Комплексно-ориентированная теория когомологий

редактировать

В алгебраической топологии, комплексно-ориентируемая теория когомологий - это мультипликативный когомолог теория математики E такая, что отображение ограничения $E 2 (CP ∞) → E 2 (CP 1) {\ displaystyle E ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty }) \ to E ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {1})}$ $E ^ {2} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty}) \ to E ^ {2} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {1})$ сюръективно. Элемент $E 2 (CP ∞) {\ displaystyle E ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty})}$ $E ^ {2} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P }} ^ {\ infty})$ , который ограничивается каноническим генератором редуцированной теории $E ~ 2 (CP 1) {\ displaystyle {\ widetilde {E}} ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {1})}$ $\ widetilde {E} ^ {2} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {1})$ называется комплексной ориентацией . Это понятие является центральным в работе Квиллена, связывающей когомологию с формальными групповыми законами.

Если E - четная теория, означающая $π 3 E = π 5 E = ⋯ {\ displaystyle \ pi _ {3} E = \ pi _ {5} E = \ cdots}$ $\ pi _ {3} E = \ pi _ {5 } E = \ cdots$ , тогда E комплексно-ориентируем. Это следует из спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха.

Примеры:

Обычные когомологии с любым кольцом коэффициентов R комплексно ориентируемы, так как $H 2 ⁡ (CP ∞; R) ≃ H 2 ⁡ ( CP 1; R) {\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}; R) \ simeq \ operatorname {H} ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {1}; R)}$ $\ operatorname {H} ^ {2} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty}; R) \ simeq \ operatorname {H} ^ { 2} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {1}; R)$ .
Комплексная K-теория, обозначаемая KU, является комплексно-ориентированной, поскольку она четно-градуированная. (Теорема периодичности Ботта )
Комплексный кобордизм, спектр которого обозначается MU, является комплексно-ориентированным.

Комплексная ориентация, называемая t, порождает следующий формальный групповой закон: пусть m - это умножение

CP ∞ × CP ∞ → CP ∞, ([x], [y]) ↦ [xy] {\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty} \ times \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty} \ to \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}, ([x], [y]) \ mapsto [xy]}

{\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty} \ times {\ mathbb {C} } {\ mathbf {P}} ^ {\ infty} \ to {\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty}, ([x], [y]) \ mapsto [xy]

где $[x] {\ displaystyle [x]}$ $[x]$ обозначает линию, проходящую через x в базовом векторном пространстве $C [t] {\ displaystyle \ mathbb {C} [t]}$ ${\ mathbb {C}} [t]$ из $CP ∞ {\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}}$ ${\ mathbb { C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty}$ . Это карта, классифицирующая тензорное произведение универсальной прямой. связать по $CP ∞ {\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}}$ . Просмотр

E ∗ (CP ∞) = lim ← ⁡ E ∗ ( CP n) знак равно lim ← ⁡ R [t] / (tn + 1) = R [[t]], R = π ∗ E {\ displaystyle E ^ {*} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}) = \ varprojlim E ^ { *} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {n}) = \ varprojlim R [t] / (t ^ {n + 1}) = R [\! [t] \!], \ quad R = \ pi _ {*} E}

{\ displaystyle E ^ {*} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}) = \ varprojlim E ^ {*} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {n}) = \ varprojlim R [t] / (t ^ {n + 1}) = R [\! [t] \!], \ quad R = \ pi _ {*} E}

пусть $f = m ∗ (t) {\ displaystyle f = m ^ {*} (t)}$ $f = m ^ {*} (t)$ будет откатом t вдоль m. Он живет в

E ∗ (CP ∞ × CP ∞) = lim ← ⁡ E ∗ (CP n × CP m) = lim ← ⁡ R [x, y] / (xn + 1, ym + 1) = R [[Икс, Y]] {\ Displaystyle E ^ {*} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty} \ times \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {\ infty}) = \ varprojlim E ^ {*} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {n} \ times \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {m}) = \ varprojlim R [x, y] / ( x ^ {n + 1}, y ^ {m + 1}) = R [\! [x, y] \!]}

E ^ {*} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty} \ times {\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {\ infty}) = \ varprojlim E ^ {*} ({\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {n} \ times {\ mathbb {C}} {\ mathbf {P}} ^ {m}) = \ varprojlim R [x, y] / (x ^ {{n + 1}}, y ^ {{m + 1}}) = R [\! [x, y] \!]

и можно показать, используя свойства тензорного произведения линейных расслоений, что это формальный групповой закон (например, удовлетворяет ассоциативности).

См. Также

Теория хроматической гомотопии

Ссылки

М. Хопкинс, Комплексно ориентированная теория когомологий и язык стеков
Дж. Лурье, Теория хроматической гомотопии (252x)