W]\; =\; \alpha \; ¯\; Cov\; \; [Z,\; W]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; \backslash \; alpha\; W]\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; W]\}$
• $Cov\; \; [\; Z\; 1\; +\; Z\; 2,\; W]\; =\; Cov\; \; [Z\; 1,\; W]\; +\; Cov\; \; [Z\; 2,\; W]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z\_\; \{1\}\; +\; Z\_\; \{2\},\; W]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z\_\; \{1\},\; W]\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z\_\; \{2\},\; W]\}$
• $Cov\; \; [Z,\; W\; 1\; +\; W\; 2]\; =\; Cov\; \; [Z,\; W\; 1]\; +\; Cov\; \; [Z,\; W\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; W\_\; \{1\}\; +\; W\_\; \{2\}]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; W\_\; \{1\}]\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [\; Z,\; W\_\; \{2\}]\}$
• $Cov\; \; [Z,\; Z]\; =\; Var\; \; [Z]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [Z,\; Z]\; =\; \{\backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Z]\}\}$

Ункоррела tedness

Две комплексные случайные величины $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$и $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$называются некоррелированными если

$KZW\; =\; JZW\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{K\}\; \_\; \{ZW\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{J\}\; \_\; \{ZW\}\; =\; 0.\}$

Ортогональность

Два сложных случайных переменные $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$и $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$называются ортогональными, если

$E\; \; [ZW\; ¯\; ]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z\; \{\backslash \; overline\; \{W\}\}]\; =\; 0\}$.

Круговая симметрия

Круговая симметрия комплексных случайных величин является распространенным допущением, используемым в области беспроводная связь. Типичным примером круговой симметричной комплексной случайной величины является комплексная гауссовская случайная величина с нулевым средним и нулевой псевдоковариационной матрицей.

Определение

Сложная случайная величина $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$является круговой симметричной, если для любого детерминированного $\varphi \; \in \; [-\; \pi ,\; \pi \; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; in\; [-\; \backslash \; pi,\; \backslash \; pi]\}$, распределение $ei\; \varphi \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; phi\}\; Z\}$равняется распределению $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$.

Свойства

По определению, комплексная случайная величина с круговой симметрией имеет

$E\; \; [Z]\; =\; E\; \; [\; ei\; \varphi \; Z]\; знак\; равно\; ei\; \varphi \; E\; \; [Z]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [e\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; phi\}\; Z]\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; i\}\; \backslash \; phi\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\}$для любого $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$.

Таким образом, математическое ожидание комплексной случайной величины с круговой симметрией может быть только равно нулю или не определено.

. Кроме того,

$E\; \; [ZZ]\; =\; E\; \; [ei\; \varphi \; Z\; ei\; \varphi \; Z]\; =\; e\; 2\; i\; \varphi \; E\; \; [ZZ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [ZZ]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\; \}\; [e\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; phi\}\; Ze\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; phi\}\; Z]\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\; i\; \backslash \; phi\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [ZZ]\}$для любого $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$.

Таким образом, псевдоверсия циркулярно-симметричной комплексной случайной величины может быть только нулевой.

. Если $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$и $ei\; \varphi \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\; \backslash \; phi\}\; Z\}$имеют то же распределение, фаза $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$должна быть равномерно распределена по $[-\; \pi ,\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-\; \backslash \; pi,\; \backslash \; pi]\}$и не зависит от амплитуды $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$.

Правильные комплексные случайные величины

Концепция правильных случайных величин уникальна для сложных случайных величин и не имеет соответствующей концепции реальные случайные величины.

Определение

Сложная случайная величина $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$называется правильной, если выполняются все следующие три условия:

• $E\; \; [\; Z]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; 0\}$
• 
• $E\; \; [Z\; 2]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z\; ^\; \{2\; \}]\; =\; 0\}$

Это определение эквивалентно следующим условиям. Это означает, что сложная случайная величина является правильной, если и только если:

• $E\; \; [Z]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [Z]\; =\; 0\}$
• $E\; \; [\Re \; (Z)\; 2\; ]\; =\; E\; \; [\Im \; (Z)\; 2]\; \ne \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\}\; ^\; \{2\}]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; Im\; \{(Z)\}\; ^\; \{\; 2\}]\; \backslash \; neq\; \backslash \; infty\}$
• $E\; \; [\Re \; (Z)\; \Im \; (Z)]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\}\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}]\; =\; 0\}$

Ковариационная матрица действительной и мнимой частей

Для общей комплексной случайной величины пара $(\Re \; (Z),\; \Im \; (Z))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Re\; \{(\; Z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\})\}$имеет матрицу ковариации

$[Var\; \; [\Re \; (Z)]\; Cov\; \; [\Re \; (Z),\; \Im \; (Z)\; ]\; Cov\; \; [\Re \; (Z),\; \Im \; (Z)]\; Var\; \; [\Im \; (Z)]].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\}]\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}]\; \backslash \backslash \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [\backslash \; Re\; \{(Z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\}]\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [\backslash \; Im\; \{(Z)\}]\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Однако для правильная комплексная случайная величина, ковариационная матрица пары $(\Re \; (Z),\; \Im \; (Z))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Re\; \{(Z)\},\; \backslash \; Im\; \{(Z)\})\}$имеет следующую простую форму:

$[1\; 2\; Var\; \; [Z]\; 0\; 0\; 1\; 2\; Var\; \; [Z]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Z]\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [Z]\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

Теорема

Всякая симметричная по окружности комплексная случайная величина переменная с конечной дисперсией является собственной.

Неравенство Коши-Шварца

Неравенство Коши-Шварца для сложных случайных величин, которое может быть получено с помощью неравенства треугольника и Неравенство Гёльдера, равно

$|\; E\; \; [Z\; W\; ¯]\; |\; 2\; \le \; |\; E\; \; [|\; Z\; W\; ¯\; |\; ]\; |\; 2\; \le \; E\; \; [|\; Z\; |\; 2]\; E\; \; [|\; W\; |\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; \backslash \; left\; [Z\; \{\backslash \; overline\; \{W\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; |\; Z\; \{\backslash \; overline\; \{W\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [|\; Z\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [|\; W\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$.

Характеристическая функция

характеристическая функция сложной случайной величины - это функция $C\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{\; C\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, определенный как

$\phi \; Z\; (\omega )\; =\; E\; \; [ei\; \Re \; (\omega \; ¯\; Z)]\; =\; E\; \; [ei\; (\Re \; (\omega )\; \Re \; (\; Z)\; +\; \Im \; (\omega )\; \Im \; (Z))].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{Z\}\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{i\; \backslash \; Re\; \{(\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; omega\}\}\; Z)\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\; \}\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{i\; (\backslash \; Re\; \{(\backslash \; omega)\}\; \backslash \; Re\; \{(Z)\}\; +\; \backslash \; Im\; \{(\backslash \; omega)\}\; \backslash \; Im\; \{(Z)\})\}\; \backslash \; right].\}$

См. Также

• Сложный случайный вектор

Ссылки